德國(guó)生物學(xué)家?？藸枺‥.Haeckel）（1843—1919）在1866年提出了生物發(fā)生律，即“個(gè)體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”.如果將此原理類推于教育將得出：個(gè)體知識(shí)的發(fā)生過(guò)程遵循人類知識(shí)的發(fā)生過(guò)程.具體到數(shù)學(xué)教育，即“個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解過(guò)程遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程.”

把歷史作為教學(xué)線索，不明確地談?wù)摎v史，用歷史來(lái)啟示教學(xué)，這就是發(fā)生教學(xué)法.其基本思想是：在學(xué)生具備足夠的動(dòng)機(jī)后、在心理發(fā)展的適當(dāng)時(shí)候講授某個(gè)主題.應(yīng)當(dāng)保護(hù)和發(fā)展學(xué)生對(duì)未知事物獵奇的天性，積極引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生過(guò)程[1].運(yùn)用發(fā)生教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)，一般遵循以下步驟：（1）要全面了解所教主題的歷史；（2）要理解該主題歷史發(fā)展過(guò)程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)；（3）掌握一個(gè)環(huán)節(jié)發(fā)展到下一個(gè)環(huán)節(jié)的原因是什么？遇到的困難和障礙是什么？（4）重構(gòu)歷史環(huán)節(jié)，使其適合于課堂教學(xué)；（5）設(shè)計(jì)出一系列由易到難、環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題.可以是歷史上的問(wèn)題，也可以是改編的問(wèn)題.下以人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)第一章“有理數(shù)”第一節(jié)“正數(shù)和負(fù)數(shù)”為例，介紹發(fā)生教學(xué)法的具體實(shí)施過(guò)程.

1全面了解正數(shù)和負(fù)數(shù)的歷史

中國(guó)是最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國(guó)家.戰(zhàn)國(guó)時(shí)期李悝（約公元前455—前395年）在《法經(jīng)》中說(shuō)到“衣五人終歲用千五百不足四百五十”.即：5個(gè)人一年開支1500錢，入不敷出，差450錢.“不足”就是負(fù)數(shù)的概念和記號(hào).約公元一世紀(jì)中國(guó)的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中記載了“糧食入倉(cāng)為正，出倉(cāng)為負(fù)；收入的錢為正，付出的錢為負(fù)”.同時(shí)在解方程組的過(guò)程中出現(xiàn)“不夠減”的情形時(shí)，給出了“正負(fù)術(shù)”.公元三世紀(jì)，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽對(duì)負(fù)數(shù)給出了很自然的解釋：“兩算得失相反，要令正負(fù)以名之.”[2]即：在運(yùn)算中，遇到具有相反意義的量，不但需要正數(shù)，還需要引入負(fù)數(shù)以作區(qū)分.

公元七世紀(jì)，印度學(xué)者婆羅摩芨多（598—665）在《婆羅摩歷算書》里給出了正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的概念，分別被他稱作“財(cái)產(chǎn)”、“債務(wù)”和“薩雅”.公元十二世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家婆什迎羅（1114—1185）在《算法本源》中，全面討論了負(fù)數(shù)，把負(fù)數(shù)叫做“負(fù)債”或“損失”.他承認(rèn)方程x2-45x=250有兩個(gè)根：x=50或x=-5，他接著說(shuō)：“第二個(gè)根并不用，因?yàn)樗遣蛔愕?，人們并不支持?fù)根.”

在西方，最早描述負(fù)數(shù)的是公元三世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)家丟番圖，他在《算術(shù)》中稱方程4x+20=4是沒(méi)有意義的.在解方程中，若遇到負(fù)根，他就放棄這個(gè)方程，認(rèn)為是不可解的.

阿拉伯人吸納了古希臘和古印度的數(shù)學(xué)理念，發(fā)展成為自己的文明，但在負(fù)數(shù)的認(rèn)知上卻要比中國(guó)和印度人晚得多.公元十世紀(jì)阿拉伯學(xué)者艾布·瓦發(fā)的算術(shù)手稿中，在講述一種兩位數(shù)乘法的簡(jiǎn)捷算法時(shí)，引用了負(fù)數(shù)概念.

在近代西方，意大利的卡丹（1501—1576）在其《大術(shù)》中雖然承認(rèn)方程的負(fù)根，但他把正數(shù)稱為“真實(shí)的數(shù)”，而把負(fù)數(shù)稱為“虛假的數(shù)”.法國(guó)的韋達(dá)（1540—1603）不承認(rèn)負(fù)數(shù)，把負(fù)數(shù)叫做“不合理的數(shù)”.英國(guó)的沃利斯（1616—1703）在《無(wú)窮算術(shù)》中盡管承認(rèn)負(fù)數(shù)，但他認(rèn)為負(fù)數(shù)，這是不可思議的.1637年笛卡爾（1596—1650）在《幾何》中首次研究方程有正負(fù)根的條件，并規(guī)定了正負(fù)號(hào)的法則.法國(guó)的阿納德（1612—1694）表示：如果-1∶1=1∶（-1），而-1<1，那么一個(gè)小的數(shù)與一個(gè)大的數(shù)的比，怎么可能等于一個(gè)大的數(shù)與一個(gè)小的數(shù)的比？直到十九世紀(jì)，還有一些西方數(shù)學(xué)家不理解“小于一無(wú)所有”的數(shù).

負(fù)數(shù)地位的最后確立是由德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯（1815—1897）和意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（1858—1932）完成的.1860年維爾斯特拉斯把有理數(shù)定義為整數(shù)對(duì)，即當(dāng)m、n為整數(shù)時(shí)，nm（m≠0）定義為有理數(shù)；當(dāng)m、n中一個(gè)為正整數(shù)，一個(gè)為負(fù)整數(shù)時(shí)，nm就是負(fù)有理數(shù).這樣負(fù)數(shù)就建立在整數(shù)的基礎(chǔ)上.40年后，皮亞諾在《算術(shù)原理新方法》中用自然數(shù)建立了整數(shù)：如果a，b是自然數(shù)，則“a-b”定義為一個(gè)整數(shù).若a>b，“a-b”為正整數(shù)；若a

縱觀整個(gè)正數(shù)和負(fù)數(shù)的發(fā)展歷程，我們知道正數(shù)和負(fù)數(shù)產(chǎn)生的根源是實(shí)際生活和算術(shù)運(yùn)算封閉性的需要，這為本節(jié)課的情境設(shè)計(jì)提供了發(fā)生依據(jù).同時(shí)應(yīng)該弄清面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，為什么東方人承認(rèn)和接受負(fù)數(shù)比西方人早，這個(gè)問(wèn)題從深處講應(yīng)該是東西方文化傳統(tǒng)差異的問(wèn)題，這也是正數(shù)和負(fù)數(shù)發(fā)展歷程中的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié).承認(rèn)和接受了負(fù)數(shù)后，面臨的問(wèn)題應(yīng)該是正數(shù)和負(fù)數(shù)的表示，對(duì)零的重新認(rèn)識(shí).對(duì)零的重新認(rèn)識(shí)也許是學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)障礙.

2東西方對(duì)負(fù)數(shù)認(rèn)知的差異性

東方引入負(fù)數(shù)的目的是為了解決實(shí)際或算術(shù)中的“出倉(cāng)”或“不足”等問(wèn)題.負(fù)數(shù)僅僅是解決問(wèn)題的一種工具，而不是作為抽象的數(shù)來(lái)進(jìn)行研究的.中國(guó)的古代數(shù)學(xué)家很多是平民百姓，他們有機(jī)會(huì)接觸實(shí)際的商業(yè)和貿(mào)易過(guò)程，對(duì)“負(fù)債”、“支出”等問(wèn)題有切實(shí)的體會(huì)，對(duì)他們而言負(fù)數(shù)是現(xiàn)實(shí)生活的原型，并不是抽象的.印度數(shù)學(xué)受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)的影響，在解決實(shí)際生活中的經(jīng)濟(jì)和數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，對(duì)負(fù)數(shù)有豐富的認(rèn)知和發(fā)展.中國(guó)和印度接受負(fù)數(shù)和應(yīng)用負(fù)數(shù)都比較早.

西方認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)主要來(lái)源于古希臘數(shù)學(xué)，而古希臘從事數(shù)學(xué)和哲學(xué)研究的人，很少有現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)實(shí)踐活動(dòng)，幾乎沒(méi)有負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.自亞里斯多德開創(chuàng)了以“三段論”為核心的演繹邏輯以后，一切推理都以形式邏輯作為基礎(chǔ).西方人認(rèn)為數(shù)是獨(dú)特的或絕對(duì)的存在物，他們首先看到的是“物”，這在數(shù)學(xué)中表現(xiàn)為“數(shù)”，他們的邏輯是這樣的：1表示有一個(gè)，2表示有兩個(gè)，……，0表示什么都沒(méi)有，“什么都沒(méi)有”就已經(jīng)是最少了，而負(fù)數(shù)比零還小，也就是說(shuō)：比“什么都沒(méi)有”還少，這怎么可能呢？在認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的過(guò)程中，由于缺乏幾何原型，直觀上沒(méi)有基礎(chǔ)，建立負(fù)數(shù)的邏輯結(jié)構(gòu)又做不到.由于受古希臘數(shù)學(xué)影響較大，西方在長(zhǎng)達(dá)一千多年的時(shí)間里不接受負(fù)數(shù)，直到十三世紀(jì)對(duì)負(fù)數(shù)才有一些初步的認(rèn)識(shí).

可以從東西方的哲學(xué)思想和思維方式上來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題.中國(guó)傳統(tǒng)哲學(xué)主要是儒家哲學(xué)，它講究道德文化，對(duì)事物多停留在許多感性和經(jīng)驗(yàn)性的認(rèn)識(shí)階段.西方繼承了從古希臘開始的科學(xué)與哲學(xué)傳統(tǒng)，注重抽象的理性思維與邏輯思維.中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)知和記法是西方國(guó)家無(wú)法比擬的，相對(duì)而言，雖然西方數(shù)學(xué)家對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)較晚和難以接受，但是沒(méi)有放棄對(duì)負(fù)數(shù)的理性研究，最終建立了負(fù)數(shù)的基礎(chǔ)理論.東西方文化的差異導(dǎo)致了負(fù)數(shù)不同的發(fā)展方向，體現(xiàn)了兩種文化獨(dú)特的數(shù)學(xué)價(jià)值取向，這是多元文化給予數(shù)學(xué)的多樣貢獻(xiàn).多樣化與一體化的辯證統(tǒng)一也應(yīng)被看作數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)基本規(guī)律[3].

3正數(shù)和負(fù)數(shù)的表示及與零的關(guān)系

公元三世紀(jì)，中國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽第一次給出了區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法.他說(shuō)：“正算赤，負(fù)算黑；否則以邪正為異”即：用紅色的小棍表示正數(shù)，用黑色的小棍表示負(fù)數(shù)；有時(shí)用正放的小棍代表正數(shù)，用斜放的小棍代表負(fù)數(shù).十三世紀(jì)，數(shù)學(xué)家李冶在《測(cè)圓海鏡》中用斜畫一杠表示負(fù)數(shù).此外，在古算中曾用過(guò)很多文字表示負(fù)數(shù)，如不足、出、賣、付、弱來(lái)表示負(fù)數(shù).我國(guó)最早采用正號(hào)“+”、負(fù)號(hào)“-”是從清末開始的.

公元七世紀(jì)，印度學(xué)者婆羅摩笈多通過(guò)畫小點(diǎn)或小圈來(lái)表示負(fù)數(shù).十七世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾第一個(gè)提出用減號(hào)“-”表示負(fù)數(shù).從此，負(fù)數(shù)符號(hào)“-”逐漸得到人們的認(rèn)識(shí)，并沿用至今.

沒(méi)有零的符號(hào)，就沒(méi)有完整的位置制記數(shù)法.零的記號(hào)，最早在印度出現(xiàn)[4].公元前2500年左右，印度最古老的文獻(xiàn)《吠陀》已有“0”這個(gè)符號(hào)的應(yīng)用，當(dāng)時(shí)的0在印度表示空的位置.約在6世紀(jì)初，印度開始使用命位記數(shù)法.印度人認(rèn)識(shí)到0除了在各數(shù)之間起空位作用外，還有它獨(dú)立的存在性—0本身被看作是一個(gè)數(shù)，它表示“沒(méi)有”這個(gè)量.也就是說(shuō)，“沒(méi)有”這個(gè)抽象概念第一次被賦予一個(gè)有形的記號(hào)0表示.這一步是思維的一個(gè)很大的跨越.公元733年，印度一位天文學(xué)家在訪問(wèn)現(xiàn)伊拉克首都巴格達(dá)期間，將印度的這種記數(shù)法介紹給了阿拉伯人，這種方法簡(jiǎn)便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯?dāng)?shù)字.

0在中國(guó)古代叫做金元數(shù)字，我國(guó)古代用算籌記數(shù)，也采取空位表示零.古書中缺字常用“□”表示，數(shù)字里的空位也用“□”表示，以后由于書寫時(shí)常用行書，“□”也就容易寫成圓圈了，用“○”表示零.

大約1500年前，歐洲不知道用“0”這個(gè)數(shù)字.這時(shí)，羅馬有一位學(xué)者從印度計(jì)數(shù)法中發(fā)現(xiàn)了“0”這個(gè)符號(hào).他發(fā)現(xiàn)，有了“0”，進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算非常方便，還把印度人使用“0”的方法向人們做了介紹.這件事不久被羅馬教皇知道了，教皇很憤怒，認(rèn)為神圣的數(shù)是上帝創(chuàng)造的，在上帝創(chuàng)造的數(shù)里沒(méi)有“0”.誰(shuí)要使用它，誰(shuí)就是褻瀆上帝！就這樣，“0”被教皇命令禁止了.最后，“0”在歐洲還是被廣泛使用，而羅馬數(shù)字卻逐漸被淘汰了.

至此，數(shù)學(xué)中零有四個(gè)功能.首先，零是一個(gè)概念，它表示一無(wú)所有.其次，在位值記數(shù)法中，零表示一個(gè)空位，同時(shí)起到指示數(shù)碼所在位置的作用.再次，零是一個(gè)數(shù)，可以和其它的數(shù)一起參與運(yùn)算.最后，零是標(biāo)準(zhǔn)的起點(diǎn)或分界.

4根據(jù)歷史，重構(gòu)課堂

教學(xué)目標(biāo)：

1.在實(shí)踐中表示相反意義的量及解方程的需要，使學(xué)生了解學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)的必要性.

2.使學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)化和數(shù)學(xué)化的過(guò)程，體會(huì)負(fù)數(shù)表示的發(fā)生發(fā)展過(guò)程.

3.感受正、負(fù)數(shù)和生活的密切聯(lián)系，享受創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

教學(xué)重點(diǎn)：體會(huì)負(fù)數(shù)的意義，學(xué)會(huì)用正、負(fù)數(shù)表示日常生活中具有相反意義的量.

教學(xué)難點(diǎn)：體會(huì)負(fù)數(shù)的意義，重新認(rèn)識(shí)零.

教學(xué)過(guò)程：

4.1創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

1.師：我們知道，為了表示物體的個(gè)數(shù)和事物的順序，產(chǎn)生了1，2，3，4，…，這些數(shù)，我們把它叫做什么數(shù)？

生：自然數(shù).

師：為了表示“沒(méi)有”，又引入了一個(gè)什么數(shù)？

生：自然數(shù)0.

師：當(dāng)分物和測(cè)量的結(jié)果不是整數(shù)時(shí)，又引入了什么數(shù)？

生：分?jǐn)?shù)（小數(shù)）.

師：這些數(shù)有多少個(gè)？

生：無(wú)數(shù)個(gè).

師：現(xiàn)在同學(xué)們看一個(gè)實(shí)際情境.

2.課件出示情境：甲、乙兩人在一次商品交易中分別賺100元、虧100元.

師：老師把甲賺100元、乙虧100元表示成這樣，你覺(jué)得把事情表達(dá)清楚了嗎？

甲100元乙100元生：沒(méi)有.

師：也就是說(shuō)雖然都是100元，但兩個(gè)100元表示的實(shí)際意義是相反的，它們是一組相反意義的量.

3.課件出示情境：

同學(xué)們能用你以前所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決下列問(wèn)題嗎？

（1）王東買筆一共要給15元錢，現(xiàn)在他給了20元錢，應(yīng)找給他幾元？

（2）王東買筆一共要給15元錢，若王東手上只有10元錢，他能買到想要的筆嗎？為什么？

對(duì)上述兩個(gè)問(wèn)題要求列出算式.

學(xué)生能夠很快給出這樣的兩個(gè)式子：20-15=5，15-10=5

引導(dǎo)學(xué)生思考：第一個(gè)式子我們是用王東手中的錢數(shù)減去筆的總費(fèi)用，第二個(gè)問(wèn)題我們能不能也按這樣的順序?qū)懗鍪阶幽?？試一下，看看結(jié)果等于多少？

學(xué)生列出式子：10-15，但如何計(jì)算卻無(wú)法解決，只會(huì)說(shuō)：“不夠減”.

數(shù)學(xué)相關(guān)歷史介紹：

其實(shí)這種事情古人也發(fā)生過(guò)，歷史上很多數(shù)學(xué)家也曾經(jīng)被困擾過(guò).

歷史問(wèn)題：公元三世紀(jì)希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在其《算術(shù)》中稱方程4x+20=4是沒(méi)有意義的.同樣，意大利數(shù)學(xué)家斐波拉契（1170-1250）在《花朵》中稱：方程x+36=33是沒(méi)有根據(jù)的，除非第一個(gè)人欠債3個(gè)錢幣.

顯然都碰到了不夠減的問(wèn)題.

結(jié)合情境（1）和情境（2），賺100元和虧100元，（20-15）和（10-15）那你能用自己的方式把它們區(qū)別開嗎？endprint

4.2自主探索，展示過(guò)程

1.交流大家的想法.

（1）有學(xué)生在數(shù)100前加“賺”或“虧”；有學(xué)生用白色100表示賺，用紅色100表示虧；有學(xué)生在100上面加了不同方向的箭頭；有學(xué)生加了正負(fù)號(hào)等.

（2）有學(xué)生在10-15=的右邊寫了一個(gè)紅色的5；有學(xué)生在10-15=的右邊寫了一個(gè)上面加了一個(gè)點(diǎn)的5；有學(xué)生在10-15=的右邊寫了一個(gè)“5不足”等.

2.介紹人類探索負(fù)數(shù)的表示方法

師：相反意義的量怎樣表示和不夠減的結(jié)果如何表示，在歷史上，數(shù)學(xué)家們也費(fèi)了很多周折，他們想了各種各樣的方法.例如公元三世紀(jì)，中國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽第一次給出了區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法.他說(shuō)：“正算赤，負(fù)算黑；否則以邪正為異”即：用紅色的小棍表示正數(shù)，用黑色的小棍表示負(fù)數(shù)；有時(shí)用正放的小棍代表正數(shù)，用斜放的小棍代表負(fù)數(shù).用不同的顏色表示正負(fù)數(shù)，這個(gè)習(xí)慣一直保留到現(xiàn)在.現(xiàn)在人們一般用紅色表示負(fù)數(shù)，還有經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)赤字，表明收入小于支出.十三世紀(jì)，數(shù)學(xué)家李冶在《測(cè)圓海鏡》中用斜畫一杠表示負(fù)數(shù).此外，在古算中曾用過(guò)很多文字表示負(fù)數(shù)，如不足、出、賣、付、弱來(lái)表示負(fù)數(shù).

公元七世紀(jì)，印度學(xué)者婆羅摩笈多通過(guò)畫小點(diǎn)或小圈來(lái)表示負(fù)數(shù).十七世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾在第一個(gè)提出用減號(hào)“-”表示負(fù)數(shù).

師：實(shí)際上，為了解決這個(gè)問(wèn)題，歷史上的許多數(shù)學(xué)家和我們剛才的想法差不多.雖然負(fù)數(shù)的表示方法各不相同，但是都是為了有區(qū)別，尋找新數(shù)的表示方法.剛才大家新的表示方法中，你覺(jué)得哪種寫法最好？

生：用加減號(hào)的最好.賺100元，就是增加了100元；虧100元，就是減少了100元.

師：對(duì)，就是這樣的道理，十七世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾提出這樣的方式，就得到了大家的認(rèn)可，所以一直沿用至今.但讀法上有了變化，分別讀作正100元和負(fù)100元，符號(hào)分別叫正號(hào)和負(fù)號(hào).此時(shí)+和-是性質(zhì)符號(hào)，以前的+和-是運(yùn)算符號(hào).20-15可表示為+5，10-15可表示為-5

師：用正數(shù)或負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.

（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.

（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.

4.3抽象歸納，重新建構(gòu)

1.定義：像3，18%，35這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù)，像-3，-18%，-35這樣在正數(shù)前加上符號(hào)“-”（負(fù)）的數(shù)叫做負(fù)數(shù).有時(shí)為了明確表示意義，在正數(shù)的前面也加上“+”（正）號(hào).例如+2，+15，…就是2，1.5，….一個(gè)數(shù)前面的“+”“-”號(hào)叫做它的符號(hào).“-”在這里有了新的意義和作用，叫“負(fù)號(hào)”.“+”是正號(hào).像“+4”是一個(gè)正數(shù)，讀作：正四.我們可以在4的前面加上“+”，也可以省略不寫.“-4”是一個(gè)負(fù)數(shù)，讀作：負(fù)四.

2.任意寫幾個(gè)正數(shù)和負(fù)數(shù)，和同學(xué)交換著讀讀寫寫.

3.相反意義的量

師：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常遇到一些具有相反意義的量，比如：（課件顯示）

（1）火車向東行駛10千米和向西行駛10千米；

（2）從零上5攝氏度下降到零下5攝氏度；

請(qǐng)學(xué)生舉出一些相反意義的量的實(shí)例.

教師歸結(jié)：相反意義的量中有一些常用詞：收入與支出、增加與減少、上升與下降等.

4.找相反意義的量

師：誰(shuí)能說(shuō)出一個(gè)與“零上5攝氏度”意義相反的量？

學(xué)生回答后，再追問(wèn)：零上5攝氏度和零下5攝氏度，分別是哪里之上5攝氏度和哪里之下5攝氏度？用正負(fù)號(hào)分別表示它們.

5.學(xué)生在空白的溫度計(jì)上標(biāo)出這兩個(gè)溫度.

師：老師提供的是一個(gè)空白的溫度計(jì)圖，相鄰的兩個(gè)刻度線之間相差1攝氏度.最下面一格表示0攝氏度比較合適，那么上面二格是多少攝氏度？

生：2攝氏度.

師：再往上呢？依次標(biāo)到5攝氏度.

師：在我們?cè)O(shè)計(jì)的溫度計(jì)上“+5℃”在哪里？

學(xué)生指出+5℃的位置后，老師再問(wèn)：怎么沒(méi)有-5℃呢？

師：也就是說(shuō)我們剛才標(biāo)示的溫度中沒(méi)有零下的溫度，那零度以下的溫度能不能表示？如果可以，如何標(biāo)示？請(qǐng)重新設(shè)計(jì)刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.

6.交流和總結(jié).

討論：零上溫度、零下溫度和0攝氏度對(duì)應(yīng)刻度的位置關(guān)系.最后總結(jié)：只有首先規(guī)定了零攝氏度的位置，才能確定零上的溫度和零下的溫度，可見，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，0℃是一個(gè)確定的溫度，0的意義已不僅是表示“沒(méi)有”.

4.4拓展延伸，鞏固新知

1.相反意義的量

師：我們把一種意義的量規(guī)定為正的，用“+”（讀作正）號(hào)來(lái)表示，同時(shí)把另一種與它相反意義的量規(guī)定為負(fù)的，用“-”（讀作負(fù)）號(hào)來(lái)表示.

師：例如，如果前進(jìn)200米記作+200米（讀作正200米），那么后退200米記作-200米（讀作負(fù)200米），請(qǐng)同學(xué)們回答下列問(wèn)題.

生：如果向東走10米記作+10米（讀作正10米），那么向東走-10米的意義是向西走10米.

師：正數(shù)前面的正號(hào)可以省略不寫，但負(fù)數(shù)前面的負(fù)號(hào)能省略不寫嗎？

生：（討論后得出）不能.

例題一個(gè)月內(nèi)，小明體重增加2kg，小華體重減少1kg，小強(qiáng)體重?zé)o變化，寫出他們這個(gè)月的體重增長(zhǎng)值.

解：這個(gè)月小明體重增加2kg，小華體重增長(zhǎng)-1kg，小強(qiáng)體重增長(zhǎng)0kg.

隨著對(duì)正數(shù)負(fù)數(shù)意義認(rèn)識(shí)的加深，正數(shù)和負(fù)數(shù)在實(shí)踐中得到了廣泛應(yīng)用.在地形圖上表示某地的高度時(shí)，需要以海平面為基準(zhǔn)（規(guī)定海平面的海拔高度為0m），通常用正數(shù)表示高于海平面的某地的海拔高度，用負(fù)數(shù)表示低于海平面的某地的海拔高度.

2.練習(xí)

南、北為兩個(gè)相反方向，如果-30米表示一個(gè)物體向南運(yùn)動(dòng)30米，那么+12米表示什么？物體原地不動(dòng)記為什么？

3.總結(jié)和作業(yè)

總結(jié)：（1）引入負(fù)數(shù)可以簡(jiǎn)明的表示具有相反意義的量，同時(shí)也可以解決小的數(shù)減去大的數(shù)的問(wèn)題.

（2）在表示具有相反意義的量時(shí)，把一種意義的量規(guī)定為正，可根據(jù)實(shí)際情況決定.

（3）要特別注意零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，0的意義已不僅是表示“沒(méi)有”.

（4）建立正負(fù)數(shù)概念后，當(dāng)考慮一個(gè)非零的數(shù)時(shí)，一定要考慮它的符號(hào).

作業(yè)：P5：4，5，6，7.

參考文獻(xiàn)

[1]涂榮豹，寧連華.中學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典教學(xué)方法[M].福州：福建教育出版社，2011：268.

[2]李文林.數(shù)學(xué)史教程[M].北京：高等教育出版社施普林格出版社，2000：75.

[3]鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數(shù)學(xué)文化學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2001：106.

[4]李迪.中外數(shù)學(xué)史教程[M].福州：福建教育出版社，1993：87.

作者簡(jiǎn)介張俊忠，男，1971年生，湖北應(yīng)城人，華中師范大學(xué)教育學(xué)院博士研究生，華中師大一附中初中部中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.endprint

4.2自主探索，展示過(guò)程

1.交流大家的想法.

（1）有學(xué)生在數(shù)100前加“賺”或“虧”；有學(xué)生用白色100表示賺，用紅色100表示虧；有學(xué)生在100上面加了不同方向的箭頭；有學(xué)生加了正負(fù)號(hào)等.

（2）有學(xué)生在10-15=的右邊寫了一個(gè)紅色的5；有學(xué)生在10-15=的右邊寫了一個(gè)上面加了一個(gè)點(diǎn)的5；有學(xué)生在10-15=的右邊寫了一個(gè)“5不足”等.

2.介紹人類探索負(fù)數(shù)的表示方法

師：相反意義的量怎樣表示和不夠減的結(jié)果如何表示，在歷史上，數(shù)學(xué)家們也費(fèi)了很多周折，他們想了各種各樣的方法.例如公元三世紀(jì)，中國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽第一次給出了區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法.他說(shuō)：“正算赤，負(fù)算黑；否則以邪正為異”即：用紅色的小棍表示正數(shù)，用黑色的小棍表示負(fù)數(shù)；有時(shí)用正放的小棍代表正數(shù)，用斜放的小棍代表負(fù)數(shù).用不同的顏色表示正負(fù)數(shù)，這個(gè)習(xí)慣一直保留到現(xiàn)在.現(xiàn)在人們一般用紅色表示負(fù)數(shù)，還有經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)赤字，表明收入小于支出.十三世紀(jì)，數(shù)學(xué)家李冶在《測(cè)圓海鏡》中用斜畫一杠表示負(fù)數(shù).此外，在古算中曾用過(guò)很多文字表示負(fù)數(shù)，如不足、出、賣、付、弱來(lái)表示負(fù)數(shù).

公元七世紀(jì)，印度學(xué)者婆羅摩笈多通過(guò)畫小點(diǎn)或小圈來(lái)表示負(fù)數(shù).十七世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾在第一個(gè)提出用減號(hào)“-”表示負(fù)數(shù).

師：實(shí)際上，為了解決這個(gè)問(wèn)題，歷史上的許多數(shù)學(xué)家和我們剛才的想法差不多.雖然負(fù)數(shù)的表示方法各不相同，但是都是為了有區(qū)別，尋找新數(shù)的表示方法.剛才大家新的表示方法中，你覺(jué)得哪種寫法最好？

生：用加減號(hào)的最好.賺100元，就是增加了100元；虧100元，就是減少了100元.

師：對(duì)，就是這樣的道理，十七世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾提出這樣的方式，就得到了大家的認(rèn)可，所以一直沿用至今.但讀法上有了變化，分別讀作正100元和負(fù)100元，符號(hào)分別叫正號(hào)和負(fù)號(hào).此時(shí)+和-是性質(zhì)符號(hào)，以前的+和-是運(yùn)算符號(hào).20-15可表示為+5，10-15可表示為-5

師：用正數(shù)或負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.

（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.

（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.

4.3抽象歸納，重新建構(gòu)

1.定義：像3，18%，35這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù)，像-3，-18%，-35這樣在正數(shù)前加上符號(hào)“-”（負(fù)）的數(shù)叫做負(fù)數(shù).有時(shí)為了明確表示意義，在正數(shù)的前面也加上“+”（正）號(hào).例如+2，+15，…就是2，1.5，….一個(gè)數(shù)前面的“+”“-”號(hào)叫做它的符號(hào).“-”在這里有了新的意義和作用，叫“負(fù)號(hào)”.“+”是正號(hào).像“+4”是一個(gè)正數(shù)，讀作：正四.我們可以在4的前面加上“+”，也可以省略不寫.“-4”是一個(gè)負(fù)數(shù)，讀作：負(fù)四.

2.任意寫幾個(gè)正數(shù)和負(fù)數(shù)，和同學(xué)交換著讀讀寫寫.

3.相反意義的量

師：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常遇到一些具有相反意義的量，比如：（課件顯示）

（1）火車向東行駛10千米和向西行駛10千米；

（2）從零上5攝氏度下降到零下5攝氏度；

請(qǐng)學(xué)生舉出一些相反意義的量的實(shí)例.

教師歸結(jié)：相反意義的量中有一些常用詞：收入與支出、增加與減少、上升與下降等.

4.找相反意義的量

師：誰(shuí)能說(shuō)出一個(gè)與“零上5攝氏度”意義相反的量？

學(xué)生回答后，再追問(wèn)：零上5攝氏度和零下5攝氏度，分別是哪里之上5攝氏度和哪里之下5攝氏度？用正負(fù)號(hào)分別表示它們.

5.學(xué)生在空白的溫度計(jì)上標(biāo)出這兩個(gè)溫度.

師：老師提供的是一個(gè)空白的溫度計(jì)圖，相鄰的兩個(gè)刻度線之間相差1攝氏度.最下面一格表示0攝氏度比較合適，那么上面二格是多少攝氏度？

生：2攝氏度.

師：再往上呢？依次標(biāo)到5攝氏度.

師：在我們?cè)O(shè)計(jì)的溫度計(jì)上“+5℃”在哪里？

學(xué)生指出+5℃的位置后，老師再問(wèn)：怎么沒(méi)有-5℃呢？

師：也就是說(shuō)我們剛才標(biāo)示的溫度中沒(méi)有零下的溫度，那零度以下的溫度能不能表示？如果可以，如何標(biāo)示？請(qǐng)重新設(shè)計(jì)刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.

6.交流和總結(jié).

討論：零上溫度、零下溫度和0攝氏度對(duì)應(yīng)刻度的位置關(guān)系.最后總結(jié)：只有首先規(guī)定了零攝氏度的位置，才能確定零上的溫度和零下的溫度，可見，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，0℃是一個(gè)確定的溫度，0的意義已不僅是表示“沒(méi)有”.

4.4拓展延伸，鞏固新知

1.相反意義的量

師：我們把一種意義的量規(guī)定為正的，用“+”（讀作正）號(hào)來(lái)表示，同時(shí)把另一種與它相反意義的量規(guī)定為負(fù)的，用“-”（讀作負(fù)）號(hào)來(lái)表示.

師：例如，如果前進(jìn)200米記作+200米（讀作正200米），那么后退200米記作-200米（讀作負(fù)200米），請(qǐng)同學(xué)們回答下列問(wèn)題.

生：如果向東走10米記作+10米（讀作正10米），那么向東走-10米的意義是向西走10米.

師：正數(shù)前面的正號(hào)可以省略不寫，但負(fù)數(shù)前面的負(fù)號(hào)能省略不寫嗎？

生：（討論后得出）不能.

例題一個(gè)月內(nèi)，小明體重增加2kg，小華體重減少1kg，小強(qiáng)體重?zé)o變化，寫出他們這個(gè)月的體重增長(zhǎng)值.

解：這個(gè)月小明體重增加2kg，小華體重增長(zhǎng)-1kg，小強(qiáng)體重增長(zhǎng)0kg.

隨著對(duì)正數(shù)負(fù)數(shù)意義認(rèn)識(shí)的加深，正數(shù)和負(fù)數(shù)在實(shí)踐中得到了廣泛應(yīng)用.在地形圖上表示某地的高度時(shí)，需要以海平面為基準(zhǔn)（規(guī)定海平面的海拔高度為0m），通常用正數(shù)表示高于海平面的某地的海拔高度，用負(fù)數(shù)表示低于海平面的某地的海拔高度.

2.練習(xí)

南、北為兩個(gè)相反方向，如果-30米表示一個(gè)物體向南運(yùn)動(dòng)30米，那么+12米表示什么？物體原地不動(dòng)記為什么？

3.總結(jié)和作業(yè)

總結(jié)：（1）引入負(fù)數(shù)可以簡(jiǎn)明的表示具有相反意義的量，同時(shí)也可以解決小的數(shù)減去大的數(shù)的問(wèn)題.

（2）在表示具有相反意義的量時(shí)，把一種意義的量規(guī)定為正，可根據(jù)實(shí)際情況決定.

（3）要特別注意零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，0的意義已不僅是表示“沒(méi)有”.

（4）建立正負(fù)數(shù)概念后，當(dāng)考慮一個(gè)非零的數(shù)時(shí)，一定要考慮它的符號(hào).

作業(yè)：P5：4，5，6，7.

參考文獻(xiàn)

[1]涂榮豹，寧連華.中學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典教學(xué)方法[M].福州：福建教育出版社，2011：268.

[2]李文林.數(shù)學(xué)史教程[M].北京：高等教育出版社施普林格出版社，2000：75.

[3]鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數(shù)學(xué)文化學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2001：106.

[4]李迪.中外數(shù)學(xué)史教程[M].福州：福建教育出版社，1993：87.

作者簡(jiǎn)介張俊忠，男，1971年生，湖北應(yīng)城人，華中師范大學(xué)教育學(xué)院博士研究生，華中師大一附中初中部中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.endprint

4.2自主探索，展示過(guò)程

1.交流大家的想法.

（1）有學(xué)生在數(shù)100前加“賺”或“虧”；有學(xué)生用白色100表示賺，用紅色100表示虧；有學(xué)生在100上面加了不同方向的箭頭；有學(xué)生加了正負(fù)號(hào)等.

（2）有學(xué)生在10-15=的右邊寫了一個(gè)紅色的5；有學(xué)生在10-15=的右邊寫了一個(gè)上面加了一個(gè)點(diǎn)的5；有學(xué)生在10-15=的右邊寫了一個(gè)“5不足”等.

2.介紹人類探索負(fù)數(shù)的表示方法

師：相反意義的量怎樣表示和不夠減的結(jié)果如何表示，在歷史上，數(shù)學(xué)家們也費(fèi)了很多周折，他們想了各種各樣的方法.例如公元三世紀(jì)，中國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽第一次給出了區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法.他說(shuō)：“正算赤，負(fù)算黑；否則以邪正為異”即：用紅色的小棍表示正數(shù)，用黑色的小棍表示負(fù)數(shù)；有時(shí)用正放的小棍代表正數(shù)，用斜放的小棍代表負(fù)數(shù).用不同的顏色表示正負(fù)數(shù)，這個(gè)習(xí)慣一直保留到現(xiàn)在.現(xiàn)在人們一般用紅色表示負(fù)數(shù)，還有經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)赤字，表明收入小于支出.十三世紀(jì)，數(shù)學(xué)家李冶在《測(cè)圓海鏡》中用斜畫一杠表示負(fù)數(shù).此外，在古算中曾用過(guò)很多文字表示負(fù)數(shù)，如不足、出、賣、付、弱來(lái)表示負(fù)數(shù).

公元七世紀(jì)，印度學(xué)者婆羅摩笈多通過(guò)畫小點(diǎn)或小圈來(lái)表示負(fù)數(shù).十七世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾在第一個(gè)提出用減號(hào)“-”表示負(fù)數(shù).

師：實(shí)際上，為了解決這個(gè)問(wèn)題，歷史上的許多數(shù)學(xué)家和我們剛才的想法差不多.雖然負(fù)數(shù)的表示方法各不相同，但是都是為了有區(qū)別，尋找新數(shù)的表示方法.剛才大家新的表示方法中，你覺(jué)得哪種寫法最好？

生：用加減號(hào)的最好.賺100元，就是增加了100元；虧100元，就是減少了100元.

師：對(duì)，就是這樣的道理，十七世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾提出這樣的方式，就得到了大家的認(rèn)可，所以一直沿用至今.但讀法上有了變化，分別讀作正100元和負(fù)100元，符號(hào)分別叫正號(hào)和負(fù)號(hào).此時(shí)+和-是性質(zhì)符號(hào)，以前的+和-是運(yùn)算符號(hào).20-15可表示為+5，10-15可表示為-5

師：用正數(shù)或負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.

（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.

（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.

4.3抽象歸納，重新建構(gòu)

1.定義：像3，18%，35這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù)，像-3，-18%，-35這樣在正數(shù)前加上符號(hào)“-”（負(fù)）的數(shù)叫做負(fù)數(shù).有時(shí)為了明確表示意義，在正數(shù)的前面也加上“+”（正）號(hào).例如+2，+15，…就是2，1.5，….一個(gè)數(shù)前面的“+”“-”號(hào)叫做它的符號(hào).“-”在這里有了新的意義和作用，叫“負(fù)號(hào)”.“+”是正號(hào).像“+4”是一個(gè)正數(shù)，讀作：正四.我們可以在4的前面加上“+”，也可以省略不寫.“-4”是一個(gè)負(fù)數(shù)，讀作：負(fù)四.

2.任意寫幾個(gè)正數(shù)和負(fù)數(shù)，和同學(xué)交換著讀讀寫寫.

3.相反意義的量

師：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常遇到一些具有相反意義的量，比如：（課件顯示）

（1）火車向東行駛10千米和向西行駛10千米；

（2）從零上5攝氏度下降到零下5攝氏度；

請(qǐng)學(xué)生舉出一些相反意義的量的實(shí)例.

教師歸結(jié)：相反意義的量中有一些常用詞：收入與支出、增加與減少、上升與下降等.

4.找相反意義的量

師：誰(shuí)能說(shuō)出一個(gè)與“零上5攝氏度”意義相反的量？

學(xué)生回答后，再追問(wèn)：零上5攝氏度和零下5攝氏度，分別是哪里之上5攝氏度和哪里之下5攝氏度？用正負(fù)號(hào)分別表示它們.

5.學(xué)生在空白的溫度計(jì)上標(biāo)出這兩個(gè)溫度.

師：老師提供的是一個(gè)空白的溫度計(jì)圖，相鄰的兩個(gè)刻度線之間相差1攝氏度.最下面一格表示0攝氏度比較合適，那么上面二格是多少攝氏度？

生：2攝氏度.

師：再往上呢？依次標(biāo)到5攝氏度.

師：在我們?cè)O(shè)計(jì)的溫度計(jì)上“+5℃”在哪里？

學(xué)生指出+5℃的位置后，老師再問(wèn)：怎么沒(méi)有-5℃呢？

師：也就是說(shuō)我們剛才標(biāo)示的溫度中沒(méi)有零下的溫度，那零度以下的溫度能不能表示？如果可以，如何標(biāo)示？請(qǐng)重新設(shè)計(jì)刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.

6.交流和總結(jié).

討論：零上溫度、零下溫度和0攝氏度對(duì)應(yīng)刻度的位置關(guān)系.最后總結(jié)：只有首先規(guī)定了零攝氏度的位置，才能確定零上的溫度和零下的溫度，可見，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，0℃是一個(gè)確定的溫度，0的意義已不僅是表示“沒(méi)有”.

4.4拓展延伸，鞏固新知

1.相反意義的量

師：我們把一種意義的量規(guī)定為正的，用“+”（讀作正）號(hào)來(lái)表示，同時(shí)把另一種與它相反意義的量規(guī)定為負(fù)的，用“-”（讀作負(fù)）號(hào)來(lái)表示.

師：例如，如果前進(jìn)200米記作+200米（讀作正200米），那么后退200米記作-200米（讀作負(fù)200米），請(qǐng)同學(xué)們回答下列問(wèn)題.

生：如果向東走10米記作+10米（讀作正10米），那么向東走-10米的意義是向西走10米.

師：正數(shù)前面的正號(hào)可以省略不寫，但負(fù)數(shù)前面的負(fù)號(hào)能省略不寫嗎？

生：（討論后得出）不能.

例題一個(gè)月內(nèi)，小明體重增加2kg，小華體重減少1kg，小強(qiáng)體重?zé)o變化，寫出他們這個(gè)月的體重增長(zhǎng)值.

解：這個(gè)月小明體重增加2kg，小華體重增長(zhǎng)-1kg，小強(qiáng)體重增長(zhǎng)0kg.

隨著對(duì)正數(shù)負(fù)數(shù)意義認(rèn)識(shí)的加深，正數(shù)和負(fù)數(shù)在實(shí)踐中得到了廣泛應(yīng)用.在地形圖上表示某地的高度時(shí)，需要以海平面為基準(zhǔn)（規(guī)定海平面的海拔高度為0m），通常用正數(shù)表示高于海平面的某地的海拔高度，用負(fù)數(shù)表示低于海平面的某地的海拔高度.

2.練習(xí)

南、北為兩個(gè)相反方向，如果-30米表示一個(gè)物體向南運(yùn)動(dòng)30米，那么+12米表示什么？物體原地不動(dòng)記為什么？

3.總結(jié)和作業(yè)

總結(jié)：（1）引入負(fù)數(shù)可以簡(jiǎn)明的表示具有相反意義的量，同時(shí)也可以解決小的數(shù)減去大的數(shù)的問(wèn)題.

（2）在表示具有相反意義的量時(shí)，把一種意義的量規(guī)定為正，可根據(jù)實(shí)際情況決定.

（3）要特別注意零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，0的意義已不僅是表示“沒(méi)有”.

（4）建立正負(fù)數(shù)概念后，當(dāng)考慮一個(gè)非零的數(shù)時(shí)，一定要考慮它的符號(hào).

作業(yè)：P5：4，5，6，7.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介張俊忠，男，1971年生，湖北應(yīng)城人，華中師范大學(xué)教育學(xué)院博士研究生，華中師大一附中初中部中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.endprint