●宋紅軍 (富陽中學(xué) 浙江富陽 311400) ●楊樟松 (衢州市第二中學(xué) 浙江衢州 324000)

構(gòu)造局部不等式解決一類不等式問題

●宋紅軍 (富陽中學(xué) 浙江富陽 311400) ●楊樟松 (衢州市第二中學(xué) 浙江衢州 324000)

不等式問題是中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)問題的基礎(chǔ)和重點(diǎn)，在解決有些不等式問題時(shí)，特別是一些分式不等式和根式不等式，從整體上考慮往往難以下手，可以構(gòu)造若干個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同的局部不等式來解決，只要局部不等式構(gòu)造好了，解決這些不等式問題就方便得多了.下面結(jié)合一些具體例題談?wù)勅绾卫镁植坎坏仁絹斫鉀Q問題.

首先看2個(gè)三元分式不等式問題，構(gòu)造局部不等式來解決這類問題非常有效，當(dāng)局部不等式構(gòu)造得好時(shí)，既簡(jiǎn)化計(jì)算又簡(jiǎn)捷明了.

分析這類三元分式不等式看起來很簡(jiǎn)單，通常都是構(gòu)造局部不等式來證明.思考此類問題時(shí)，總是想著將右邊的常數(shù)也寫成3個(gè)分式之和的形式，且相應(yīng)的每個(gè)分式比左邊的小，則問題就解決了.

例2設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)x，y，z滿足條件：x2+y2+z2=1，求代數(shù)式的取值范圍.

分析 這是一道IMO預(yù)選題的改編題，通常是在邊界點(diǎn)或是相等時(shí)取到取值范圍的最值，因此答案容易找到，但具體證明不太容易.初看可進(jìn)行三角變換來計(jì)算，若真這么做，計(jì)算量可就大了，原題解答是通過函數(shù)分析來計(jì)算的，也不容易.筆者發(fā)現(xiàn)通過找局部不等式來解答比較容易.

在處理根式不等式時(shí)，通常不能直接平方，從而計(jì)算量非常大.如果能找到局部不等式來處理，那么就簡(jiǎn)單多了.下面結(jié)合幾個(gè)具體例題來看局部不等式在含根式不等式中的應(yīng)用.

分析對(duì)于這種類型的不等式，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)常通過局部不等式進(jìn)行證明，該題的局部不等式比較容易找到.

構(gòu)造局部不等式證明不等式問題是一種常見的技巧，它常常能解決琴生不等式解決不了的問題，筆者希望本文能給讀者帶來一些啟發(fā).