●吳建山 (龍海市第二中學(xué) 福建龍海 363110)

一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的探究與發(fā)現(xiàn)

●吳建山 (龍海市第二中學(xué) 福建龍海 363110)

題目給定橢圓C：⊙O：x2+y2=b2，自橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P作⊙O的2條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m，n，證明

(2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題)

1 探索

試卷提供的解法較為繁瑣，且技巧性較高.其實(shí)，運(yùn)用“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想，容易得到本題的如下簡(jiǎn)潔證法.

圖1

證明如圖1，設(shè) P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則2條切線PM，PN的方程分別為

x1x+y1y=b2，x2x+y2y=b2.由點(diǎn)P在2條切線上，知

因此直線MN的方程為

2 發(fā)現(xiàn)

若對(duì)圖形作探究，不難發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，橢圓在點(diǎn)P處的切線與切點(diǎn)弦都作相應(yīng)變化，它們的斜率之間是否存在某種內(nèi)在聯(lián)系呢?由以上的證明可知，切點(diǎn)弦MN的斜率為而橢圓在點(diǎn)P處的切線方程為

3 拓展

將上述結(jié)論拓廣至橢圓與雙曲線，以及圓與雙曲線，可得如下有趣性質(zhì).

圖2

［1］林新建.“情侶圓錐曲線”的有趣性質(zhì)及其拓廣［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2010(7)：58-60.

［2］玉云化.共焦點(diǎn)的圓錐曲線的切線性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2009(3)：27-28.