楊春杰,姜 超

(湖北理工學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,湖北 黃石 435003 )

AUTOCAD,SOLIWORKS,MATLAB漸開(kāi)線齒廓的精確繪制

楊春杰,姜 超

(湖北理工學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,湖北 黃石 435003 )

在齒輪零件的設(shè)計(jì)仿真中，常需要繪制漸開(kāi)線齒輪的齒廓，但現(xiàn)有的各種計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件不支持直接繪制漸開(kāi)線齒廓，給齒輪的設(shè)計(jì)仿真造成了一定的局限。因此，提出了幾種簡(jiǎn)便而實(shí)用的基于AUTOCAD、SOLIWORKS和MATLAB精確繪制漸開(kāi)線齒廓的方法，所繪制的齒廓的精度可根據(jù)設(shè)計(jì)的需要進(jìn)行調(diào)整，從而提高了齒輪零件的設(shè)計(jì)效率和仿真效果。

漸開(kāi)線齒廓;精確繪制;CAD;SOLIWORKS;MATLAB

漸開(kāi)線齒廓的精確繪制一直是齒輪繪制和仿真中的難點(diǎn)，現(xiàn)有的AUTOCAD、SOLIWORKS和MATLAB不支持直接繪出漸開(kāi)線，一般是用圓弧近似代替漸開(kāi)線，其缺點(diǎn)是不能形成系列化修改，也不能直接從圖形中得出漸開(kāi)線的相應(yīng)數(shù)據(jù)[1]。因此，筆者提出了幾種簡(jiǎn)單且易于操作的繪制漸開(kāi)線齒廓的方法，其精度可以調(diào)整，并能滿足大部分的設(shè)計(jì)和仿真需要。

1 AUTOCAD精確繪制漸開(kāi)線齒廓

在CAD圖形文件中建立新坐標(biāo)系，以原點(diǎn)為圓心畫半徑為Rb的基圓，以10°為步長(zhǎng)(步長(zhǎng)越小，精確度越高)9等分第1象限圓弧，得交點(diǎn)A1、A2、……、A9，分別在交點(diǎn)上作圓的切線，并截取A1B1為一個(gè)步長(zhǎng)(10°)的弧長(zhǎng)，A2B2為2個(gè)步長(zhǎng)(2×10°)的弧長(zhǎng)， ……，A9B9為9個(gè)步長(zhǎng)的弧長(zhǎng)，在CAD的高版本中可以直接測(cè)出弧長(zhǎng)，精確度可根據(jù)需要自行設(shè)置，然后用樣條曲線順次連接B1、B2、……、B9，即得基圓的漸開(kāi)線，漸開(kāi)線的繪制過(guò)程如圖1所示。

圖1 漸開(kāi)線的繪制過(guò)程

確定齒數(shù)、模數(shù)和壓力角后，算出分度圓半徑R、齒頂圓半徑Ra、齒根圓半徑Rf，然后在圖1上分別以R、Ra、Rf畫圓，截得齒輪的漸開(kāi)線齒廓的一側(cè)，鏡像后修剪得到完整的一個(gè)輪齒的漸開(kāi)線齒廓，如圖2所示。

圖2 漸開(kāi)線齒廓

漸開(kāi)線的形狀只和基圓的大小有關(guān)。當(dāng)繪制齒輪時(shí)，先根據(jù)齒數(shù)、模數(shù)和壓力角計(jì)算出基圓的大小，再將圖形整體縮放，使圖1中半徑為Rb的基圓尺寸等于所畫齒輪的基圓尺寸。這樣，此漸開(kāi)線可以應(yīng)用到任何參數(shù)的齒廓繪制中。在AUTOCAD中，可用環(huán)形陣列創(chuàng)建齒輪的軸向面域，再拉伸即可得到三維齒輪模型，漸開(kāi)線齒輪模型如圖3所示。

圖3 漸開(kāi)線齒輪模型

2 SOLIDWORK精確繪制漸開(kāi)線齒廓

在SOLIDWORK中，用曲面放樣生成漸開(kāi)線的精度較高，也比較容易理解和繪制。在圖1所得到的漸開(kāi)線上取任意一點(diǎn)B，作基圓的切線，切點(diǎn)為A，連接OA，OA和X軸夾角為t(用弧度表示)得到漸開(kāi)線函數(shù)關(guān)系圖如圖4所示。

圖4 漸開(kāi)線函數(shù)關(guān)系圖

根據(jù)幾何關(guān)系得到下列方程：

(1)

由方程組(1)可知，漸開(kāi)線坐標(biāo)是夾角t的函數(shù)。當(dāng)t在0°～90°之間時(shí)，以步長(zhǎng)1°(轉(zhuǎn)換成弧度值)取90個(gè)點(diǎn)，分別算出漸開(kāi)線的90個(gè)坐標(biāo)值，將得到的點(diǎn)連接起來(lái)就得到了精確的漸開(kāi)線曲線。

SOLIDWORKS可以用漸開(kāi)線的參數(shù)方程來(lái)畫標(biāo)準(zhǔn)齒輪，以模數(shù)m=2，齒數(shù)z=30，壓力角為20°的直齒輪為例說(shuō)明方程式驅(qū)動(dòng)的曲線畫漸開(kāi)線齒輪的方法。

齒輪尺寸參數(shù)為：分度圓直徑D=mz=60mm；基圓直徑Db=Dcos20°；齒根圓直徑Df=m(z-2.5)=55mm；齒頂圓直徑Da=m(z+2)=64 mm。

基圓直徑用方程式標(biāo)注,添加基圓直徑方程式如圖5所示，添加后并激活，標(biāo)注尺寸后可得到齒輪的齒頂圓、齒根圓、分度圓和基圓。齒輪的各參數(shù)圓如圖6所示。

圖5 添加基圓直徑方程式

在圖6的基礎(chǔ)上插入方程式驅(qū)動(dòng)的曲線，選擇參數(shù)性，輸入漸開(kāi)線的參數(shù)方程(1)，插入方程式驅(qū)動(dòng)的曲線如圖7所示，注意把角度轉(zhuǎn)為弧度，最后可得漸開(kāi)線如圖8所示。

圖6齒輪的各參數(shù)圓

圖7插入方程式驅(qū)動(dòng)的曲線

圖8 漸開(kāi)線

裁剪成所需的漸開(kāi)線齒廓。標(biāo)注尺寸后，原有的對(duì)稱關(guān)系有可能會(huì)錯(cuò)亂，需要重新標(biāo)注幾何關(guān)系，在基圓與齒根圓之間加圓弧與齒根圓相切半徑(0.25m)，標(biāo)注完幾何關(guān)系后使中心線水平以完全定義草圖。與AUTOCAD中的方法一樣，拉伸并陣列得到漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪模型。漸開(kāi)線齒廓如圖9所示。

圖9 漸開(kāi)線齒廓

由于SOLIDWORKS中的放樣線條都是用一段一段的短線逼近的，如果將精度中小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)增加，獲得的漸開(kāi)線就會(huì)有極微小的差別。如果想獲得更高精度的漸開(kāi)線，可以使用程序法生成漸開(kāi)線[2]，可在SOLIDWORKS中插入公式曲線宏運(yùn)行，當(dāng)關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)為500個(gè)時(shí)，精度可以達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后8位，如果還需要更高的精度，可適當(dāng)添加關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)。

3 MATLAB的漸開(kāi)線齒輪的范成法仿真

一對(duì)齒輪嚙合傳動(dòng)時(shí)，兩輪的齒廓互為包絡(luò)線。如齒輪刀具與毛坯模擬一對(duì)齒輪傳動(dòng)，則可加工出與刀刃互為包絡(luò)線的齒廓。刀刃和齒輪齒廓均為漸開(kāi)線。

如下為漸開(kāi)線齒輪的范成動(dòng)態(tài)模擬程序[3-4]。

hd=pi/180;m=2;

z=input('漸開(kāi)線齒輪齒數(shù)z=′);

phi0=20;x=0;x0=0;y0=0;r=m*z/2;hd=pi/180;

du=180/pi;p=pi*m;

s=2.5*m*tan(phi0*hd);h=(2*s+p)/4;

c=x0-2*p-h;

x1(1,1)=c; y1(1,1)=-(r+(1.25+x)*m)+y0;

x1(2,1)=x1(1,1)+s;

y1(2,1)=y1(1,1)+2.5*m;

x1(3,1)=x1(2,1)+(p/2-s);

y1(3,1)=y1(2,1);x1(4,1)=x1(3,1)+s;

y1(4,1)=y1(3,1)-2.5*m;for i=5∶20

x1(i,1)=x1(i-4,1)+p;

y1(i,1)=y1(i-4,1);

end

j=0;

for d_phi=0:(6*hd):4.398226/2; j=j+1;for i=1:20;

x1(i,j)=x1(i,1)-r*d_phi;

y1(i,j)=y1(i,1);

s2=y1(i,j)-y0;s1=x1(i,j)-x0;

r1(i,j)=sqrt((s1)^2+(s2)^2);

phi(i,j)=atan(s1/s2);

x2(i,j)=r1(i,j)*sin(phi(i,j)-d_phi)+x0;

y2(i,j)=r1(i,j)*cos(phi(i,j)-d_phi)+y0;

end

end

for d_phi=0:-(6*hd):-4.398226/2; j=j+1;

for i=1:20;

x1(i,j)=x1(i,1)-r*d_phi;

y1(i,j)=y1(i,1);

s2=y1(i,j)-y0;s1=x1(i,j)-x0;

r1(i,j)=sqrt((s1)^2+(s2)^2);

phi(i,j)=atan(s1/s2); x2(i,j)=r1(i,j)*sin(phi(i,j)-d_phi)+x0;

y2(i,j)=r1(i,j)*cos(phi(i,j)-d_phi)+y0;

end

end %5.漸開(kāi)線齒輪范成的動(dòng)態(tài)模擬

figure(1);j0=j;

for j=1:j0

plot(x2(:,j),y2(:,j));

axis equal;hold on;grid on;

end

rb=r*cos(20*hd);ra=r+(1+x)*m;

rf=r-(1.25-x)*m; ct=linspace(0,2*pi);

plot(rb*cos(ct),rb*sin(ct),′r-′);

plot(r*cos(ct),r*sin(ct),′g′);

plot(ra*cos(ct),ra*sin(ct),′r′);

plot(rf*cos(ct),rf*sin(ct),′r′);

title('漸開(kāi)線齒輪的動(dòng)態(tài)模擬′);

xlabel(′m=2,z=30,alpha=20,x0=0′);

MATLAB生成的漸開(kāi)線范成動(dòng)態(tài)模擬結(jié)果如圖10所示。

通過(guò)MATLAB程序完成齒輪齒廓的繪制,只需輸入齒輪的基本參數(shù)便可完成范成仿真過(guò)程,生成的齒輪齒廓可以滿足設(shè)計(jì)對(duì)精度的要求,任何基于此程序生成齒輪的研究都是可靠的。因此,在齒輪的設(shè)計(jì)、加工與檢測(cè)過(guò)程中都起著重要的指導(dǎo)作用。

繪制漸開(kāi)線齒廓并對(duì)齒輪進(jìn)行仿真無(wú)論是在AUTOCAD、SOLIDWORKS還是在MATLAB等計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件中都有很多的方法，本文所介紹的方法能夠較精確地繪制漸開(kāi)線齒廓，最為簡(jiǎn)便和實(shí)用，易于操作。而且，MATLAB的程序也可以調(diào)用到SOLIDSWORK中，進(jìn)行宏運(yùn)算以建立漸開(kāi)線齒輪的仿真模型[5]；SOLIDSWORKS也可以調(diào)用AUTOCAD的圖形文件進(jìn)行編輯和處理[6]。只要熟悉其中一種軟件的應(yīng)用，都可以根據(jù)本文的方法精確繪制漸開(kāi)線齒廓，并完成漸開(kāi)線齒輪的設(shè)計(jì)和仿真。

圖10 漸開(kāi)線范成動(dòng)態(tài)模擬

[1] 鄭旖,張為民.漸開(kāi)線圓柱齒輪MATLAB建模及其有限元網(wǎng)格的自動(dòng)劃分[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2012,30(6):844-848.

[2] 王素秋.基于Solidworks的齒輪庫(kù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J].科技信息,2010(6):261-263.

[3] 陳杰.MATLAB寶典[M].北京:電子工業(yè)出版社,2011：1.

[4] 昂雪野.基于AutoCAD漸開(kāi)線齒輪范成仿真程序設(shè)計(jì)[J].長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào),2008,31(4):138-139.

[5] 敖文剛.基于MATLAB的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)過(guò)程分析與模擬[M].北京:科學(xué)出版社，2013:6.

[6] 北京兆迪科技有限公司.SolidWorks 曲面設(shè)計(jì)實(shí)例精解[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2013:3.

(責(zé)任編輯桂堤)

Precise Generation of Involutes Tooth Profile of Gear Based on AUTOCAD,SOLIWORKS and MATLAB

YangChunjie,JiangChao

(School of Mechanical and Electronic Engineering,Hubei Polytechnic University,Huangshi Hubei 435003)

Involutes tooth profile needs drawing in the design simulation of the gear parts,whereas not any software of computer aided design can draw the profile of gear directly,which brings limitation to the design simulation of the gear.The paper puts forward several simple and practical methods of precise generation of involutes tooth profile based on AUTOCAD,SOLIWORKS and MATLAB Software.The gear profile precision can be adjusted to satisfy the different design requirements,which improves the efficiency of design and effect of simulation.

involutes tooth profile;precision generation;CAD;SOLIWORKS;MATLAB

2014-02-28

楊春杰(1973— )，女，副教授，碩士，研究方向：計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、 虛擬設(shè)計(jì)與仿真。

10.3969/j.issn.2095-4565.2014.04.003

TH12

A

2095-4565(2014)04-0008-04