薛 偉，萬 雷

(東北林業(yè)大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150040)

橋式起重機(jī)采用鋼絲繩連接起重小車和吊裝的重物，這種柔性連接方式一方面減少了起升時(shí)的沖擊載荷，另一方面，由于慣性的影響，吊重在橫向搬運(yùn)時(shí)的速度與起重小車的速度不同步，使得吊重在鋼絲繩末端做小幅度球面擺動(dòng)，擺動(dòng)過程從大、小車的加速起動(dòng)階段到穩(wěn)定運(yùn)行階段再到減速制動(dòng)階段持續(xù)進(jìn)行，吊重的擺動(dòng)進(jìn)而影響了大、小車運(yùn)行的速度特性。吊重?cái)[動(dòng)角度的控制和起重小車的準(zhǔn)確定位是一個(gè)關(guān)乎生產(chǎn)安全和生產(chǎn)效率的問題，而對(duì)吊擺系統(tǒng)振動(dòng)特性的研究是對(duì)其控制方案設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)和參照。

針對(duì)吊擺系統(tǒng)的代表性研究中，鐘斌將吊擺系統(tǒng)簡(jiǎn)化為二維質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)，采用矢量力學(xué)建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[1]；薛偉應(yīng)用拉格朗日方程建立了吊擺系統(tǒng)的4自由度動(dòng)力學(xué)分析模型[2]，首次考慮了吊重的長(zhǎng)度對(duì)擺動(dòng)的影響并引入“質(zhì)桿”作為其中一個(gè)研究對(duì)象；Lee在建?；A(chǔ)上，分別采用模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制兩種方法進(jìn)行防擺控制[3]；杜文正針對(duì)小車位移特性和吊重?cái)[角特性分別設(shè)計(jì)了兩個(gè)PID控制器[4]。

1 吊擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 模型建立的基本假設(shè)

對(duì)吊擺系統(tǒng)做以下3個(gè)基本假設(shè)作為建模的必要條件：

(1)小車和吊重分別簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)O和A，質(zhì)量分別為M和m，不計(jì)吊重的水平扭轉(zhuǎn)。

(2)鋼絲繩有足夠的強(qiáng)度和剛度，忽略鋼絲繩因受力而引起的微小形變。

(3)忽略鋼絲繩的質(zhì)量以及鋼絲繩和滑輪組之間的摩擦。

1.2 吊擺系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立

文獻(xiàn)[5]研究表明，吊重在鋼絲繩末端做的小幅度球面擺動(dòng)可以看作分別在大車和小車運(yùn)行方向上做類似單擺運(yùn)動(dòng)的合成。在微擺條件下，某一方向上的擺角只與該方向上的速度特性和該平面內(nèi)擺動(dòng)阻尼有關(guān)而與其他方向上的因素?zé)o關(guān)。由于大、小車對(duì)各自運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)擺角的影響規(guī)律相同，且復(fù)合運(yùn)動(dòng)的研究較復(fù)雜，這里假設(shè)大車停止，只選擇吊擺系統(tǒng)在平面XOZ內(nèi)的運(yùn)動(dòng)作為研究對(duì)象，研究轉(zhuǎn)化為3自由度平面運(yùn)動(dòng)問題。

起重機(jī)工作時(shí)，水平搬運(yùn)和豎直起吊兩過程不同時(shí)進(jìn)行，豎直起吊時(shí)小車制動(dòng)，擺角近似為0[6]，故本文只研究水平搬運(yùn)過程。吊擺系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 吊擺系統(tǒng)模型示意圖

建立坐標(biāo)系XOZ，其中：小車起始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，X和Z兩個(gè)軸向分別代表小車運(yùn)行和吊重升降的方向，OB為鉛垂線，OA為繩長(zhǎng)(擺線長(zhǎng)度)，∠AOB為擺線與鉛垂線二維夾角。記∠AOB=θ，OA=l，吊擺系統(tǒng)的模型如圖1所示。

設(shè)小車質(zhì)心坐標(biāo)(XM，ZM)=(x，0)，則吊重質(zhì)心坐標(biāo)(Xm，Zm)=(x+lsinθ,-lcosθ)。

小車和吊重的速度分量分別是它們位置坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)：

在忽略掉一些次要因素并做出必要的假設(shè)后，起重機(jī)吊擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。在分析這類小幅度振動(dòng)問題時(shí)，可以用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力之類的純量來描述總體系，本論文采用拉格朗日方程來建立起重機(jī)吊擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

拉格朗日方程的一般形式如下：

(1)

式中：L為拉格朗日函數(shù)，L=T-V，T為系統(tǒng)的動(dòng)能；V為系統(tǒng)的勢(shì)能；qj為廣義坐標(biāo)；Qj為廣義力。

吊擺系統(tǒng)的動(dòng)能：

(2)

吊擺系統(tǒng)的重力勢(shì)能：

V=-mglcosθ。

(3)

拉格朗日函數(shù)：

(4)

將(4)式帶入(1)式的拉格朗日方程：

(5)

1.3 模型的線性化處理

(6)

2 吊擺系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真

2.1 仿真的數(shù)學(xué)模型

(1)小車起停階段。小車由靜止經(jīng)電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)加速運(yùn)行到電動(dòng)機(jī)停止驅(qū)動(dòng)后小車被制動(dòng)最終停止，研究吊擺系統(tǒng)在時(shí)域內(nèi)的變化。由于鋼絲繩的擺動(dòng)阻尼對(duì)偏擺運(yùn)動(dòng)起抑制作用，故起停階段忽略鋼絲繩阻尼，(6)改寫為左端只保留二階導(dǎo)數(shù)的形式(7)：

(7)

(8)

2.2 實(shí)例仿真

選擇QD32/5型號(hào)起重機(jī)作為實(shí)例仿真對(duì)象，額定起重量32 t，跨度22 m，最大起升高度13 m，小車質(zhì)量11.5 t，小車運(yùn)行電動(dòng)機(jī)YZR160M-1(功率6.3 kW，轉(zhuǎn)速921 r/min)，制動(dòng)器JWZ9-200/E23(制動(dòng)力矩200 N·m)。應(yīng)用Matlab/Simulink軟件分別對(duì)2.1中的公式(1)和公式(2)兩階段的三種工況：①m=25 t，l=10 m；②m=25 t，l=5 m；③m=12.5 t，l=10 m進(jìn)行仿真。

(1)起停階段仿真時(shí)間12 s，其中電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)8s，制動(dòng)作用4 s。小車的運(yùn)動(dòng)曲線如圖2和圖3所示，吊重的擺動(dòng)曲線如圖4和圖5所示。

(2)制動(dòng)后吊重的擺動(dòng)，鋼絲繩擺動(dòng)阻尼600 N·s/m，仿真時(shí)間120 s，吊重在不同工況下的擺動(dòng)角速度如圖6和圖7所示。

圖2 速度—時(shí)間曲線圖

圖3 位移—時(shí)間曲線

圖4 角速度—時(shí)間曲線

圖5 擺角—時(shí)間曲線

圖6 不同繩長(zhǎng)的角速度—時(shí)間曲線

圖7 不同吊重質(zhì)量的角速度—時(shí)間曲線

3 結(jié) 論

結(jié)合橋式起重機(jī)工作特點(diǎn)，應(yīng)用分析力學(xué)建立了吊重偏擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，選取QD32/5型號(hào)起重機(jī)作為研究對(duì)象，采用Matlab/Simulink軟件對(duì)小車起停階段和制動(dòng)后吊重的擺動(dòng)情況進(jìn)行仿真，得到了小車的運(yùn)動(dòng)特性和吊重的擺動(dòng)特性。

(1)電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)下，吊重后擺使小車速度呈現(xiàn)加速和勻速的周期性交替變化，3種工況下的周期分別約為1、1和2 s；制動(dòng)時(shí)吊重的前擺程度較大，小車速度整體呈下降趨勢(shì)的過程中有周期性短暫加速，小車的速度不能穩(wěn)定。工況①和②的位移曲線基本重合，說明影響小車定位的主要因素是吊重質(zhì)量，而鋼絲繩長(zhǎng)度的影響較小。

(2)吊重在電機(jī)驅(qū)動(dòng)和制動(dòng)器制動(dòng)作用下做受迫擺動(dòng)，兩階段周期基本相同；3種工況下，起動(dòng)階段最大擺角分別為0.03、0.03和0.05 rad；制動(dòng)階段最大擺角分別為0.12、0.12和0.18 rad?？梢姡瑢?duì)吊重系統(tǒng)擺角的控制主要是針對(duì)制動(dòng)階段。

(3)小車制動(dòng)停止后，吊重做有阻尼擺動(dòng)，擺動(dòng)周期分別為6.8、4.2和4.2 s，擺動(dòng)完全消除需要的時(shí)間較長(zhǎng)，都超過120 s。工況①和②的對(duì)比說明繩長(zhǎng)主要影響擺動(dòng)周期，縮短繩長(zhǎng)可以使擺動(dòng)周期減小，但增大了約0.2 rad/s的擺動(dòng)角速度；工況①和③的對(duì)比說明吊重質(zhì)量越小，擺動(dòng)減弱的越快。

該分析模型和仿真結(jié)果接近實(shí)際情況，描述的吊運(yùn)貨物時(shí)吊擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況，為小車定位控制和吊重的擺動(dòng)控制提供了基礎(chǔ)，具有一定的實(shí)際意義。

【參 考 文 獻(xiàn)】

[1]鐘 斌，程文明，馬莉麗，等.起重機(jī)小車吊重動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)空間重構(gòu)[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，42(4)：436-441.

[2]薛 偉，郭永娟.林用起重機(jī)起吊木捆偏擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型與仿真[J].東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，39(6)：87-89.

[3]Lee H，Kun C S.A new fuzzy-logic anti-sway control for industrial three-dimensional overhead cranes [A].Proceeding of the 2001 IEEE International Conference on Robotic&Automation [C]，2001(5)：2956-2961.

[4]杜文正，童國(guó)林，強(qiáng)寶民，等.基于模糊自適應(yīng)PID控制器的橋式起重機(jī)定位與防擺控制研究[J].制造業(yè)自動(dòng)化，2012，34(11)：8-11.

[5]張則強(qiáng).橋式起重機(jī)吊重二自由度擺角模型與仿真[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，41(6)：696-699.

[6]楊會(huì)珍，李 虹，趙 勇.門式起重機(jī)的減擺PID控制系統(tǒng)[J].起重運(yùn)輸機(jī)械，2012(11)：16-20.

[7]王玥媛.基于模糊控制的橋式起重機(jī)防擺研究[D].大連：大連理工大學(xué)，2008.