田玉仙，李紹蓉，陳 丹，龔 安，楊 易

(西安科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710054)

1 引 言

對(duì)于駐波干涉法[1]測(cè)聲速的實(shí)驗(yàn)原理，教材只是簡(jiǎn)單推導(dǎo)了兩行波疊加形成的駐波方程，利用駐波相鄰波節(jié)間距離是半個(gè)波長(zhǎng)，記錄下示波器顯示的正弦波振幅最大時(shí)接收器坐標(biāo)，逐差法處理數(shù)據(jù)即可計(jì)算波長(zhǎng)，從而測(cè)定聲速. 但學(xué)生不明白形成穩(wěn)定駐波時(shí)，接收器處恒為波節(jié)，振幅應(yīng)該恒為零，為什么測(cè)定示波器顯示的正弦波振幅最大時(shí)接收器坐標(biāo)，就可以測(cè)定波長(zhǎng)……，二者間有何聯(lián)系？利用該法測(cè)試聲速中，示波器顯示的正弦波常超出示波器屏幕范圍，導(dǎo)致振幅最大無(wú)法判斷，為讓實(shí)驗(yàn)得以進(jìn)行，只能隨時(shí)減小示波器Y偏轉(zhuǎn)增益，這樣又會(huì)增加實(shí)驗(yàn)誤差，對(duì)此問(wèn)題如何解決？朱方璽等[2]針對(duì)原有聲速測(cè)量?jī)x中存在的不足，利用單片機(jī)、步進(jìn)電機(jī)等器件構(gòu)建控制電路，通過(guò)識(shí)別信號(hào)強(qiáng)度強(qiáng)弱變化來(lái)代替原有實(shí)驗(yàn)儀中手動(dòng)操作，提高了實(shí)驗(yàn)精度. 鄭慶華[3]分析了考慮空氣對(duì)聲波的吸收及反射截面損耗下利用相鄰兩聲壓極大值之間的距離為λ/2測(cè)聲速的原理. 王開(kāi)圣等[4]分別導(dǎo)出了平面波、球面波函數(shù)下考慮空氣吸收后接收聲壓的表達(dá)式，分析了聲壓隨探頭間距的變化規(guī)律. 張寶峰等[5]對(duì)聲波在發(fā)射器和接收器2個(gè)端面之間反射形成極大值的位置、條件以及聲波強(qiáng)度隨距離變化的規(guī)律作了研究. 張正康等[6]介紹了基于Cassy Lab軟件下的超聲波干涉實(shí)驗(yàn)，根據(jù)干涉理論推導(dǎo)了峰谷法測(cè)量聲速的計(jì)算公式.從文獻(xiàn)[4,5]中聲強(qiáng)隨距離變化實(shí)驗(yàn)、模擬圖片都可以看出，共振干涉法測(cè)聲速時(shí)，聲壓極小值也按接收器位置呈半波長(zhǎng)的周期性變化，對(duì)此，二文獻(xiàn)均未提及. 文獻(xiàn)[6]雖然提出了干涉峰谷法測(cè)量聲速理論，但其采用了與現(xiàn)行絕大多數(shù)工科院校大學(xué)物理聲速實(shí)驗(yàn)完全不同的儀器設(shè)備，因此不具有可比性。本文將針對(duì)工科院校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中駐波干涉法測(cè)聲速常規(guī)儀器設(shè)備，詳細(xì)詳細(xì)推導(dǎo)無(wú)數(shù)往返行波疊加形成的穩(wěn)定駐波方程和駐波的能量方程，將之與壓電陶瓷聲電轉(zhuǎn)換理論結(jié)合起來(lái)，從而揭示形成穩(wěn)定駐波時(shí)示波器顯示正弦波形振幅與接收器媒質(zhì)能量關(guān)系，看從理論上找到聲壓極小值法測(cè)聲速的依據(jù)并用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

2 駐波方程的推導(dǎo)

駐波法測(cè)聲速實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示. 實(shí)驗(yàn)前，調(diào)節(jié)接收器S2，使之與發(fā)射器嚴(yán)格平行且同軸等高，并選擇性能較好的輸出頻率穩(wěn)定的低頻信號(hào)發(fā)生器. 當(dāng)信號(hào)發(fā)生器輸出正弦波信號(hào)，接至壓電陶瓷超聲波換能器(電聲轉(zhuǎn)換)S1，發(fā)射出超聲平面波(聲源). 該超聲波經(jīng)空氣正向入射到相距一定距離L的壓電陶瓷接收器(聲電轉(zhuǎn)換)S2后，將沿發(fā)射器和接收器軸線(xiàn)在接收器表面作垂直反射，形成逆向反射波，該反射波逆向傳輸至發(fā)射器時(shí)，又會(huì)沿二者軸線(xiàn)在反射器表面垂直反射，發(fā)出二次正向入射波，接著又會(huì)在接收器表面垂直反射，形成二次逆向反射波……如此往返地傳播，S1和S2之間可有無(wú)窮多個(gè)正向入射行波和逆向反射行波傳播著.由于空氣的阻抗小于鋁材料制成的壓電陶瓷換能器阻抗，故在發(fā)射器和接收器表面的每次反射中都存在半波損失. 由于超聲波聲強(qiáng)隨距離增加衰減較小，可忽略空氣對(duì)超聲波能量的吸收. 反射端面很平整、光滑且同軸等高，反射界面的能量反射損失也可以忽略.

圖1 駐波干涉法測(cè)聲速連線(xiàn)圖

選擇游標(biāo)卡尺主尺0線(xiàn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿游標(biāo)尺方向建立x軸，聲源S1坐標(biāo)x=x0，選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)時(shí)零點(diǎn)使1次入射波初相為零，則各次理想的正向入射波和逆向反射波波函數(shù)為

(1)

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x為各媒質(zhì)位置坐標(biāo)，可從游標(biāo)卡尺讀出.

從各次正向入射波和逆向反射波波函數(shù)可以看出，當(dāng)發(fā)射器和接收器端面之間的距離L=nλ/2時(shí)，所有正向入射波、逆向反射波分別同相位，相互疊加后各自的合成波振幅都取最大值. 把所有正向入射波等效為一列波y入，把所有逆向反射波等效為一列波y反，則得到穩(wěn)定駐波波動(dòng)方程為

(7)

3 駐波的能量

在發(fā)射器S1和接收器S2間任意取一體積元dV=Sdx，S是媒質(zhì)截面積，dx是體積元線(xiàn)度. 設(shè)空氣密度為ρ，楊氏模量為Y(Y=ρu2)，正向入射波和逆向反射波傳輸過(guò)程中，都會(huì)引起該體積元振動(dòng)并發(fā)生形變，引起振動(dòng)動(dòng)能和形變勢(shì)能的改變. 其振動(dòng)速度、形變量、振動(dòng)動(dòng)能、形變勢(shì)能和機(jī)械能分別為

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dW=dWk+dWp.

(12)

由上述計(jì)算公式知，各體積元的振動(dòng)速度、形變量、動(dòng)能、勢(shì)能和機(jī)械能都隨時(shí)間作同周期性的變化. 結(jié)合圖2和圖3可以看出，波節(jié)處，振動(dòng)速度始終為零，體積元始終保持靜止，動(dòng)能為零，而其形變量及形變勢(shì)能均隨時(shí)間按照余弦規(guī)律作同周期性變化.t=(2k+1)T/4時(shí)形變量及勢(shì)能最大，最大勢(shì)能值為dWp-max=2ρA*2ω2Sdx，t=2kT/4時(shí)形變量為零，勢(shì)能為零.

波腹處，體積元形變量始終為零，勢(shì)能始終為零，但其振動(dòng)速度及動(dòng)能也隨時(shí)間按照余弦規(guī)律作同周期性變化.t=2kT/4時(shí)振動(dòng)速度最大，動(dòng)能最大，最大動(dòng)能dWk-max=2ρA*2ω2Sdx，且dWk-max=dWp-max，t=(2k+1)T/4時(shí)振動(dòng)速度為零，動(dòng)能為零.

圖2 波節(jié)處?y/?x及波幅處v隨t變化

圖3 波節(jié)處dWp及波幅處dWk隨t變化

相鄰波節(jié)和波腹之間媒質(zhì)的總能量

(13)

不隨時(shí)間變化. 也就是說(shuō)，任一相鄰波腹和波節(jié)間λ/4長(zhǎng)的一段駐波，作為一個(gè)整體，其能量變化與諧振子類(lèi)似，波節(jié)處只有勢(shì)能，波幅處只有動(dòng)能，且波節(jié)處媒質(zhì)最大形變勢(shì)能與波幅處媒質(zhì)最大振動(dòng)動(dòng)能相等，在任一時(shí)刻，波節(jié)處2波的能流密度矢量大小相等，方向相反，疊加后能流密度矢量為零，波腹處的能流密度矢量也為零，即無(wú)能量流過(guò)波節(jié)和波幅.而波節(jié)和波幅間的其他媒質(zhì)，既有勢(shì)能又有動(dòng)能，駐波的勢(shì)能和動(dòng)能在相鄰波節(jié)和波幅間相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化周期剛好為波動(dòng)周期的T/4，駐波無(wú)能量的定向傳播.

4 聲壓方程

本實(shí)驗(yàn)中，超聲波的發(fā)射和駐波信號(hào)的接收都是通過(guò)壓電陶瓷換能器來(lái)完成的. 壓電陶瓷換能器由壓電陶瓷片和一輕一重2種不同金屬組成，在一定的溫度下經(jīng)極化處理后，具有壓電效應(yīng)，利用它能夠?qū)C(jī)械能和電能互相轉(zhuǎn)換. 當(dāng)正弦交流電信號(hào)加到發(fā)射器上時(shí)，會(huì)引起壓電陶瓷振動(dòng)并產(chǎn)生伸縮形變，發(fā)射超聲波.當(dāng)超聲波正入射到達(dá)接收器時(shí)，會(huì)在接收器表面垂直反射，二者都會(huì)引起組成接收器的壓電陶瓷換能器振動(dòng)，在縱向上發(fā)生伸縮形變，并在形變的相反方向上產(chǎn)生與形變量成正比例的彈性壓力(應(yīng)力)，設(shè)應(yīng)力的合力F=-k?y/?x. 在此應(yīng)力作用下，壓電陶瓷表面會(huì)產(chǎn)生電荷，而在極化方向上產(chǎn)生一定的電壓U(聲壓)，該聲壓U與應(yīng)力F滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系

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該式也是聲學(xué)理論中所述的一維情況下，忽略媒質(zhì)對(duì)聲波吸收時(shí)接收器端面處的聲壓波動(dòng)方程[7]，比例常量k和ks分別為彈性系數(shù)和壓電常量，與材料性質(zhì)有關(guān). 壓電陶瓷就是通過(guò)這種方式，將聲壓變化轉(zhuǎn)變?yōu)殡妷鹤兓瘉?lái)接收聲信號(hào)的.

綜上所述，當(dāng)聲速測(cè)定儀的發(fā)射器和接收器端面之間的距離L=nλ/2時(shí)，發(fā)生器和接收器間可形成穩(wěn)定聲駐波，由于反射時(shí)有半波損失，此時(shí)接收換能器表面處始終為波節(jié)，媒質(zhì)始終靜止不動(dòng)，振幅為零，位移為零，故本實(shí)驗(yàn)中示波器顯示的波形實(shí)際上不是接收器端面波節(jié)的位移波形. 從圖1可知，聲速實(shí)驗(yàn)中，是將接收器接收到的聲電轉(zhuǎn)換信號(hào)直接接到示波器Y端，選擇示波器Y工作模式，故示波器屏幕上顯示的正弦波形正是由接收器壓電陶瓷伸縮形變產(chǎn)生的聲壓波形. 由聲壓波動(dòng)方程可看出，聲壓的值隨接收器位置呈周期性變化，波幅處，聲壓為零，波節(jié)處，聲壓隨時(shí)間按照余弦規(guī)律呈周期性變化.t=(2k+1)T/4時(shí)，媒質(zhì)形變量最大，勢(shì)能最大，接收器接收到的聲電轉(zhuǎn)換信號(hào)U最大，示波器上顯示的正弦波形振幅也最大，聲壓效應(yīng)最明顯.t=2kT/4時(shí)，媒質(zhì)形變量為零，勢(shì)能為零，理論上接收器接收到的聲電轉(zhuǎn)換信號(hào)U應(yīng)該為零，示波器上顯示的電信號(hào)振幅也應(yīng)該為零.

5 聲速的測(cè)量

5.1 實(shí)驗(yàn)儀器

采用杭州大華儀器制造有限公司生產(chǎn)的SV-DH-7聲速測(cè)定儀，共振頻率f=37 090 Hz；SUX-5型綜合聲速測(cè)定儀信號(hào)源，輸出頻率范圍25～45 kHz；自配示波器為西安紅華電子有限公司生產(chǎn)的20 MHz雙蹤示波器，型號(hào)為紅華COS 5020B，最高靈敏度1 mV/div. 聲速測(cè)量組合儀實(shí)物照片見(jiàn)圖4.

圖4 聲速測(cè)量組合儀實(shí)物照片

5.2 傳統(tǒng)聲壓極大值法測(cè)聲速

移動(dòng)接收換能器位置，接收器接收到的聲壓極大值將隨S1和S2間距離L呈周期性變化. 因此，若保持聲源的頻率f不變，移動(dòng)接收器，改變接收器與發(fā)射器間的距離L，則在一系列的距離上可不間斷地測(cè)得接收器處聲壓振幅極大值的位置坐標(biāo)x1,x2,x3,x4,…,x12. 根據(jù)相鄰兩聲壓極大值之間接收器位置坐標(biāo)改變量xi+1-xi=λ/2，采用逐差法，可求出該超聲波在空氣中的波長(zhǎng)λ，再用公式u=λf可計(jì)算出該超聲波在空氣中的傳播速度.這也是現(xiàn)有的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教材中，駐波干涉法測(cè)聲速實(shí)驗(yàn)所采用的通用辦法.

駐波共振干涉法測(cè)定聲速中，當(dāng)接收器接收到超聲波強(qiáng)度的大小發(fā)生微小變化時(shí)，示波器能否反映出來(lái)，取決于示波器Y偏轉(zhuǎn)的靈敏度和幅度線(xiàn)性.Y偏轉(zhuǎn)增益越大，示波器的靈敏度越高，幅度線(xiàn)性越好，就越能反映超聲波強(qiáng)度大小的微小變化，測(cè)量結(jié)果也就越精確. 而傳統(tǒng)的聲壓極大值法所顯示的聲壓波形幅度受示波器顯示屏大小及幾何尺寸的制約，即波形不能超過(guò)屏幕的最大尺寸，否則就無(wú)法觀察和比較波形和幅度，所以Y偏轉(zhuǎn)增益不能過(guò)大.故一般示波器的最高靈敏度為1 mv/div，誤差為10%[8].

5.3 聲壓極小值法測(cè)聲速

由于超聲波在空氣中傳播時(shí)，其能量要被空氣吸收衰減，振幅也要衰減，而低頻超聲波在空氣中吸收系數(shù)較小，這使得聲波衰減速度慢，這樣反射波振幅總小于入射波，但入射波與反射波的振幅相差不大，干涉疊加并形成穩(wěn)定駐波時(shí)，接受器處媒質(zhì)實(shí)際的形變量、彈性勢(shì)能的極小值不可能為零，示波器接收到的聲壓的極小值也不為零，這與前面對(duì)理想駐波推導(dǎo)不符，實(shí)驗(yàn)時(shí)需仔細(xì)觀察.

表1 駐波法之聲壓極小值法測(cè)聲速數(shù)據(jù)

聲壓極小值法不受示波器顯示屏大小及幾何尺寸的制約，為提高儀器靈敏度，實(shí)驗(yàn)前可將示波器Y偏轉(zhuǎn)增益調(diào)到最大，即可使實(shí)驗(yàn)誤差減少到儀器所能達(dá)到的最小程度.

6 結(jié) 論

示波器屏幕上顯示的正弦波形為聲壓波形，其值與接收器壓電陶瓷形變量成正比.t=(2k+1)T/4時(shí)最大，t=2kT/4時(shí)最小. 連續(xù)監(jiān)測(cè)系列聲壓極大值或極小值時(shí)S2位置坐標(biāo)，利用相鄰兩聲壓極大值或極小值間接收器位置坐標(biāo)改變量都是λ/2，采用逐差法，兼可測(cè)定超聲波波長(zhǎng)，從而測(cè)定聲速. 與傳統(tǒng)聲壓極大值法相比，聲壓極小值法測(cè)聲速不受示波器顯示屏大小的限制，實(shí)驗(yàn)前如將Y偏轉(zhuǎn)增益調(diào)到最大，可大大減少實(shí)驗(yàn)誤差，因此，該法更具有優(yōu)勢(shì).

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