蘇景順 馬麗紅

(河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系，河北 張家口 075000)

0 引 言

在光學(xué)教程中[1]，自然光入射到兩種媒質(zhì)分界面發(fā)生反射、折射時(shí)的偏振規(guī)律是人們所熟知的：反射光為垂直極化波占優(yōu)勢(shì)的部分偏振光，折射光為平行極化波占優(yōu)勢(shì)的部分偏振光.僅當(dāng)入射角i等于布儒斯特角iB時(shí)，反射光是由垂直極化波構(gòu)成的完全偏振光，折射光是平行極化波占優(yōu)勢(shì)的部分偏振光.布儒斯特角iB由下式確定.

自然光反射、折射時(shí)的偏振狀態(tài)通常用作圖法表示.作圖法簡(jiǎn)單、直觀，但只能定性地表示反射光、折射光的偏振化程度.需要明確的是，作圖法繪出的是光矢量，而非光強(qiáng).用作圖法定性地表示反射光、折射光的偏振化程度，重要的在于表示垂直極化波與平行極化波的相對(duì)關(guān)系.下面根據(jù)菲涅耳公式，定量分析自然光射向非鐵磁性媒質(zhì)界面時(shí)反射光、折射光的偏振狀態(tài)，特別是垂直極化波與平行極化波的相對(duì)關(guān)系，并指出作圖法表示偏振光應(yīng)注意的幾個(gè)問題.

1 以入射角、折射率表示的菲涅耳公式

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

結(jié)合折射定律

(8)

可以將式(1)、式(2)、式(4)、式(5)表示的反射系數(shù)和透射系數(shù)改用入射角i與媒質(zhì)的折射率n表示.垂直極化波的反射系數(shù)Γc、透射系數(shù)Tc分別為

(9)

(10)

垂直極化波的反射系數(shù)Γc與透射系數(shù)Tc滿足關(guān)系

1+Γc=Tc

平行極化波的反射系數(shù)Γp、透射系數(shù)Tp分別為

(11)

(12)

平行極化波的反射系數(shù)Γp與透射系數(shù)Tp滿足關(guān)系

1+Γp=nTp

圖1

式(9)～式(12)即是垂直極化波和平行極化波從空氣入射到非鐵磁性材料界面時(shí)的菲涅耳公式.顯然，在入射波從空氣射向非鐵磁性材料界面的條件下，無論是垂直極化波，還是平行極化波，反射系數(shù)Γ、透射系數(shù)T均為實(shí)數(shù)，且由入射角i和媒質(zhì)的折射率n決定.

自然光可以看作是垂直極化波與平行極化波兩種成分相等的光波.下面用式(9)～式(12)表示的菲涅耳公式分析自然光從空氣射向非鐵磁性介質(zhì)表面發(fā)生反射、折射時(shí)的偏振規(guī)律.

2 反射光中兩種極化波與入射角的關(guān)系

當(dāng)自然光從空氣射向非鐵磁性材料界面發(fā)生反射時(shí)，根據(jù)式(9)、式(11)可以繪出反射光中垂直極化波反射系數(shù)Γc、平行極化波反射系數(shù)Γp的絕對(duì)值隨入射角i變化的規(guī)律，如圖1所示(菲涅耳公式中的反射系數(shù)取負(fù)值表示方向，分析量值關(guān)系取絕對(duì)值.為突出主要特征，設(shè)媒質(zhì)的折射率n=2).

分析式(9)、式(11)和圖1可得出以下結(jié)論：

(1)平行極化波的反射系數(shù)以布儒斯特角iB為轉(zhuǎn)折點(diǎn)，先減小，再較快地增大.而垂直極化波的反射系數(shù)則隨入射角i單調(diào)增大.

(2)當(dāng)入射角等于布儒斯特角iB時(shí)，平行極化波的反射系數(shù)為零，平行極化波完全不能反射.這時(shí)反射光由垂直極化波構(gòu)成，即反射光為垂直入射面振動(dòng)的平面偏振光.

(3)需要指出的是：自然光以布儒斯特角iB入射，反射光是完全偏振光，但其光強(qiáng)與媒質(zhì)的折射率有關(guān).例如，垂直極化波從空氣射向折射率n=1.5253的冕玻璃時(shí)，iB=56.3°，反射系數(shù)約為0.384，光強(qiáng)約反射15%；當(dāng)垂直極化波從空氣射向折射率為n=2.0的紅鋯石時(shí)，iB=63.5°，反射系數(shù)約為0.6009，光強(qiáng)約反射36%；隨著媒質(zhì)折射率的增大，反射光強(qiáng)也增加.而多數(shù)教科書[3]忽略了折射率對(duì)反射光強(qiáng)的影響，認(rèn)為“以起偏角入射，反射光雖然是完全偏振光，但光強(qiáng)較弱”，這是欠準(zhǔn)確的.

用作圖法表示反射光的偏振態(tài)，重要的在于表示平行極化波與垂直極化波的相對(duì)關(guān)系.為了了解這種相對(duì)關(guān)系，根據(jù)式(9)、式(11)可以得到反射光中平行極化波反射系數(shù)Γp與垂直極化波反射系數(shù)Γc絕對(duì)值的比值為

(13)

根據(jù)式(13)可繪出圖2(設(shè)自然光從空氣射向n=1.5253的冕玻璃).

圖2

分析式(13)和圖2可得出以下結(jié)論：

(1)反射光中平行極化波的反射系數(shù)Γp與垂直極化波的反射系數(shù)Γc絕對(duì)值的比值以布儒斯特角iB=0.990488(約56.75°)為轉(zhuǎn)折點(diǎn)，形成V型反轉(zhuǎn).這說明當(dāng)入射角接近布儒斯特角時(shí)，反射光的偏振化程度提高；遠(yuǎn)離布儒斯特角時(shí)，反射光的偏振化程度降低.

(2)由于

這說明自然光接近垂直入射或接近水平掠射時(shí)，反射光中平行極化波與垂直極化波兩種成分相等，反射光基本上仍然是自然光.

表1列出了自然光從空氣射向冕玻璃(n=1.5253)時(shí)，反射光中平行極化波與垂直極化波的比值為某些特殊值所對(duì)應(yīng)的入射角，可供參考.

表1

3 折射光中兩種極化波與入射角的關(guān)系

根據(jù)式(10)、式(12)可繪出自然光從空氣射向非鐵磁性介質(zhì)折射時(shí)，垂直極化波透射系數(shù)Tc、平行極化波透射系數(shù)Tp的絕對(duì)值隨入射角i的變化規(guī)律，如圖3所示(菲涅耳公式中的反射系數(shù)取負(fù)值表示方向，分析量值關(guān)系取絕對(duì)值.為突出主要特征，設(shè)媒質(zhì)的折射率n=2).

圖3

分析式(10)、式(12)和圖3可得出以下結(jié)論：

(1)折射光中無論是垂直極化波的透射系數(shù)，還是平行極化波的透射系數(shù)，都將隨入射角i的增大而減小.然而平行極化波的透射系數(shù)始終不小于垂直極化波的透射系數(shù).這說明折射光始終是平行極化波占優(yōu)勢(shì).

(2)當(dāng)入射角較小時(shí)，兩種極化波的透射系數(shù)較大，折射光強(qiáng)較強(qiáng)；當(dāng)入射角較大，特別是接近90°水平掠射時(shí)，兩種極化波的透射系數(shù)接近為零，折射光強(qiáng)很弱.

為了了解折射光中平行極化波與垂直極化波的相對(duì)關(guān)系，根據(jù)式(10)、式(12)可以得到平行極化波透射系數(shù)Tp與垂直極化波透射系數(shù)Tc絕對(duì)值的比值為

(14)

根據(jù)式(14)可繪出圖4(設(shè)自然光從空氣射向n=1.5253的冕玻璃).

圖4

分析式(14)和圖4，可得出以下結(jié)論：

(1)折射光中平行極化波的透射系數(shù)與垂直極化波的透射系數(shù)的比值隨著入射角i的增加而單調(diào)地增加，這一結(jié)論與文獻(xiàn)[4]的研究結(jié)果是一致的.當(dāng)入射角i較小時(shí)(i<0.397335 rad，約22.76°)，平行極化波的透射系數(shù)與垂直極化波的透射系數(shù)基本相等(相差<1%)，這時(shí)折射光的偏振化程度較低；當(dāng)入射角i較大時(shí)，平行極化波的透射系數(shù)明顯地大于垂直極化波的透射系數(shù)，折射光的偏振化程度提高.

(2)自然光以布儒斯特角iB入射，反射光的偏振化程度最高，但折射光的偏振化程度并不一定很高，而是與媒質(zhì)的折射率有關(guān).例如，自然光從空氣射向折射率n=1.5253的冕玻璃時(shí)，

iB=arctann=arctan1.5253=0.990488(rad)

(15)

這時(shí)的折射光是平行極化波略占優(yōu)勢(shì)的部分偏振光，偏振化程度很低；當(dāng)自然光從空氣射向折射率為n=2.0的紅鋯石時(shí)，

iB=arctann=arctan2.0=1.10828(rad)

這時(shí)折射光的偏振化程度則有所提高.這說明自然光以布儒斯特角iB入射，折射光的偏振化程度隨著媒質(zhì)折射率的增大而提高.因此，一些教科書[5]認(rèn)為“自然光以起偏角入射，反射光的偏振程度最高，折射光的偏振程度也最高”是不妥的.或在一些教科書[6]中忽略了折射率的影響，簡(jiǎn)單地認(rèn)為“自然光以起偏角入射，折射光的偏振化程度卻不高”的表述也是欠準(zhǔn)確的.

(3)由于

這表明折射光的偏振化程度雖然隨入射角i的增加而提高，但平行極化波的透射系數(shù)與垂直極化波的透射系數(shù)的比值不大于媒質(zhì)的折射率n. 例如，自然光從空氣射向折射率n=1.5253的冕玻璃，平行極化波與垂直極化波的比值不大于1.5253.而在一些教科書[7]中表示折射光偏振化程度的圖示往往夸大了平行極化波的成分.

表2列出了自然光從空氣射向n=1.5253的冕玻璃時(shí)，折射光中平行極化波與垂直極化波的比值為若干特殊值及其對(duì)應(yīng)的入射角，可供參考.

表 2

綜上所述，自然光反射、折射時(shí)的偏振態(tài)取決于平行極化波與垂直極化波的相對(duì)關(guān)系.了解這種相對(duì)關(guān)系隨入射角、折射率的變化規(guī)律，不僅可以對(duì)反射、折射時(shí)的偏振態(tài)有較清晰的認(rèn)識(shí)，而且在用作圖法表示偏振光時(shí)所繪圖示更為合理.

參 考 文 獻(xiàn)

[1]姚啓鈞.光學(xué)教程[M].北京:人民教育出版社，1981.281

[2]謝處方,饒克謹(jǐn).電磁場(chǎng)與電磁波[M].北京:電子工業(yè)出版社，1999.177

[3]張三慧.大學(xué)物理學(xué)(3)[M].北京:清華大學(xué)出版社，2000.223

[4]王靜,宋連科,等.自然光在多層介質(zhì)分界面上折射時(shí)的偏振度[J].大學(xué)物理，2006.4：36～38

[5]嚴(yán)導(dǎo)淦.物理學(xué)(下冊(cè))[M].北京:北京郵電大學(xué)出版社，2008.6.196

[6]趙近芳.大學(xué)物理學(xué)(下)[M].北京:清華大學(xué)出版社，2000.223

[7]程守洙,江之永.普通物理學(xué)(3)[M].北京:高等教育出版社，1998.251