錢慶慶，吳 濤，宋 雷，許文浩

(安徽大學(xué) a.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院;b.文典學(xué)院，合肥 230039)

隨著科學(xué)研究的不斷發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)很多問題往往存在著不確定性和模糊性，它們難以用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具加以描述和分析。為了研究并解決這些問題，模糊集理論［1－2］、區(qū)間數(shù)理論［3］、粗糙集理論［4］和概率論［5］等不確定理論應(yīng)運(yùn)而生并得到了很好的發(fā)展和應(yīng)用，然而這些理論自身也存在著固有的局限性［7］。為了克服這些理論的局限性，Molodtsov首次提出了軟集［8］的概念，它是一種全新的處理不確定性的數(shù)學(xué)工具。由于軟集理論自身的優(yōu)越性，即能夠更加靈活、細(xì)膩地刻畫客觀世界的不確定性，近年來，人們已將軟集理論與其他不確定理論進(jìn)行了結(jié)合并提出了模糊軟集、粗糙軟集等概念［9－11］。文獻(xiàn)［12 －13］研究了軟集之間的各種運(yùn)算法則(交、并、補(bǔ)、子集等)。文獻(xiàn)［14－15］重新定義了文獻(xiàn)［7］中的軟集概念并討論了軟集間的運(yùn)算法則，且在此基礎(chǔ)上定義了軟矩陣并討論了軟矩陣的相關(guān)性質(zhì)及運(yùn)算。文獻(xiàn)［16－18］分別將軟集概念推廣到模糊軟集、直覺模糊軟集和區(qū)間型直覺模糊軟集，并討論了各自的相關(guān)性質(zhì)。同時(shí)通過設(shè)定閾值向量構(gòu)造水平軟集［16］，將模糊軟集和直覺模糊軟集轉(zhuǎn)化為經(jīng)典軟集，再通過計(jì)算論域中各對象的機(jī)會(huì)值得到最優(yōu)決策。

然而，上述研究基本上是從靜態(tài)角度去研究軟集理論和模糊軟集理論，而在實(shí)際生活中，時(shí)間的作用無法忽略。這使得決策者在決策過程中需要對問題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的分析。因此，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［19］在模糊軟集中引入時(shí)間參數(shù)，并將其推廣到時(shí)序模糊軟集。理論上，時(shí)序模糊軟集反映的是決策信息隨時(shí)間變化的情況，不同時(shí)刻所對應(yīng)的模糊軟集對最終的決策影響并不相同。據(jù)此提出了一種基于指數(shù)衰減模型的時(shí)間權(quán)重確定方法，認(rèn)為:不同時(shí)刻決策者所掌握的信息不同，越靠近最終決策時(shí)刻，掌握信息量越大，對最終決策的影響越大，時(shí)間權(quán)重越大;反之越遠(yuǎn)離最終決策時(shí)刻，對最終決策的影響越小，時(shí)間權(quán)重越小。但這種賦權(quán)方法具有主觀隨意性，不能反映出對象本身在動(dòng)態(tài)狀況下的特點(diǎn)，因此需要提供一種新的時(shí)間權(quán)重賦值方法。屬性值因動(dòng)態(tài)產(chǎn)生的這種變化通過橫向觀察每個(gè)對象在不同時(shí)刻的決策信息值可以反映出對象自身保持前一時(shí)刻屬性值的能力，而縱向觀察所有對象在同一時(shí)刻下的決策信息值則反映出對象間不同時(shí)刻的好壞差異程度，因此，將這種能力和差異程度綜合為對象集整體的穩(wěn)定程度。在同一時(shí)刻下，對象集越穩(wěn)定表明對象間差異較小，不能明顯反映出對象間的優(yōu)劣;反之，越不穩(wěn)定即離散程度越大，表明對象間有較明顯差異。鑒于此，本文首先考慮到不同屬性間物理剛量的差異，對每一個(gè)模糊軟集進(jìn)行規(guī)范化預(yù)處理，將所有屬性歸一為綜合屬性，通過計(jì)算平均絕對離差獲得不同時(shí)刻模糊軟集的權(quán)重值，然后通過集成思想和水平軟集的方法，給出了一種新的基于時(shí)序模糊軟集的群決策方法。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1(軟集) 設(shè)U是非空有限集，E是一個(gè)參數(shù)集合，P(U)是U上的冪集，且A?E，則序?qū)?F，A)稱為U上的一個(gè)軟集，其中F:A→P(U)為一個(gè)參數(shù)子集A到P(U)的映射［8］。

定義2(模糊軟集) 設(shè)U是一個(gè)非空論域，E是一個(gè)參數(shù)集合，I=［0，1］，IU表示U上的所有模糊集的全體，稱序?qū)?F，E)為論域U上的模糊軟集(FSs)，其中F:E→IU為一個(gè)從參數(shù)集E到IU的映射，即對?e∈E［20］，

其中，μF(e)(x)表示元素x屬于模糊集F(e)的隸屬度。

定義3(時(shí)序模糊軟集) 設(shè)U是非空論域，E是參數(shù)集，T是時(shí)間集合，I=［0，1］，IU表示 U 上的所有模糊集的全體，稱序?qū)?F，E×T)為論域U上的時(shí)序模糊軟集(TSFSs)，其中F:E×T→IU為一個(gè)參數(shù)集E×T到U上的映射，即對?(e，t)∈E × T，F(xiàn)(e，t)= {〈x，μF(e，t)(x)〉:x∈U}∈IU表示元素 x 屬于模糊集 F(e，t)的隸屬度［19］。

文獻(xiàn)［19］指出:時(shí)序模糊軟集就是一系列模糊軟集按照時(shí)間參數(shù)排列形成的整體，即對于固定時(shí)刻，時(shí)序模糊軟集其實(shí)就是一個(gè)普通的模糊軟集。根據(jù)模糊軟集的特點(diǎn)，每一個(gè)模糊軟集都可以用一個(gè)矩陣的形式表示出來，記作模糊軟矩陣(FSM)，即

基于上述的基本運(yùn)算法則，可以定義時(shí)序模糊加權(quán)幾何平均算子。

2 時(shí)序模糊軟集的決策方法

2.1 模糊軟集的規(guī)范化預(yù)處理

一般情況下，屬性類型分為效益型和成本型，而屬性類型的不同會(huì)在決策過程中造成難以避免的影響。為了減少這樣的影響，需要對每一個(gè)模糊軟集進(jìn)行規(guī)范化預(yù)處理［2］的過程。

2.2 時(shí)間權(quán)重的確定方法

一般而言，對象集的穩(wěn)定程度能反映出對象彼此之間的差異。在動(dòng)態(tài)情況下，這種差異也表明了不同對象保持初始狀態(tài)的能力及對象間的優(yōu)劣差異程度。所以，對象集越穩(wěn)定表明對象間差異較小，不能反映出對象間的顯著優(yōu)劣;反之，越不穩(wěn)定即離散程度越大，表明對象間有較明顯差異。把這種時(shí)間的作用轉(zhuǎn)化為權(quán)重，然后給定時(shí)間權(quán)重。考慮到若計(jì)算不同對象各時(shí)間各屬性下的差異，將大大增加時(shí)間和空間上的復(fù)雜度，這里簡化算法，將多屬性集成為一個(gè)綜合屬性從而達(dá)到簡化的效果。下面考慮時(shí)序模糊多屬性決策問題:

假設(shè)屬性權(quán)重信息完全未知，記為 w=(w1，w2，…，wm)，其中wj表示第j個(gè)屬性權(quán)重。文獻(xiàn)［2］中給出屬性賦權(quán)方法:w1=(1－α)m+α，wj=(1－ α)m，j≠1 且 α∈［0，1］。

定義綜合屬性為e，則對象xi在tk時(shí)刻下的綜合屬性值為

tk時(shí)刻下的平均綜合屬性值為

tk時(shí)刻下的平均絕對離差為

根據(jù)“平均絕對離差M(tk)越大，該時(shí)刻時(shí)間權(quán)重越小，反之越大”的思想，給定權(quán)重公式:

于是，得到基于時(shí)序模糊軟集的決策方法的途徑:

Step 1 根據(jù)屬性的類型，利用本文2.1節(jié)的方法對原時(shí)序模糊軟集進(jìn)行規(guī)范化預(yù)處理;

Step 2 利用式(2)、(3)、(4)分別計(jì)算綜合屬性值、平均綜合屬性值及平均離差;

Step 3 利用式(5)計(jì)算各時(shí)刻下的屬性值，并代入式(1)將時(shí)序模糊軟集集成為綜合模糊軟集;

Step 4 計(jì)算最大值閾值向量并根據(jù)定義計(jì)算最大值水平軟集;

Step 5 計(jì)算每個(gè)對象的機(jī)會(huì)值，從而得到最優(yōu)決策。

3 舉例說明

考慮航天設(shè)備的評估問題，有4種航天設(shè)備U={x1，x2，x3，x4}及評估指標(biāo)(屬性)E={e1，e2，e3，e4}，所有指標(biāo)均為效益型。對這4種航天設(shè)備進(jìn)行了為期 4 周 T={t1，t2，t3，t4}的考查，并將考核結(jié)果以時(shí)序模糊軟集的形式給出(見表1)。

因?yàn)?種指標(biāo)(屬性)都是效益型，所以將表1中4個(gè)模糊軟集利用本文2.1節(jié)的方法進(jìn)行規(guī)范化處理，得到規(guī)范化模糊軟集(見表2)。

這里取 α=0.2，則屬性權(quán)重為 w=(0.4，0.2，0.2，0.2)，然后利用式(2)、(3)、(4)分別計(jì)算各對象各時(shí)刻下的綜合屬性及各時(shí)刻下的平均綜合屬性值(tk)、平均絕對離差M(tk)，再利用式(5)計(jì)算各時(shí)間權(quán)重ωk，得到相關(guān)數(shù)據(jù)(見表3)。

表1 時(shí)序模糊軟集

表2 規(guī)范化模糊軟集

表3 相關(guān)數(shù)據(jù)

由表3知:時(shí)間權(quán)重向量為 ω={0.2400，0.4171，0.1304，0.2125}，再利用式(1)將時(shí)序模糊軟集集成為綜合模糊軟集(見表4)。

計(jì)算最大值閾值向量為:δ(E)={0.9827，0.9765，0.9415，0.9172}，從而得到最大值水平軟集。計(jì)算各航空設(shè)備的機(jī)會(huì)值:S1=1，S2=2，S3=1，S4=0，則最優(yōu)航空設(shè)備是 x2。

表4 綜合模糊軟集及機(jī)會(huì)值

4 結(jié)束語

本文主要研究時(shí)序模糊軟集，考慮時(shí)間在決策過程中所產(chǎn)生的影響。隨著時(shí)間的推移，不同對象的同一屬性值必定有所改變。這種改變一方面可以反映對象之間的好壞差異;另一方面也可以表現(xiàn)出對象保持原有屬性值的能力。本文基于這2種考慮，將這種差異和能力用可以量化的對象集整體在不同時(shí)刻下的穩(wěn)定程度來表示。由于不同屬性的量綱不同，所以先規(guī)范化處理原模糊軟集，再將不同屬性綜合為綜合屬性，然后通過平均絕對離差量化差異性并確定時(shí)間權(quán)重，利用集成思想及水平軟集的方法計(jì)算機(jī)會(huì)值，最后確定最優(yōu)對象。

［1］Zadeh L A.Fuzzy sets［J］.Information and Control，1965，8(3):338 －353.

［2］Xu Z S.Uncertain Multiple Attribute Decision Making:Methods and Application［M］.Beijing:Press of Tsinghua University，2004.

［3］Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20(1):87 －96.

［4］Pawlak Z.Rough sets［J］.International Journal of Information and Computer Sciences，1982，11:341 － 356.

［5］Miao B Q，Hu T Z.Probability Theory(The Second Edition)［M］.Hefei:Press of University of Science and Technology of China，2009.

［6］吳永，邵明陽.重尾索賠下常利力更新風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，24(10):97－100.

［7］Molodtsov D.Soft set theory-First results［J］.Computers and Mathematics with Application，1999，37:19 －31.

［8］Maji P K，Biswas R，Roy A R.Soft sets theory［J］.Computers and Mathematics with Application，2003，45:555 －562.

［9］Ali M I.A note on soft sets，rough soft sets and fuzzy soft sets［J］.Applied Soft Computing，2011，11:3329 －3332.

［10］Feng F，Li C X，et al.Soft sets combined with fuzzy sets and rough sets:A tentative approach［J］.Soft Computing，2010，4:899 －911.

［11］Feng F，Liu X Y，et al.Soft sets and soft rough sets［J］.Information Sciences 2011，181:1125 －1137.

［12］Ali M I，F(xiàn)eng F，et al.On some new operations in soft set theory［J］.Computers and Mathematics with Applications，2009，57:1547 －1553.

［13］Sezgin A，Atagun A O.On operations of sets［J］.Computers and Mathematics with Application，2011，61:1457－1467.

［14］Cagman N，Enginoglu S.Soft set theory and unint decision making［J］.European Journal of Operational Research，2010，207:848 －855.

［15］Cagman N，Enginoglu S.Soft matrix theory and its decision making［J］.Computers and Mathematics with Applications，2010，59:3308 －3314.

［16］Feng Feng，Young Bae Jun，et al.An adjustable approach to fuzzy soft set based decision making［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，234:10－20.

［17］Jiang Y CH，Tang Y，Chen Q M.An adjustable approach to intuitionsitic fuzzy soft sets based decision making［J］.Applied Mathematical modeling，2011，35:824 －836.

［18］Jiang Y CH，Tang Y，et al.Interval-valued intuitionisitic fuzzy soft sets and their properties［J］.Computers and Mathematics with Applications，2010，60:906 －918.

［19］Mao J J，Yao D B，et al.Group decision-making method based on time-series fuzzy soft set［J］.Systems Engineering-Theory ＆ Practice，2014，34(1):182 －189.

［20］Majumdar P，Samanta S K，On similarity measures of fuzzy soft sets［J］.International Journal of Advances in Soft Computing and Its Application，2011，2:1 －8.