數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開對(duì)問題的探求，老師們也不例外.常用發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題之所謂 “四輪驅(qū)動(dòng)”問題研究的方法，進(jìn)行課堂教學(xué).試想，如果最后歸結(jié)為一個(gè)前人尚未提及的全新的數(shù)學(xué)問題，則可為學(xué)生樹立一個(gè)榜樣，從而增進(jìn)他們的學(xué)習(xí)興趣.現(xiàn)按上述問題研究的思路，對(duì) “平移和軸對(duì)稱這兩種變換在什么情況下是等價(jià)的”這一問題，試行深入探索.

1 發(fā)現(xiàn)問題

個(gè)人以為，要發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新問題，除了想象力與興趣之外，必需的一個(gè)條件是決不放棄的意志力.要“能夠在不疑處有疑”，腦海里始終存有一根“指針”，指向該疑處.正如一歌詞說的好：從來(lái)不需要想起，永遠(yuǎn)也不會(huì)忘記.

疑問產(chǎn)生的過程似乎是遵循從模糊到清晰、從無(wú)序到規(guī)范、從繁瑣到簡(jiǎn)潔、從特殊到一般這樣的規(guī)律.可惜的是，限于篇幅，本次探索過程中的模糊、無(wú)序、繁瑣等感受不能一一檢討.也很難將所受教訓(xùn)的感悟的全部與大家分享.

筆者曾經(jīng)提出過平移和軸對(duì)稱的關(guān)系定理[1]：一次平移可以由至多四次軸對(duì)稱得到.也就是說，對(duì)一個(gè)平面圖形進(jìn)行一次平移，相當(dāng)于對(duì)這一圖形進(jìn)行至多四次的軸對(duì)稱變換.但這一定理可以進(jìn)一步得以改正.提升為：一次平移可以由至多二次軸對(duì)稱得到.

這是因?yàn)閷⑵矫鎴D形往任一方向的平移，只要將圖形所在平面整體旋轉(zhuǎn)一定角度，就可以視其為水平方向的平移.也不影響本題的證明.而對(duì)平面圖形的水平方向的平移，其結(jié)果可以由至多二次軸對(duì)稱得到 [1].

有人提出：科學(xué)的意義不在于 “有用”，而是理性的需要，是思想的本能.本人對(duì)此已有體驗(yàn)，亦有同感.

再由前面所提到的“至多二次”提升到“一次”就辦不到了.疑問至此結(jié)束嗎？不！但需要擁有另辟蹊徑的勇氣與方法.改變思考方向，由整體向局部轉(zhuǎn)移.退一步，海闊天空！

2 提出問題

總有一部分圖形的任一次平移，都可由對(duì)它的一次軸對(duì)稱得到.例如，圓、圓環(huán)、直線、一個(gè)點(diǎn)甚至整個(gè)平面的任一次平移，平移后的圖形都與原圖形軸對(duì)稱.但除此之外，還有其它滿足要求的平面圖形嗎？

進(jìn)一步，就提出了“平移和軸對(duì)稱這兩種變換在什么情況下是等價(jià)的”這一問題.也就是說，對(duì)怎樣的平面圖形進(jìn)行任意一次的平移變換，其結(jié)果，可由對(duì)這一圖形進(jìn)行一次軸對(duì)稱變換得到，反之亦然？

簡(jiǎn)單地說，對(duì)怎樣的平面圖形，平移就是軸對(duì)稱，軸對(duì)稱就是平移？

3 分析問題

首先，為了便于研究，我們將考慮的對(duì)象：平面圖形，作一限制，限制它在有界圖形這一范圍內(nèi).而所謂有界圖形，是指該圖形上的所有的點(diǎn)都在平面的同一圓內(nèi).

然后，觀察圓、圓環(huán)、圓面的對(duì)稱性.就可發(fā)現(xiàn)這些圖形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為過一定點(diǎn)的任一直線.采用逆向思維的方式，以此特征為條件，研究圖形上點(diǎn)的共性.我們就可以得到以下的一個(gè)規(guī)律：

引理1如果點(diǎn)P在以過定點(diǎn)O的任一直線都為其對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形上，則以定點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑的圓上任一點(diǎn)，都在該軸對(duì)稱圖形上.

證明設(shè)以定點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑的圓上任一點(diǎn)為A，經(jīng)過定點(diǎn)O且與線段AP垂直的直線為m.只要證明點(diǎn)A在該軸對(duì)稱圖形上即可.

顯然，點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線m對(duì)稱.由題設(shè)，直線m為該軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，點(diǎn)P在該軸對(duì)稱圖形上.所以，點(diǎn)A在該軸對(duì)稱圖形上.證畢.

進(jìn)一步，我們?cè)賱?chuàng)新定義，給出廣義同心圓的概念：對(duì)于平面圖形C，存在該平面上的一個(gè)定點(diǎn)O，如果點(diǎn)A在圖形C上，且以定點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓上的所有點(diǎn)也在圖形C上.則稱圖形C為以定點(diǎn)O為圓心的廣義同心圓.

廣義同心圓可以是一個(gè)定點(diǎn)、圓、圓環(huán)、圓面，也包括這四個(gè)圖形的若干個(gè)可重復(fù)的同心的一個(gè)組合.在這里，一個(gè)平面也是廣義同心圓.根據(jù)引理1，我們有以下第二個(gè)規(guī)律：

引理2平面上，經(jīng)過定點(diǎn)O的任一直線都為其對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，是以定點(diǎn)O為圓心的廣義同心圓.

4 解決問題

有了以上的理論鋪墊，我們就可以解決本文開頭給出的問題.有如下結(jié)論：

平移和軸對(duì)稱的等價(jià)性定理 當(dāng)且僅當(dāng)有界圖形是廣義同心圓時(shí)，平移和軸對(duì)稱對(duì)它的變換是等價(jià)的.

證明：顯然，對(duì)廣義同心圓的任一次平移變換，變換后的圖形與原圖形構(gòu)成軸對(duì)稱圖形.而對(duì)廣義同心圓的任一次軸對(duì)稱變換，也可以看成是對(duì)該圖形的一次平移變換，故此時(shí)，平移和軸對(duì)稱對(duì)它的變換是等價(jià)的.

當(dāng)平移和軸對(duì)稱對(duì)有界圖形C的變換是等價(jià)時(shí)，則對(duì)圖形C所作的任一平移變換，變換后的圖形C1與原圖形構(gòu)成軸對(duì)稱圖形.

此時(shí)的問題是，對(duì)圖形C作怎樣的平移？而妙悟與想象力的發(fā)揮是解決問題的關(guān)鍵.答案是利用零向量.也即：對(duì)圖形C作零距離且任意方向的平移變換.則圖形C與變換后的圖形C1重合.因此，圖形C本身是軸對(duì)稱圖形.當(dāng)然，由題設(shè)，圖形C也是有界圖形.

根據(jù)有界軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸共點(diǎn)定理[2]，與以上平移變換時(shí)方向的任意性，得圖形C的對(duì)稱軸是過一定點(diǎn)的任一直線.由引理2知，圖形C是廣義同心圓.證畢.

后記：值得一提的是，在以上證明過程的細(xì)微之處，似乎可以領(lǐng)略到“梵我一如”哲學(xué)思想的體現(xiàn).此處， “梵”代表自然原理，指平移， “我”則為實(shí)體，指圖形C， “一如”指重合.

細(xì)細(xì)想來(lái)，以上定理及其證明中的每一個(gè)細(xì)節(jié)，都曾經(jīng)被用心整理過幾十遍.不斷地查漏補(bǔ)缺，甚至于雕琢鑲嵌、打磨圓潤(rùn).目的是求得結(jié)論正確而條件最少、定理陳述完美無(wú)缺、推理過程令人信服.

“一番整理，一番發(fā)現(xiàn)，一番收獲.”樂此不疲.

參考文獻(xiàn)

[1]林東偉，王華.教材研讀拾穗：軸對(duì)稱“包含”平移[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志， 2011（8）.

[2]林東偉，葉對(duì)萍.想象的力量：有界軸對(duì)稱圖形的概念與性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志， 2013（6）.endprint