符 雙，薛 紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

期權(quán)定價問題是金融數(shù)學(xué)和金融工程學(xué)的核心問題之一.文獻[1]假設(shè)股票價格服從布朗運動，得到了著名的Black-Scholes公式.文獻[2]首次提出期權(quán)定價的保險精算方法，將期權(quán)定價問題轉(zhuǎn)化為等價的公平保費確定問題，它不僅對于無套利、均衡、完備的市場有效，且對于有套利、非均衡、不完備的市場也有效.文獻[3]利用保險精算方法得到了歐式期權(quán)的定價公式.

近年來，國際金融市場涌現(xiàn)了大量由標(biāo)準期權(quán)變化、組合、派生而來的新品種，即新型期權(quán).冪型期權(quán)是新型期權(quán)中的一種，它允許持有人得到一個標(biāo)準期權(quán)的損益，但標(biāo)的資產(chǎn)的價值被提高到它的q次冪，它與標(biāo)準歐式期權(quán)的區(qū)別在于在期權(quán)到期日，當(dāng)期權(quán)處于實值狀態(tài)時，標(biāo)準歐式看漲(跌)期權(quán)的支付函數(shù)為標(biāo)的資產(chǎn)價格的線性函數(shù)，而冪型期權(quán)的支付函數(shù)為標(biāo)的資產(chǎn)價格冪函數(shù)的線性函數(shù).目前已有不少學(xué)者對冪型期權(quán)的定價進行了研究，文獻[4]研究了幾何布朗運動下冪型期權(quán)的定價問題.由于股票價格對過去價格具有依賴性，而分數(shù)布朗運動具有的長程依賴性和自相似性，彌補了幾何布朗運動描述標(biāo)的資產(chǎn)的不足，一些學(xué)者考慮用分數(shù)布朗運動刻畫股票價格的變化[5-7]，在現(xiàn)實資本市場中，因突發(fā)事件的影響，股票價格會發(fā)生跳變.許多學(xué)者用Possion過程和分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程來描述股票價格的變化[8-10].研究發(fā)現(xiàn)，分數(shù)跳-擴散Ornstein-Uhlenback 模型能更好地描述股票價格的運動變化，一些學(xué)者討論了分數(shù)跳-擴散Ornstein-Uhlenback 模型的歐式期權(quán)和歐式雙向期權(quán)的定價問題[11-12].

本文在文獻[11-12]基礎(chǔ)上，假定股票價格服從分數(shù)跳-擴散Ornstein-Uhlenback過程，且無風(fēng)險利率和股票波動率均為時間的確定性函數(shù)，利用保險精算方法，討論冪型期權(quán)的定價問題.

1 金融市場數(shù)學(xué)模型

假設(shè)金融市場中，有兩類可交易的資產(chǎn)：一種是無風(fēng)險資產(chǎn)(如債券)，其價格過程記為Pt，t≥0，滿足如下常微分方程

dPt=r(t)Ptdt,

(1)

其中:r(t)為時刻t的函數(shù)，稱其為無風(fēng)險利率.另一種是風(fēng)險資產(chǎn)(如股票)，其價格過程記為St，t≥0，它滿足如下隨機微分方程

dSt=St[μ(t)-αlnSt-λθ)dt+σ(t)dBH(t)+dJ(t)],

(2)

其中:μ(t)為股票的預(yù)期收益率，σ(t)為股票的波動率，μ(t)和σ(t)均為確定性的函數(shù)，α>0且為常數(shù).{BH(t),t≥0}是定義在概率空間(Ω,F,P)上Hurst參數(shù)為H(0

{N(t),t≥0}表示強度為λ的泊松過程，Ui表示第i次跳躍幅度(無跳躍發(fā)生時U0=0)，{Ui,i≥0}為一列獨立同分布的隨機變量，并且θ=E[Ui]，Ui>-1(i=1,2…).假定{BH(t),t≥0}，{N(t),t≥0}和{Ui,i≥0}相互獨立.{*t≥0}是由{BH(t),t≥0}，{N(t),t≥0}和{Ui,i=1,2,…}生成的σ-代數(shù)流.

定理1 隨機微分方程(2)的解為

證明假定[0-,t]之間沒有跳發(fā)生，根據(jù)分數(shù)型Ito公式及(2)可知

那么

假定只在時刻T1∈[0,t] 發(fā)生一次跳, 則

由式(2)有

當(dāng)n→∞時，可得

ST1-ST1-=ST1-U1.

所以

σ(τ)dBH(τ)]}.

當(dāng)跳的次數(shù)服從Possion過程時，則有

定理證畢.

證明

由于

從而完成定理證明.

定義2 冪型期權(quán)的保險精算價值定義為：當(dāng)期權(quán)被執(zhí)行時，在[t,T]內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)q的次冪的折現(xiàn)值與敲定價格的折現(xiàn)值之差，在股票價格實際分布的概率測度下的數(shù)學(xué)期望值.資產(chǎn)折現(xiàn)值的計算方法按如下計算：風(fēng)險資產(chǎn)(如股票)按期望收益率折現(xiàn)，無風(fēng)險資產(chǎn)(如債券或銀行存款)按無風(fēng)險利率折現(xiàn).用公式表示為

其中ST為標(biāo)的資產(chǎn)的價格，K為敲定價格，T為到期日，且

ds})q},

C(t,K,T)和P(t,K,T)分別表示到期日為T，敲定價格為K，在時刻t的歐式冪型看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值.

2 歐式冪型期權(quán)的定價

其中Φ(·)為標(biāo)準正態(tài)分布的分布函數(shù),且

證明由定理1和定理2可知

從而

從而

注1：當(dāng)a→0時，可得分數(shù)跳-擴散環(huán)境下歐式冪型期權(quán)的價格.特別地，當(dāng)σ為常數(shù)時，即為文獻[10]的相應(yīng)結(jié)果.

注2：當(dāng)λ=0,Ui=0,i=0,1,2,…時，可得分數(shù)O-U過程下的歐式冪型期權(quán)的價格.特別地，當(dāng)a→0，σ為常數(shù)時，即為文獻[7]的相應(yīng)結(jié)果.

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