張春玲，劉麗颯，宋 峰，張?zhí)旌?/p>

(南開大學(xué) 物理科學(xué)學(xué)院，天津 300071)

1 引 言

第15屆亞洲物理奧林匹克競賽于2014年5月11日至5月19日在新加坡舉行. 競賽設(shè)金牌15枚，中國隊(duì)8名參賽選手均獲得金牌，并獲得總分第一、實(shí)驗(yàn)第一、理論解題最佳創(chuàng)意獎(jiǎng)、最佳男生獎(jiǎng).

本屆競賽的實(shí)驗(yàn)題是“液體中的超聲速度”. 因原題較長，在此進(jìn)行了縮略，但盡量保留原貌. 試題解答為賽會(huì)提供的標(biāo)準(zhǔn)答案，并在最后作了簡短評論.

2 試 題

題目要求采用拉曼-內(nèi)斯衍射的聲光效應(yīng)和可直接觀測的駐波方法研究聲音在液體中的傳播性能.

2.1 實(shí)驗(yàn)儀器及元件

(a)

(b)

(c)

(d)圖1 儀器和元件的圖片

儀器和元件如圖1所示. A為3個(gè)盛放液體的玻璃容器，B為放置A的鋁架，C為壓電換能器，D1為放C的底托，D2為放D1上的帶調(diào)節(jié)螺釘?shù)钠桨澹珽為帶有能使激光保持打開狀態(tài)塑料套的激光筆，F(xiàn)為屏幕板(可以用于粘貼答題表以標(biāo)記條紋/圖案)，G為4個(gè)可用于固定激光筆和光學(xué)元件的升降臺(tái)，H為2面鏡子，I為2個(gè)透鏡(焦距分別為5.0 cm和15.0 cm)，J為礦泉水(2瓶1.5 L，2瓶0.5 L)，K為鹽(500 g)，L為未知質(zhì)量分?jǐn)?shù)的鹽水，M為3瓶0.51 L的玉米糖漿，N為數(shù)字電子秤，O為量杯，P為軟皮尺，Q為直尺，R為游標(biāo)卡尺，S為激光護(hù)目鏡，T為廢液池，U為2卷卷紙，V為勺子，W為剪刀，X為膠條和橡皮泥，Y為溫度計(jì).

2.2 實(shí)驗(yàn)任務(wù)

已知參量：水的折射率nw=1.333±0.007,空氣的折射率nair=1.000±0.003,玻璃的折射率ng=1.50±0.05,空氣中的激光波長λair=(660±3) nm.

2.2.1 實(shí)驗(yàn) A：利用衍射法測量超聲波的頻率

聲波在介質(zhì)中傳輸時(shí)會(huì)引起壓強(qiáng)波動(dòng)，導(dǎo)致介質(zhì)折射率發(fā)生變化. 適當(dāng)條件下聲波會(huì)在介質(zhì)中產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的周期性衍射光柵，該光柵可以通過光學(xué)方法探測，這就是聲光效應(yīng). 如圖2所示，光束被運(yùn)動(dòng)的周期性衍射光柵衍射，衍射光遵循光柵方程

dsinθ=iλmedium.

(1)

(1)式中d是光柵常量，θ是衍射角，i是衍射級次，λmedium是光在介質(zhì)中的波長. 根據(jù)拉曼-內(nèi)斯理論,光柵常量d等于圖2里介質(zhì)中超聲波的波長s.

圖2 超聲波在液體中產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的周期性衍射光柵

圖3中給出了礦泉水中聲速與水溫的關(guān)系. 要求利用已知的礦泉水中的聲速，通過衍射方法測量壓電換能器產(chǎn)生的超聲波的頻率.

圖3 礦泉水中聲速與溫度的關(guān)系

要利用圖4(a)所示裝置形成垂直運(yùn)動(dòng)的周期性衍射光柵. 在本部分實(shí)驗(yàn)中，要確?？烧{(diào)平板在水面之上，以避免濺水. 將激光束垂直照射在光柵上，產(chǎn)生衍射條紋. 如圖4(b)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)裝置布局，以方便看到清晰可辨的條紋，便于測量和分析.

(a)衍射法

(b)實(shí)驗(yàn)A的布局圖4 形成運(yùn)動(dòng)周期衍射光柵的裝置示意圖及建議的實(shí)驗(yàn)裝置布局圖

A1.小角度近似下水中聲波的波長λs為

(2)

利用式(1)和圖5中的相關(guān)參量，推導(dǎo)出A的表達(dá)式，用b，g，L，nw，ng,nair表示. 其中b是光柵中心到玻璃容器內(nèi)壁的距離,g是玻璃容器的壁厚,m是屏幕上衍射條紋的數(shù)目,L是玻璃容器外壁到屏的距離,Dm是屏上m個(gè)衍射條紋的總寬度 (1.5).

(a) (b)圖5 衍射光路示意圖及屏上所觀察到的條紋示例

A2. 根據(jù)圖4和圖5的提示組裝實(shí)驗(yàn)裝置，盡可能多地調(diào)出衍射條紋. 用橡皮泥把答題表緊貼在屏幕上，用短線畫出所觀測到的所有條紋的位置，寫出條紋總數(shù)目m、總寬度Dm和礦泉水的溫度，寫下計(jì)算時(shí)需要的相關(guān)實(shí)驗(yàn)參量. (2.5)

A3. 計(jì)算礦泉水中聲波的波長λs. (1.0)

A4. 計(jì)算并寫出礦泉水中超聲波的頻率fs. (0.5)

A5. 進(jìn)行誤差分析，估算出fs的不確定度(忽略nw,ng,nair和λair的不確定度). (1.0)

2.2.2 實(shí)驗(yàn)B:使用投影法測量超聲波的頻率

該方法中，將可調(diào)平板作為超聲波反射器，使行波在壓電換能器和可調(diào)平板間相互疊加，形成駐波. 圖6給出了投影法的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖. 在激光器和玻璃容器外壁之間插入透鏡，玻璃容器中的駐波圖樣就會(huì)被放大(放大率M=DB/p)地投影到屏幕上.

(a) (b)圖6 投影法原理圖及相關(guān)參量和投影到屏上駐波圖樣的示例圖

圖6中，p區(qū)域在屏上的放大率M為

(3)

式中，S1為透鏡中心到玻璃容器外壁的距離，S2為玻璃容器外壁到屏的距離，fL為透鏡焦距，a為光柵中心到玻璃容器左側(cè)內(nèi)壁的距離，b為光柵中心到玻璃容器右側(cè)內(nèi)壁的距離.

按照圖6所示原理來搭建實(shí)驗(yàn)裝置，建議：

a.投影法中要獲得超聲波駐波，可調(diào)節(jié)平板必須浸入在水中.

b.要獲得如圖6(b)所示穩(wěn)定且完美的駐波圖樣，必須仔細(xì)調(diào)節(jié)幾個(gè)螺釘使平板水平.

c.實(shí)驗(yàn)提供了焦距為5.0 cm 和15.0 cm的2個(gè)透鏡，但在實(shí)驗(yàn)中只用到其中1個(gè).

B1. 設(shè)在屏上DB寬度內(nèi)亮條紋的數(shù)目為mB. 由式(3)，用給出的可測量參量推導(dǎo)出λs的表達(dá)式. (1.0)

B2. 將答題表貼在屏上，畫出駐波投影圖樣. 寫下亮紋的數(shù)目mB、相應(yīng)的總寬度DB和礦泉水的溫度. (2.0)

B3. 計(jì)算礦泉水中聲波波長λs. (1.2)

B4. 計(jì)算礦泉水中超聲波頻率. (0.3)

B5. 作誤差分析，估算fs的不確定度. (可忽略nw,ng,nair和fL的不確定度)(1.0)

2.2.3 實(shí)驗(yàn)C:確定含鹽溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)

此實(shí)驗(yàn)提供了1瓶未知質(zhì)量分?jǐn)?shù)的礦泉水鹽溶液，實(shí)驗(yàn)C的目的是確定鹽溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù).

將1.5 L礦泉水注入玻璃容器，用電子秤稱量一定質(zhì)量的鹽倒入容器中，可用實(shí)驗(yàn)A或B中所得到的超聲波頻率，僅用實(shí)驗(yàn)A或B中的一種方法測定已知質(zhì)量分?jǐn)?shù)鹽水中的聲速. 合理增加倒入到玻璃容器中鹽的質(zhì)量，重復(fù)測量. 畫出聲速關(guān)于質(zhì)量分?jǐn)?shù)cs(cs為溶解在水中鹽的質(zhì)量除以鹽和水的總質(zhì)量)的關(guān)系線，該關(guān)系線是后面實(shí)驗(yàn)中要用到的校準(zhǔn)線. 然后測量標(biāo)有未知質(zhì)量分?jǐn)?shù)礦泉水鹽溶液中的聲速，利用畫出的校準(zhǔn)線確定該鹽溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù). 假設(shè)加鹽后鹽溶液的折射率的變化可以忽略，仍保持為1.333±0.007.

C1.在答題表上記錄每個(gè)已知鹽溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)下觀察到的圖案并且標(biāo)注鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù). (1.0)

C2.計(jì)算所有已知質(zhì)量分?jǐn)?shù)鹽溶液中的聲速vs. (2.0)

C3.畫出溶液中聲速vs關(guān)于鹽溶液質(zhì)量分?jǐn)?shù)cs的關(guān)系線，要求含有誤差棒，假設(shè)對每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，百分誤差與實(shí)驗(yàn)A或B中所獲得的一致. (1.0)

C4.測定未知鹽溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)cs. 在答題表上記錄未知質(zhì)量分?jǐn)?shù)鹽溶液實(shí)驗(yàn)觀察到的圖案. 計(jì)算該溶液中的聲速. (0.8)

C5.確定該未知鹽溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，寫下帶有不確定度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果. (0.2)

2.2.4 實(shí)驗(yàn)D:測量玉米糖漿溶液中的聲速

用實(shí)驗(yàn)A中的衍射法測量玉米糖漿溶液中的聲速，但是需首先測定玉米糖漿溶液的折射率. 實(shí)驗(yàn)D不要求誤差分析.

D1. 畫出所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)原理示意圖，標(biāo)明參量. 做實(shí)驗(yàn)，計(jì)算玉米糖漿的折射率. (1.5)

D2. 搭建實(shí)驗(yàn)A中衍射法測量玉米糖漿中聲速的實(shí)驗(yàn)裝置. 在答題表中標(biāo)記衍射條紋. 測量并記錄計(jì)算玉米糖漿中聲速vs所需的所有相關(guān)參量. (1.0)

3 試題解答

3.1 A解答

A1：題目給出

dsinθw=iλw,

(4)

已知

nwλw=nairλair，

(5)

拉曼-內(nèi)斯條件

d=λs,

(6)

折射定律

(7)

(8)

由上面各式得到:

Dm=2(btanθw+gtanθg+Ltanθair) .

(9)

利用小角近似，有

tanθw=sinθw,tanθg=sinθg,tanθair=sinθair.

(10)

可得

(11)

注意m=2i+1,所以

(12)

最后

(13)

A2： 組委會(huì)給出的條紋模式(縮小示意)如圖7所示，實(shí)驗(yàn)參量見表1.

圖7 組委會(huì)給出的試題A的條紋

模式t/℃b/cmL/cmDm/cmmλs/(10-4 m)Δλs/λs模式122.0±0.55.0±0.2368.5±0.57.50±0.05268.200.006 8模式222.0±0.55.5±0.2235.0±0.59.60±0.05518.230.005 6模式3 22.0±0.57.1±0.2384.6±0.512.50±0.05418.240.004 2

A3-A5：測得玻璃容器壁厚g=(5.05±0.05) mm,λs=8.22×10-4m,根據(jù)圖3，22 ℃水中超聲的聲速為vs=(1 484±4) m/s,超聲頻率fs=vs/λs=1.80 MHz.

Δfs=0.01 MHz.

3.2 B解答

所以

B2-B5：答題紙上描出條紋位置(縮小示意)如圖8所示，測得的參量見表2.

圖8 試題B的條紋位置

模式mBDm/cmt/℃a/cma+b/cmg/cmS1/cmS2/cmMp/cmλs/(10-4 m)Δλsλs模式1119.6122.05.211.160.5012.7257.422.960.4198.370.012模式2124.1222.05.511.160.5012.792.28.950.4608.370.016模式32211.8022.03.512.000.5020.5208.512.660.9328.880.008

其中Dm=±0.05 cm,Δt=±0.5 ℃,Δa=±0.1 cm,Δ(a+b)=±0.05 cm,Δg=±0.05 cm,ΔS1=±0.1 cm,ΔS2=±0.1～±0.5 cm,fL=5.0 cm,λs mean=8.54×10-4m,則

Δfs=0.02 MHz.

3.3 C解答

C1：已知鹽溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)下測得的條紋如圖9所示(縮小示意).

C2：測量結(jié)果見表3.

圖9 已知鹽溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)下測得的條紋

1.5L水中鹽質(zhì)量/gct/℃b/cmL/cmDm/cmmλs/(10-4 m)v/(m·s-1)0.0022.07.1375.612.52428.241 48380.00.0522.06.8381.811.63408.571 543160.00.1022.08.4380.512.86468.941 609240.00.1422.07.6371.111.42439.151 647320.00.1822.07.0373.511.10439.471 704400.00.2122.08.9375.511.00439.641 735

C3：鹽溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)和聲速的關(guān)系如圖10所示.

圖10 鹽溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與聲速的關(guān)系

C4-C5：未知質(zhì)量分?jǐn)?shù)的鹽溶液測得條紋如圖11所示(縮小示意).

圖11 未知質(zhì)量分?jǐn)?shù)鹽溶液測得的條紋

未知質(zhì)量分?jǐn)?shù)鹽溶液的實(shí)驗(yàn)參量：

b

=(8.5±0.1) cm,

L

=(374.7±0.1) cm,

D

m

=(11.10±0.05) cm,

m

=43,

λ

s

=9.61×10

-4

m,水溫

t

=(22.0±0.5) ℃,未知質(zhì)量分?jǐn)?shù)鹽溶液中聲速

v

s

=1 714 m/s,未知質(zhì)量分?jǐn)?shù)鹽溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)

c

s

=0.19±0.01.

3.4 D解答

D1：忽略了玻璃的實(shí)驗(yàn)原理示意圖如圖12所示.

圖12 忽略玻璃的實(shí)驗(yàn)原理示意圖

D2：玉米糖漿對應(yīng)的衍射條紋如圖13所示(縮小示意).

圖13 玉米糖漿對應(yīng)的衍射條紋

玉米糖漿的實(shí)驗(yàn)參量：b=(8.9±0.1) cm,L=(360.0±0.1) cm,D=(1.85±0.05) cm,m=9,λs=10.47×10-4m,v=1 885 m/s.

4 評 論

本次亞賽的實(shí)驗(yàn)考題與2013年的亞賽類似，都是只有一個(gè)大的題目，下分幾個(gè)小的題目. 題目要求首先用2種方法測量壓電換能器產(chǎn)生的超聲的頻率，然后利用得到的結(jié)果測量鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)和玉米糖漿中的聲速. 其中A部分要求學(xué)生給出盡可能多的衍射條紋，但是中文國家和地區(qū)的學(xué)生多是給出了1套條紋模式，這可能和中文與其他語言的差異有些關(guān)系. 但是，從最終結(jié)果來看，給出3套條紋的參賽學(xué)生反倒沒有得到很好的成績，這可能是因?yàn)樗麄兙心嘤贏部分試題，用了太多的時(shí)間，以至于后面的試題沒有時(shí)間看，最終對總分產(chǎn)生影響. 本屆亞賽的主辦方也是做足了準(zhǔn)備，因?yàn)榕掠袑W(xué)生不做實(shí)驗(yàn)就亂編數(shù)據(jù)，所以進(jìn)行了兩項(xiàng)工作：第一，考試時(shí)有官方工作人員拍照，如果在評分環(huán)節(jié)發(fā)現(xiàn)有考生回答了某部分題目，可是連礦泉水或者玉米糖漿的瓶子都沒有開封，直接給該部分題目0分. 第二，對于不同質(zhì)量分?jǐn)?shù)的鹽水，主辦方提前計(jì)算并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與聲速的對應(yīng)關(guān)系，并對學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算和驗(yàn)證. 這兩點(diǎn)，既能讓我們看到新加坡對本屆競賽的重視，也對參賽學(xué)生進(jìn)行了科學(xué)研究要實(shí)事求是和辦事嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕逃?

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