舒海生，高恩武，劉少剛，趙 丹，王威遠

(哈爾濱工程大學 機電工程學院702所，哈爾濱 150001)

受天然晶體電子能帶理論啟發(fā)，已有對周期復合材料或結構中經(jīng)典波傳播的研究[1]。彈性波在彈性常數(shù)、材料密度、結構尺寸等參數(shù)周期性調(diào)制下傳播時會產(chǎn)生聲子帶隙，即一定頻帶范圍內(nèi)彈性波傳播受到抑制或禁止。因此聲子晶體或理論上或減振降噪，對精密機械減振平臺、新型濾波器等工程應用領域均具有重要價值。聲子晶體研究主要集中在帶隙形成機理分析及帶隙計算方法探索等[2-7]，實際應用研究[8]較少。研究對象多為單一構型聲子晶體，如一維聲子晶體中梁、桿、軸[2,9]及二維聲子晶體[3,10]中格柵、板等，而對實際應用中組合形式結構件研究較少。對聲聲子晶體平面組合桿情況，如T型桿[10]、角梁等在結合處能實現(xiàn)波形轉(zhuǎn)換，拓寬帶隙頻率范圍，且已取得二維寬頻較好減振效果。而工程實際中激擾多為三維，需研究三維寬頻減振元件。為此，本文將聲子晶體理念引入串聯(lián)型空間組合桿結構構造聲子晶體串聯(lián)組合桿，綜合利用彎曲、縱向、扭轉(zhuǎn)帶隙，達到多維寬頻減振效果。具體步驟為：①對聲子晶體串聯(lián)組合桿振動特性進行理論分析，推導總傳遞矩陣；②據(jù)總傳遞矩陣編寫MATLAB程序進行數(shù)值計算，重點研究加載方向及桿件間夾角對聲子晶體串聯(lián)組合桿振動特性影響；③用有限元方法分析振動傳遞特性，證明理論分析的正確性；④用遺傳算法對影響減振性能因素的桿件間夾角進行最優(yōu)化設計；⑤給出結論。

1 聲子晶體串聯(lián)組合桿理論分析

圖1為聲子晶體串聯(lián)組合桿一般結構(以3桿為例，對K(K≥3)桿情況分析過程相同)，上(桿Ⅲ)、中(桿Ⅱ)、下(桿Ⅰ)材料分布及周期結構尺寸相同，桿Ⅰ、Ⅱ組成的面稱為面Ⅰ，桿Ⅱ、Ⅲ組成的面為面Ⅱ。為研究方便，規(guī)定桿Ⅰ與Ⅱ、Ⅲ分別位于面Ⅰ、面Ⅱ內(nèi)。桿Ⅰ與Ⅱ，桿Ⅱ與Ⅲ，面Ⅰ與Ⅱ間夾角分別為θ1,θ2,θ3，桿與桿間固結。聲子晶體串聯(lián)組合桿振動可解耦為組合桿面內(nèi)振動及垂直于組合桿平面的面外振動。面內(nèi)振動分面內(nèi)彎曲振動、縱向振動，面外振動分面外彎曲振動、扭轉(zhuǎn)振動。由于聲子晶體串聯(lián)組合桿為空間立體結構，在桿Ⅰ與Ⅱ、桿Ⅱ與Ⅲ結合處組合桿存在面內(nèi)振動與面外振動相互轉(zhuǎn)化情況，總體上表現(xiàn)出彎振、縱振、扭振的全耦合特性。

圖1 聲子晶體串聯(lián)組合桿模型

當面內(nèi)振動的彎曲波或縱波在單獨桿Ⅰ、Ⅱ或Ⅲ中傳播時，不同周期間傳遞關系[10]可寫為

(1)

(2)

當面外振動彎曲波或扭轉(zhuǎn)波在單獨桿Ⅰ、桿Ⅱ或桿Ⅲ中傳播時，不同周期間傳遞關系[10]可寫為

(3)

(4)

為便于敘述，將同周期同材料面內(nèi)振動解系數(shù)列陣與面外振動解系數(shù)列陣組合為

(5)

(6)

據(jù)式(1)～式(6)得：

(7)

(8)

圖1表明，桿Ⅰ在桿Ⅰ與桿Ⅱ結合處為第n周期，而桿Ⅱ在結合處為第1周期。據(jù)桿Ⅰ、桿Ⅱ結合處位移、彎曲角、扭轉(zhuǎn)角、彎矩、扭矩、剪力、正應力等協(xié)調(diào)條件，有

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

將式(9)～(20)寫成矩陣形式為

(21)

據(jù)桿Ⅱ、桿Ⅲ結合處位移、彎曲角、扭轉(zhuǎn)角、彎矩、扭矩、剪力、正應力等協(xié)調(diào)條件，有：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

式中：字符號含義同上。

將式(22)～式(33)寫成矩陣形式為

(34)

聲子晶體串聯(lián)組合桿(3桿)總傳遞矩陣寫為

一般的聲子晶體串聯(lián)組合桿(K根桿)總體傳遞矩陣可寫為

2 聲子晶體串聯(lián)組合桿數(shù)值分析

2.1 聲子晶體單桿數(shù)值分析

便于對比，利用傳遞矩陣法對3周期聲子晶體單桿進行數(shù)值分析。基本參數(shù)設置為：各子段直徑D=5 mm，長a1=50 mm；鋁的彈性模量E1=7.21×1010Pa，質(zhì)量密度ρ1=2 799 kg/m3，泊松比ν1=0.345 1；有機玻璃彈性模量E2=0.32×1010Pa，質(zhì)量密度ρ2=1 062 kg/m3，泊松比ν2=0.333 3。單桿縱向、彎曲及扭轉(zhuǎn)振動傳遞率計算結果見圖2。由圖2看出，在0～8 kHz范圍內(nèi)存在明顯縱向振動帶隙5 900～8 000 Hz；兩明顯彎曲振動帶隙為1 420～2 680 Hz，3 920～5 720 Hz；扭轉(zhuǎn)振動帶隙為3 600～8 000 Hz。單桿在三種不同形式下振動帶隙重疊部分較小，只能獲得二維減振效果，故需研究能綜合運用三種振動帶隙的結構，實現(xiàn)三維減振目的。

圖2 聲子晶體單桿彎曲、縱向及扭轉(zhuǎn)振動傳遞率曲線

2.2 聲子晶體串聯(lián)組合桿振動特性研究

據(jù)傳遞矩陣法推導結果，利用MATLAB數(shù)值計算，由加載方向及桿件間夾角兩方面研究3周期單桿組成的串聯(lián)組合桿(三桿)結構振動特性。基本參數(shù)設置同聲子晶體單桿。

2.2.1 加載角對振動特性影響

工程中激勵負載大多為多維，為更好模擬外部各種激擾對桿件同時作用情況，引入加載向量r，方向余弦為cosα1，cosα2，cosα3。激擾在3坐標平面加載見圖3。

圖3 加載方向

針對加載方向余弦(cosα1，0，cos(90°-α1)),(α1從0°逐漸增到90°，步長30°)情況，數(shù)值計算結果見圖4(a)。由圖4(a)看出，α1逐漸增大時在第一彎曲帶隙范圍(1 420～2 680 Hz)內(nèi)衰減量逐漸增大，縱向帶隙范圍(7 100～8 000 Hz)內(nèi)衰減量逐漸減小，第二彎曲帶隙變化規(guī)律不明顯，但總體能反映組合桿由縱向振動占主導地位逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢駝诱贾鲗У匚?；彎曲帶隙作用越明顯，位于縱向帶隙中彎曲波傳輸共振峰影響(6 600，7 640 Hz附近，圖3)亦越顯著，導致α1趨于90°時峰附近衰減效果明顯削弱； 而α1較小時情況

相反，縱向振動逐漸占據(jù)主導地位，縱向帶隙衰減作用得以更好體現(xiàn)，衰減顯著，彎曲帶隙內(nèi)衰減有所減弱；位于彎曲帶隙中縱波傳輸共振峰(5 660 Hz附近，圖3)影響加強，導致此峰值附近減振效果明顯減弱。因此，該結構能獲得較好的二維寬頻減振性能?？紤]加載方向余弦(cos(90°-α2), cosα2,0)(α2從0°逐漸增到90°,步長30°)結果見圖4(b)。由圖4(b)看出，加載角逐漸增大時第一彎曲帶隙范圍內(nèi)衰減量逐漸減小，第二彎曲帶隙范圍(1 400～2 400 Hz)內(nèi)情況較復雜，規(guī)律不明顯，縱向帶隙范圍內(nèi)衰減量逐漸增大，總體有組合桿由彎曲振動占主導地位向縱向振動占主導地位轉(zhuǎn)變趨勢。

考慮加載方向余弦(0,cos(90°-α3),cosα3)(α3從0°逐漸增到90°,步長30°)時仿真結果見圖4(c)。由圖4(c)看出，面內(nèi)、外加載對整個聲子晶體組合桿減振頻帶范圍影響不同：第一彎曲帶隙1 400～2 120 Hz、第二彎曲帶隙4 360～5 000 Hz范圍內(nèi)，隨加載角逐漸增大減振幅值增大，而第一彎曲帶2 120～2 600 Hz、第二彎曲帶隙3 800～4 360 Hz范圍內(nèi)，隨加載角逐漸增大減振效果減弱。故在1 400～2 120 Hz、4 360～5 000 Hz頻帶范圍內(nèi)面內(nèi)彎曲振動占主導地位，在2 120～2 600 Hz、3 800～4 360 Hz范圍內(nèi)面外彎曲振動占主導地位。低頻段0～1 000 Hz內(nèi)聲子晶體串聯(lián)組合桿表現(xiàn)出一定減振性能，由于該頻帶不在聲子晶體桿或梁的帶隙內(nèi)，因而該減振能力已不能用帶隙解釋。事實上此頻段內(nèi)無論彎曲波或縱波波長均遠大于桿Ⅰ特征尺寸，因此該彎曲波、縱波在桿中的傳播類似于桿或梁的整體運動，即純剛體運動，此時桿Ⅱ、Ⅲ可視為懸臂梁，與桿Ⅰ形成傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)中“懸臂梁-振子”體系，產(chǎn)生相似的隔振效果。由于“懸臂梁-振子”隔振體系固有的不足，在該頻段內(nèi)存在較多共振峰。在桿件結合處存在波形轉(zhuǎn)換，其它頻帶范圍內(nèi)也出現(xiàn)共振峰，可通過增加阻尼等方法進行削減。

(a) 加載方向余弦(cosα1，0 ，cos(90°-α1))聲子晶體串聯(lián)組合桿傳遞率曲線(b) 加載方向余弦(cos(90°-α2)，cosα2，0)聲子晶體串聯(lián)組合桿傳遞率曲線(c) 加載方向余弦(0，cos(90°-α3), cosα3)聲子晶體串聯(lián)組合桿傳遞率曲線

總之，無論采用何種角度加載，除局部共振峰不利影響外，整個面內(nèi)、外振動帶隙范圍內(nèi)均能產(chǎn)生較強減振效果，此表明該聲子晶體串聯(lián)組合桿可實現(xiàn)空間內(nèi)三維寬頻減振目的。由于“懸臂梁-振子”效應，低頻范圍內(nèi)隨加載角的變化也有一定減振效果，如加載方向余弦(0,0,1)時，在920～1 200 Hz范圍內(nèi)能形成達-28 dB的減振衰減區(qū)域。

比較圖4發(fā)現(xiàn)，加載角從0°～90°變化時，對應的傳遞率曲線族基本介于0°與90°兩條傳遞率曲線之間，因此可將該兩條傳遞率曲線作為包絡線進行重點研究；加載角為0°或90°時衰減量最顯著，故應用中選加載角時應據(jù)振源特點盡量用0°或90°方向角。

2.2.2 桿件夾角對振動傳遞特性影響

為進一步了解聲子晶體串聯(lián)組合桿減振性能，對聲子晶體桿間不同夾角β1，β2，β3(β1為桿Ⅰ與桿Ⅱ間夾角，β2為桿Ⅱ與桿Ⅲ間夾角，β3為桿Ⅲ、桿Ⅰ、桿Ⅱ組成的面夾角)進行分析。加載方向余弦為(0,0,1)時β1-90°-90°(β1由30°～90°，步長30°)振動傳遞率曲線對比見圖5(a)，加載方向余弦為(0,0,1)時90°-β2-90°振動傳遞率曲線對比見圖5(b)，加載角為(0,0,1)時90°-90°-β3振動傳遞率曲線對比見圖5(c)。通過比較不難發(fā)現(xiàn)，β1對高頻范圍(7 200～8 000 Hz)有較大影響(圖5(a))，隨β1增大衰減量逐漸增大；β2對中低頻范圍(1 420～2 680 Hz)作用明顯，(圖5(b))，β2為90°時減振效果明顯優(yōu)于其它兩種；β3主要影響中高頻范圍(3 940～5 200 Hz)，隨β3增大衰減量逐漸減小。對其它加載方向余弦如(1,0,0)，(0,1,0)結論類似。由于夾角對減振性能有顯著影響，實際應用中組合桿夾角選擇尤其重要，以組合桿結構為例，隔振頻率在較高的7 200～ 8 000 Hz范圍內(nèi)時，β1應選90°夾角；隔振頻率為中高頻率3 940～5 200 Hz范圍內(nèi)時，β3應設計的小點；隔振頻率在中低頻率1 420～2 680 Hz范圍內(nèi)時，β2則應選90°夾角?？傊?，聲子晶體組合桿的減振性能為β1，β2，β3綜合作用結果，應針對不同減振需求，對桿件夾角進行優(yōu)化設計。

(a) 桿件夾角為β1-90°-90°聲子晶體串聯(lián)組合桿傳遞率曲線(b) 桿件夾角為90°-β2-90°聲子晶體串聯(lián)組合桿傳遞率曲線(c) 桿件夾角為90°-90°-β3聲子晶體串聯(lián)組合桿傳遞率曲線

3 聲子晶體串聯(lián)組合桿有限元分析

為驗證理論分析的正確性，進行聲子晶體串聯(lián)組合桿有限元仿真。重點研究桿件間夾角為90°情況，基本設置為：① 材料參數(shù)：連接塊密度4 000 kg/m-3，彈性模量2E11Pa ，泊松比0.3，其余材料參數(shù)同數(shù)值計算。② 網(wǎng)格劃分：用自由網(wǎng)格劃分，單元類型SOLID186，桿節(jié)點數(shù)17 010，單元數(shù)3 056。③加載：簡諧位移激勵幅值0.001 m。④ 分析設置：用諧響應分析及用Full算法。

加載角方向余弦為(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)的有限元仿真及理論分析對比結果見圖6，其中實線為理論分析結果，虛線為有限元仿真結果。由圖6看出，三種加載的理論分析與有限元分析傳遞率曲線走勢基本相同，即：加載方向為(1,0,0)時，在1 400～2 600 Hz、4 000～5 000 Hz及6 100～8 000 Hz范圍內(nèi)理論分析與有限元結果均出現(xiàn)較大振動衰減量(圖6(a))；加載方向為(0,1,0)時，在1 400～2 800 Hz及 4 000～5 600 Hz范圍內(nèi)理論分析與有限元仿真?zhèn)鬟f率曲線較吻合(圖6(b))；加載方向為(0,0,1)時，在1 420～ 及3 941～5 201 Hz范圍內(nèi)理論分析與有限元分析傳遞率曲線吻合較好(圖6(c))。雖理論分析結果基本符合有限元結果，但仍存在一定誤差，其主要原因為計算模型與仿真模型有誤差，有限元仿真模型桿件間通過連接塊連接，而計算模型則視桿件連接處為質(zhì)點。聲子晶體組合桿仿真結果已有力驗證理論分析的正確性，且減振性能良好。

(a) 加載方向余弦(1,0,0)聲子晶體串聯(lián)組合桿傳遞率曲線(b) 加載方向余弦(1,0,0)聲子晶體串聯(lián)組合桿傳遞率曲線(c) 加載方向余弦(0,0,1)聲子晶體串聯(lián)組合桿傳遞率曲線

4 桿件夾角最優(yōu)化

由以上分析知，聲子晶體組合桿振動特性受多因素(如β1，β2，β3)綜合影響。聲子晶體研究大多針對正問題，即已知聲子晶體結構、材料求帶隙特性，而工程中更需據(jù)所需振動特性如帶隙位置設計合理的聲子晶體結構，即聲子晶體反問題。在理論分析基礎上將遺傳算法引入聲子晶體組合桿結構設計，對桿件夾角參數(shù)進行優(yōu)化，篩選符合要求的最優(yōu)結構。設所需減振范圍1 500～2 500 Hz，設計變量為β1，β2，β3，建立優(yōu)化模型。目標函數(shù)為

式中：DB(β1,β2,β3)為組合桿減振幅值。由于遺傳算法要求目標函數(shù)必須為正值，故將每組減振幅值增加100 dB作為補償，取1 500～2 500 Hz范圍內(nèi)均值作為目標函數(shù)。

約束取π/6≤β1,β2,β3≤π/2。遺傳算法具體參數(shù)設置為每一代個體數(shù)NIND =40，最大遺傳代數(shù)MAXGEN=200，代溝GGAP= 0.9。采用二進制編碼，編碼位數(shù)20。運算采用隨機遍歷抽樣算子，交叉運算采用兩點交叉算子，變異運算采用離散變異算子。通過遺傳算法求解獲得目標函數(shù)收斂曲線見圖7。由圖7看出，經(jīng)200代優(yōu)化獲得結果為β1=30°，β2=89.63°，β3=83.48°。在中低頻范圍1 500～2 500 Hz內(nèi)，夾角β2對振動特性影響較大，β2=90°時減振效果較好。通過遺傳算法優(yōu)化結果β2=89.63°，與結論基本一致。將幾種未優(yōu)選的聲子組合桿與優(yōu)化后聲子晶體組合桿傳遞率曲線對比見圖8。由圖8看出，優(yōu)化后聲子晶體組合桿減振性能整體優(yōu)于其它情況，尤其在1 500～1 700 Hz范圍內(nèi)減振效果加明顯。不同組合桿形式在1 500～2 500 Hz范圍內(nèi)平均減振幅值即綜合減振性能見圖9，幅值越小表示綜合減振性能越好。由圖9看出，優(yōu)選的組合桿形式綜合減振性能最好。由于影響聲子晶體組合桿減振性能因素較多，如桿徑比(子段A、B直徑比)、子桿長度比、彈性模量等，通過遺傳算法優(yōu)化多參數(shù)目標函數(shù)，選出減振性能最優(yōu)的聲子晶體組合桿形式為研究重點。

圖7 目標函數(shù)收斂曲線

圖8 聲子晶體組合桿傳遞率對比

圖9 聲子晶體組合桿目標函數(shù)值對比

5 結 論

用傳遞矩陣法計算聲子晶體串聯(lián)組合桿振動帶隙，并用數(shù)值計算與有限元仿真對振動傳遞特性進行計算及分析，結論如下：

(1) 聲子晶體串聯(lián)組合桿具有三維寬頻減振能力，為良好的寬頻多維減振元件。其機理在于聲子晶體串聯(lián)組合桿可實現(xiàn)波型轉(zhuǎn)換，使彎曲、縱向、扭轉(zhuǎn)帶隙同時發(fā)揮作用，達到多維寬頻減振效果。

(2) 加載角對聲子晶體串聯(lián)組合桿減振性能有一定影響。應據(jù)振源頻率特點盡量選用0°或90°加載角。

(3) 桿件間夾角對減振性能影響明顯。實際應用中應綜合考慮各桿件間夾角，進行夾角最優(yōu)化求解，確定最佳角度以滿足不同減振需求。

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