王 純

(西北工業(yè)大學 航天學院， 西安 710072)

高超聲速飛行器是以吸氣式或組合式發(fā)動機為動力且能在大氣層及跨大氣層飛行的新型飛行器.由于高超聲速飛行器具有射程遠、機動性好、精度高等優(yōu)點，很多國家制定了研制高超聲速飛行器的計劃，并進行了很多試飛實驗[1].

每種空天飛行器都要經過上升段這個過程，高超聲速飛行器也不例外.飛行器的上升段是保證飛行器能順利達到預定軌道，確保完成飛行任務的基礎，因此設計高超聲速飛行器的軌跡也應從上升段著手.本文通過建立高超聲速飛行器相關的模型，采用序列二次規(guī)劃法設計并仿真了飛行器上升段的軌跡，結果表明這種優(yōu)化方法能夠適應飛行器受到的各種飛行約束，驗證了軌跡設計的合理性和可行性，并為高超聲速飛行器軌跡設計問題提供了一種有價值的研究方案.

1 上升段動力學方程

高超聲速飛行器發(fā)射方式有很多種，本文主要研究類似火箭發(fā)射的陸基垂直發(fā)射方式.這種發(fā)射方式的特點是在上升段初期飛行器可以迅速爬升，通過對攻角的控制，使飛行器最終能以較小的軌跡傾角進入預定軌道，這種控制需要有較高的精度才能完成[2].從國內外的文獻來看，軌跡設計的問題需要進行合理的優(yōu)化才能解決，這樣才能滿足飛行器飛行過程中的各種約束及入軌時的各種指標[3-4].

高超聲速飛行器在上升段過程中，需要保持縱向平面內有機動且橫側面的機動盡可能的小，本文研究的重點是飛行器在縱向平面內的軌跡設計問題，因此忽略飛行器在橫側面的機動，認為飛行器只在縱向平面內機動.因此，高超聲速飛行器的動力學模型如下[5].

(1)

模型補充:推力P不可調并且平均為180 kN，發(fā)動機工作時間為65 s.使用楊炳尉大氣模型.

2 上升段軌跡優(yōu)化設計

2.1 最優(yōu)控制模型

建立關于飛行器上升段軌跡設計的最優(yōu)模型，具體如下.其中控制量為攻角α，狀態(tài)變量為V,x,y,m,θ,分別為飛行器速度、飛行距離、飛行高度、飛行器質量以及軌跡傾角.

1)以飛行器總吸熱量為性能指標函數，如下所示:

(2)

2)狀態(tài)方程如公式(1)所示.

3)采用攻角作為最優(yōu)控制量.

4)初始狀態(tài)取飛行器垂直上升段的末狀態(tài).

5)約束條件如下：

控制量約束(攻角約束)

αmin≤α≤αmax

(3)

法向過載約束

(4)

熱流約束

H≤Hmax

(5)

動壓約束

(6)

終端狀態(tài)約束

θ(tf)=θT

Vmin T≤V(tf)≤Vmax T

αmin T≤α(tf)≤αmax T

(7)

其中：tf為飛行器飛行結束時刻.

2.2 模型轉換

從上面的最優(yōu)控制模型能夠看出，高超聲速飛行器的上升段軌跡優(yōu)化的問題，能夠看作最優(yōu)控制問題中終端不固定的分類，也就是飛行器達到終端狀態(tài)時的飛行結束時間相對不固定.對于這種問題，直接對其求解有一定的難度，因此需要對模型進行合適的變化，轉換為終端固定問題從而使求解過程簡易化.

取變量τ，令τ=t/tf，t為飛行器飛行過程中的當前時刻，tf為飛行器達到飛行終端狀態(tài)的時刻，τ∈[0,1].令τ為狀態(tài)方程的自變量，則對應的積分區(qū)間變成[0,1]，使原優(yōu)化問題變?yōu)榱私K端固定的問題，終端飛行時間tf可視為一個待優(yōu)化的參量.

性能指標：

大腦坡礦區(qū)位于花垣—張家界斷裂帶南東側、民樂—李梅背斜近核部之南東翼，區(qū)內出露的地層有寒武系石牌組、清虛洞組、高臺組、婁山關組及第四系等。為一傾向南東的單斜構造，斷裂中等發(fā)育，無巖漿巖分布，未見明顯變質為基本特征（見圖1）。

(8)

狀態(tài)方程：

(9)

與攻角相關的參數為控制變量，u=[u1,u2…uM]，這些參數的個數和形式由參數化方法決定.

初始狀態(tài)取垂直上升段的末狀態(tài).

約束條件：

要滿足非線性規(guī)劃方法的要求，須將各約束條件全部離散化至離散點處.若將飛行時間區(qū)間[t0,tf]等分為N段，將約束條件離散化到每一節(jié)點處，例如攻角約束離散為：

αmin≤α0≤αmax

┇

αmin≤αN≤αmax

(10)

其他約束按上述規(guī)律依次類推.

得到上述非線性規(guī)劃模型，運用序列二次規(guī)劃算法，便可進行軌跡設計及優(yōu)化的工作.

3 軌跡優(yōu)化仿真

最優(yōu)控制類問題轉化為非線性規(guī)劃類問題，關鍵是合理的參數化.參數化就是用將原來的控制變量用幾個參數表示，把對原控制變量的優(yōu)化問題轉化為了對這些參數的優(yōu)化問題.本文采用了以下參數化方法用以解決問題.

將控制變量在時間[0,tf]上離散為若干個節(jié)點，節(jié)點與節(jié)點之間用多項式來近似.把[0,tf]等分為N段，則最優(yōu)控制變量α*可表示成[α0,α1,α2,…αN]，再加上終端飛行時間，對攻角的優(yōu)化就轉變?yōu)閷α0,α1,α2,…αn,tf]這N+2個參數的優(yōu)化.為了避免在優(yōu)化變?yōu)閷植繉ふ易顑?yōu)，在滿足一定精度的前提下，優(yōu)化的參數不宜選取過多.根據相關資料，仿真過程中選取N=7比較合理.

取約束條件如表1所示.這些約束條件的取值依據主要為高超聲速飛行器的總體以及氣動方案和一些相關的軌跡計算的工作[6-7].

根據表中約束值進行仿真分析，得到仿真曲線如圖1～6所示.

表1約束限制值

過程約束αminαmaxqmaxnymaxHmax數值-126100-1.5600終端約束αmin Tαmax TMαmin TM αmax TθT數值04670.5

圖1 攻角變化曲線

圖2 馬赫數變化曲線

圖3 法向過載變化曲線

圖4 動壓變化曲線

圖5 軌跡傾角變化曲線

圖6 熱流變化曲線

由圖1可以看出，攻角在飛行的初始階段基本保持為0°，這表明在這個階段飛行器在盡量往高空爬升，因為短時間上升到較高空域，動壓以及熱流的數值會比較小.之后有將近10 s的負攻角階段，由于法向過載的嚴格約束，負攻角的峰值并未達到限制值.從變化曲線來看，飛行器上升段攻角變化在正常范圍內.

由圖2可以看出，馬赫數在上升段持續(xù)增長，臨近終端飛行時刻時接近限制值并回落至正常值，在終端飛行時刻達到預定的飛行馬赫數，符合預想設計.

由圖3可以看出，飛行器法向過載峰值出現在20 s左右，注意到20 s左右時，飛行器的負攻角最大，飛行器轉平的趨勢比較明顯，從而受氣動力較大，因此引起過載峰值.之后時間內法向過載一直緊貼著限制的邊界不停變化，然后攻角卻在不斷減小，這是由于飛行器馬赫數越來越大，動壓也一直為增大的趨勢，所以較小的攻角也能較大的過載.從變化曲線來看，法向過載約束嚴格限制了飛行器的法向過載而未達到峰值，屬于正常的變化范圍內.

由圖4可以看出，動壓的峰值出現在發(fā)動機關機點處，此時飛行器飛行馬赫數最大，從而導致動壓出現峰值.此時峰值也在限制值范圍內，符合設計需求.

由圖5可以看出，上升段初始一段時間，軌跡傾角為90°，與攻角的趨勢相同.之后隨著時間慢慢減小，飛行器機體逐漸轉平，在終端時間趨近與0°，整個變化過程符合高超聲速飛行器的入軌要求.

由圖6可以看到，熱流的峰值同樣出現在關機點處，此時飛行器的飛行馬赫數最大，而馬赫數對熱流的影響顯著，所以出現了峰值，但在約束范圍之內，符合要求.

為直觀體現約束條件對軌跡的限制作用，給出各約束狀態(tài)的峰值，見表2.

表2約束限制值與仿真峰值

αqθTnyHMαT約束值[-12,6] 100 0.5 -1.5 600[6,7]峰值-9.53194.60.5-1.55756.5

由表2可見，各個狀態(tài)變量完全滿足飛行器的各項約束條件，而且都能夠很精確達到預設定的終端條件.在這組約束條件中，法向過載的約束最為嚴格，因此，飛行器在大部分飛行時間都沿法向過載約束的邊界飛行，這說明這種算法有比較強的邊界搜索能力.

4 結 語

本文通過分析高超聲速飛行器上升段的飛行特點，通過建立合理的模型，根據其多個方面的飛行約束，并通過優(yōu)化算法，對飛行器的軌跡進行了仿真驗證，結果表明優(yōu)化設計算法滿足多約束條件要求，驗證了軌跡設計的合理性.

參考文獻：

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[2] 吳德隆,王小軍.航天器氣動力輔助變軌動力學與最優(yōu)控制[M]. 北京: 中國宇航出版社, 2006.

[3] 雍恩米. 高超聲速滑翔式再入飛行器軌跡優(yōu)化與制導方法研究[D].長沙: 國防科學技術大學, 2008.

[4] MOSES P L, RAUSCH V L, NGUYEN L T,etal. NASA Hypersonic Flight Demonstrators -overview, Status, and Future Plans[J]. Acta Astronautica, 2004, 55(3-9): 619-630.

[5] 錢杏芳, 林瑞雄, 趙亞男. 導彈飛行力學[M].北京: 北京理工大學出版社, 2011.

[6] 周 浩, 周 韜, 陳萬春, 等.高超聲速滑翔飛行器引入段彈道優(yōu)化[J].宇航學報, 2006, 27(5): 970-973.

[7] 李佳峰,陳萬春. 帶約束的高超聲速飛行器最優(yōu)彈道的數值算法[J].航空學報, 2009, 30(9):1605-1611.