楊麗霞，黃斯婷

摘要：插值法計(jì)算實(shí)際利率，其原理是根據(jù)比例關(guān)系建立一個(gè)方程，然后解方程，計(jì)算得出所要求的數(shù)據(jù)。插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，是數(shù)值計(jì)算的基本課題。

關(guān)鍵詞：插值法；計(jì)算實(shí)際利率；數(shù)值計(jì)算

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）13-0105-02

一、插值法

插值法計(jì)算實(shí)際利率，其原理是根據(jù)比例關(guān)系建立一個(gè)方程，然后解方程，計(jì)算得出所要求的數(shù)據(jù)。插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，是數(shù)值計(jì)算的基本課題。本節(jié)討論具有唯一插值函數(shù)的多項(xiàng)式插值和分段多項(xiàng)式插值，對(duì)其中的多項(xiàng)式插值主要討論n次多項(xiàng)式插值的方法，即給定n+1各點(diǎn)處的函數(shù)值后，怎樣構(gòu)造一個(gè)n次插值多項(xiàng)式的方法。雖然理論上可以用解方程組（2）（那里m=n）得到所求插值多項(xiàng)式，但遺憾的是方程組（2），當(dāng)n較大時(shí)往往是嚴(yán)重病態(tài)的，故不能用解方程組的方法獲得插值多項(xiàng)式。本節(jié)介紹的內(nèi)容有：lagrange插值、newton插值、hermite插值，分段多項(xiàng)式插值及樣條插值。關(guān)于內(nèi)插法求實(shí)際利率，做出以下總結(jié)。

（1）內(nèi)插法的原理是根據(jù)等比關(guān)系建立一個(gè)方程，然后解方程，計(jì)算得出所要求的數(shù)據(jù)。例如：假設(shè)與A1對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是B1，與A2對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是B2，A介于A1和A2之間，已知與A對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是B，則可以按照（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）計(jì)算得出A的數(shù)值。

（2）仔細(xì)觀察一下這個(gè)方程會(huì)看出一個(gè)特點(diǎn)，即相對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)在等式兩方的位置相同。例如：A1位于等式左方表達(dá)式的分子和分母的左側(cè)，與其對(duì)應(yīng)的數(shù)字B1位于等式右方的表達(dá)式的分子和分母的左側(cè)。

（3）還需要注意的一個(gè)問(wèn)題是：如果對(duì)A1和A2的數(shù)值進(jìn)行交換，則必須同時(shí)對(duì)B1和B2的數(shù)值也交換，否則，計(jì)算得出的結(jié)果一定不正確。

59×（1+r）^-1+59×（1+r）^-2+59×（1+r）^-3+59×（1+r）^-4+（59+1250）×（1+r）^-5=1000（元），這個(gè)計(jì)算式可以轉(zhuǎn)變?yōu)?9×（P/A，r，5）+1250×（P/F，r，5）=1000.

該式子采用的是復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)的思路做的，如果改為年金現(xiàn)值系數(shù)，每年的利息其實(shí)就是年金，要收取5年，所以說(shuō)是5年期的，59*（P/A，R，5）+1250×（P/F，R，5）=1000.

當(dāng)r=9%時(shí)，59×3.8897+1250×0.6449=229.4923+

806.125=1035.617>1000元；當(dāng)r=12%時(shí)，59×3.6048+1250×0.5674=212.6832+709.25=921.9332<1000元.

因此，9%現(xiàn)值利率，1035.617？搖？搖9%，1000？搖？搖r 921.9332 12%，？搖（1035.617-1000）/（1035.617-921.9332）=（9%-r）/（9%-12%），解之得，r=10%，9%是估計(jì)出來(lái)的。在計(jì)算9%和12%之前，會(huì)有很多次預(yù)測(cè)，最終估算確定出9%和12%來(lái)推算r。

例如：假設(shè)與A1對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是B1，與A2對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是B2，現(xiàn)在已知與A對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是B，A介于A1和A2之間，即下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

？搖？搖A1？搖？搖？搖？搖B1

？搖？搖A（？）？搖？搖B

？搖？搖A2？搖？搖？搖？搖B2

則可以按照（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）計(jì)算得出A的數(shù)值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知數(shù)據(jù)。根本不必記憶教材中的公式，也沒(méi)有任何規(guī)定必須B1>B2，驗(yàn)證如下：

根據(jù)：（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）可知：（A1-A）=（B1-B）/（B1-B2）×（A1-A2），A=A1-（B1-B）/（B1-B2）×（A1-A2）=A1+（B1-B）/（B1-B2）×（A2-A1）.

例如：某人向銀行存入5000元，在利率為多少時(shí)才能保證在未來(lái)10年中每年末收到750元？5000/750=6.667或750*m=5000，查年金現(xiàn)值表，期數(shù)為10，利率i=8%時(shí)，系數(shù)為6.710；利率i=9%，系數(shù)為6.418。說(shuō)明利率在8%～9%之間，設(shè)為x%

？搖？搖8%？搖？搖6.710 x%？搖？搖6.667？搖？搖9%？搖？搖6.418

（x%-8%）/（9%-8%）=（6.667-6.71）/（6.418-6.71），計(jì)算得出x=8.147。

二、經(jīng)典例題

2000年1月1日，ABC公司支付價(jià)款120000元（含交易費(fèi)用），從活躍市場(chǎng)上購(gòu)入某公司5年期債券，面值180000元，票面利率5%，按年支付利息（即每年9000元），本金最后一次支付。合同約定，該債券的發(fā)行方在遇到特定情況時(shí)可以將債券贖回，且不需要為提前贖回支付額外款項(xiàng)。XYZ公司在購(gòu)買(mǎi)該債券時(shí)，預(yù)計(jì)發(fā)行方不會(huì)提前贖回。ABC公司將購(gòu)入的該公司債券劃分為持有至到期投資，且不考慮所得稅、減值損失等因素。為此，XYZ公司在初始確認(rèn)時(shí)先計(jì)算確定該債券的實(shí)際利率：

設(shè)該債券的實(shí)際利率為r，則可列出如下等式：

9000×（1+r）-1+9000×（1+r）-2+9000×（1+r）-3+9000×（1+r）-4+（9000+180000）×（1+r）-5=120000元

采用插值法，可以計(jì)算得出r=14.93%，由此可編制表

年份？搖？搖？搖期初攤余成本（a）？搖？搖？搖實(shí)際利率（r）？搖？搖？搖r=14.93% 現(xiàn)金流入？搖（c） 期末攤余成本？搖？搖d=a+r-c

2000？搖？搖？搖120000？搖？搖？搖17916？搖？搖？搖 9000？搖？搖？搖 128916

2001？搖？搖？搖128916？搖？搖？搖19247？搖？搖？搖 9000？搖？搖？搖 139163

2002？搖？搖？搖139163？搖？搖？搖20777？搖？搖？搖 9000？搖？搖？搖 150940

2003？搖？搖？搖150940？搖？搖？搖22535？搖？搖？搖 9000？搖？搖？搖 164475

2004？搖？搖？搖164475？搖？搖？搖24525（倒擠）？搖？搖？搖189000？搖？搖？搖0

但是如果計(jì)算利率r先假設(shè)兩個(gè)實(shí)際利率a和b，那么這兩個(gè)利率的對(duì)應(yīng)值為A和B，實(shí)際利率是直線a、b上的一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)值是120000，則有方程：（a-r）/（A-120000）=（b-r）/（B-120000）.

假設(shè)實(shí)際利率是13%，則有9000×3.5172+180000×0.5428=31654.8+97704=129358.8.

假設(shè)實(shí)際利率是15%，則有9000×3.3522+180000×0.4972=30169.8+89496=119665.8.

（0.13-r）/9358.8=（0.15-r）/（-334.2），解得：r=14.93%.endprint