俊1 拋物線“切點(diǎn)三角形”及其性質(zhì)過(guò)拋物線外一點(diǎn)P(x0,y0)作拋物線y=ax2+bx+c的兩條切線PA,PB,A,B為切點(diǎn)(如圖1),M為AB的中點(diǎn),連PM交拋物線于點(diǎn)N,稱△PAB為“切點(diǎn)三角形”,它具有如下性質(zhì):圖1性質(zhì)1“切點(diǎn)三角形”的一條中線平行拋物線的對(duì)稱軸l,即PM∥l.性質(zhì)2“切點(diǎn)三角形”的一條中線被拋物線平分,即PN=MN.這里f(x0)是當(dāng)x=x0時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的值f(x0)=ax02+bx0+c.圖22 拋

英語(yǔ)；課程思政；切點(diǎn)；維度《義務(wù)教育英語(yǔ)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》旗幟鮮明地指出：“英語(yǔ)課程要從代表學(xué)科核心素養(yǎng)的語(yǔ)言能力、思維品質(zhì)、文化意識(shí)和學(xué)習(xí)能力這四個(gè)維度出發(fā)，對(duì)學(xué)生展開(kāi)引導(dǎo)?！比欢谡n堂實(shí)施過(guò)程中，教師往往將關(guān)注點(diǎn)放在語(yǔ)言能力和學(xué)習(xí)能力的發(fā)展上，忽視了對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和文化意識(shí)的培養(yǎng)。顯然，這樣的教學(xué)引導(dǎo)形式背離了教育教學(xué)的初衷，無(wú)法真正達(dá)成立德樹(shù)人的目標(biāo)要求。教育是育人的過(guò)程，育人先育德。德育是“五育”之首，課堂是德育主陣地，也是落實(shí)課程思政教育理

)相切于兩點(diǎn),兩切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是a-p,且無(wú)其他公共點(diǎn).由此容易得到推論1 對(duì)于拋物線C:y2=2px(p>0)和動(dòng)圓M:(x-a)2+y2=r2,1. 若a≤p,則(1)r<|a|?拋物線C與動(dòng)圓M有0個(gè)公共點(diǎn);(2)r>|a|?拋物線C與動(dòng)圓M有2個(gè)公共點(diǎn)(均為非切點(diǎn)).2. 若a>p,則(2)r>a?拋物線C與動(dòng)圓M有2個(gè)公共點(diǎn)(均為非切點(diǎn));(3)r=a?拋物線C與動(dòng)圓M有3個(gè)公共點(diǎn)(1個(gè)切點(diǎn),即原點(diǎn),2個(gè)非切點(diǎn));類似地,有命題2 拋物線C:x2

零點(diǎn)效應(yīng)法”、“切點(diǎn)法”和“極值點(diǎn)法”等等,這幾類方法對(duì)某些問(wèn)題的解決確有奇效,但它們都未能將必要性探路探得“最精確”,未能探出充要條件.什么樣的必要條件才能探出充要條件? 本文對(duì)此作一些探討.二、基本問(wèn)題與思路基本問(wèn)題:已知f(x)是含參數(shù)a的可導(dǎo)函數(shù),若?x ∈[m,+∞),f(x)≥0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.基本思路:類比可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法,將所有可能影響函數(shù)圖象走勢(shì)的關(guān)鍵點(diǎn)找出來(lái),通過(guò)控制函數(shù)在這些點(diǎn)處的局部圖象走勢(shì),去控制函數(shù)圖象在整個(gè)區(qū)

題及其解法.一、切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題很多圓錐曲線問(wèn)題涉及了切點(diǎn)弦，切點(diǎn)弦有一些特殊的性質(zhì)和特征，我們需要熟練掌握.例如，（1）如果過(guò)圓錐曲線的準(zhǔn)線和長(zhǎng)軸所在直線的交點(diǎn)作圓錐曲線的切點(diǎn)，則切點(diǎn)弦長(zhǎng)正好與圓錐曲線的通徑相等；（2）過(guò)橢圓右準(zhǔn)線上任何一點(diǎn)，作橢圓的切線時(shí)，這個(gè)切點(diǎn)弦恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).在解答切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，我們可以靈活運(yùn)用切點(diǎn)弦的這些特殊性質(zhì)和特征來(lái)建立關(guān)系式，消去參數(shù)，進(jìn)而求得切點(diǎn)弦的方程，最后根據(jù)一元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解的性質(zhì)求得定點(diǎn)的坐標(biāo).

公切線與f(x)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=-1，可以從以下三個(gè)角度求參數(shù)a的值. 角度一，寫(xiě)出f(x)在x1=-1處的切線，可以選擇聯(lián)立切線方程與y=g(x)，借助Δ=0求a；也可以借助兩函數(shù)在兩切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值相等，建立x1=-1與x2的關(guān)系式，再由切點(diǎn)(x2,y2)同在切線與函數(shù)g(x)上，建立a的方程求a.角度二，設(shè)出g(x)在點(diǎn)(x2,y2)處的切線，先探究x1=-1與x2的關(guān)系，再由切點(diǎn)(-1,0)在切線上，建立關(guān)于a的方程求a.角度三，分別用f(x)

圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，如圖1所示.圓C猶如一輪圓月，直線l上任意點(diǎn)P猶如嫦娥上下翻飛，兩條切線猶如其伸出的雙臂，狀如飛天攬?jiān)碌臉?gòu)圖，給人以無(wú)窮遐想，我們將其界定為“嫦娥奔月”模型.圖12 探索“嫦娥奔月”模型“嫦娥奔月”模型本質(zhì)上就是直線與圓相離，它究竟能解決哪些問(wèn)題呢？我們以例題的形式，循序漸進(jìn)地帶領(lǐng)大家完成七大探究工程.2.1 切線長(zhǎng)的最小值問(wèn)題例1已知點(diǎn)P是直線l：x+3y-12=0上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓N：(x-2)2+y2=1的切線，切

線PA，PB，則切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.圖2如圖2，P(x0，y0)為圓C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的切線為l，則CP⊥l.設(shè)直線l：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)+c=0，又l過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，且點(diǎn)P(x0，y0)在圓C上，則(x0-a)2+(y0-b)2+c=0，所以c=-r2.故過(guò)圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線l的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)過(guò)圓外一

線PA，PB，則切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.圖2如圖2，P(x0，y0)為圓C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的切線為l，則CP⊥l.設(shè)直線l：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)+c=0，又l過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，且點(diǎn)P(x0，y0)在圓C上，則(x0-a)2+(y0-b)2+c=0，所以c=-r2.故過(guò)圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線l的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)過(guò)圓外一

度分界值（又稱“切點(diǎn)”）的標(biāo)準(zhǔn)。伴隨兒童活動(dòng)評(píng)級(jí)量表（Children’s Activity Rating Scale，CARS）的信效度得到廣泛認(rèn)可，相關(guān)研究開(kāi)始以CARS為工具建立切點(diǎn)，如以3～5歲兒童為被試建立的Sirard切點(diǎn)（Sirard et al.，2005）和以4～6歲兒童為被試建立的Cauwenberghe切點(diǎn)（Cauwenberghe et al.，2010）。雖然以量表為工具建立的切點(diǎn)生態(tài)效度較高，但其可能不夠客觀、準(zhǔn)確。因此，相關(guān)研

規(guī)思路為：先設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于x0的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根（此處可作兩條切線等價(jià)轉(zhuǎn)化方程有兩解），求得a的取值范圍.針對(duì)此題我們來(lái)進(jìn)一步探究求曲線y=f（x）的切線方程的類型及方法：1. 求切線方程的方法：一點(diǎn)一方向可確定一條直線，在求切線時(shí)可考慮先求出切線的斜率（切點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）與切點(diǎn)，在利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程.2. 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可求，則求切線方程的核心要素為切點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x0，因?yàn)閤0

.【思路分析】設(shè)切點(diǎn)P（t，et），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再利用切點(diǎn)在切線上且在已知函數(shù)的圖像上，可得關(guān)于t的方程，且該方程有兩個(gè)不同的解，最后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性，從而作出新函數(shù)的大致圖像，即可得出正確的結(jié)論.【解法一】設(shè)過(guò)點(diǎn)（a，b）與曲線y=ex相切點(diǎn)P（t，et），對(duì)函數(shù)y=ex求導(dǎo)，得y′=ex，所以，曲線y=ex在點(diǎn)P處的切線方程為y-et=et（x-t），即y=etx（1-t

點(diǎn)——區(qū)間端點(diǎn)和切點(diǎn)先確定參數(shù)的范圍，然后再證明命題成立.關(guān)鍵詞：區(qū)間端點(diǎn);切點(diǎn);恒成立中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2021）22-0045-02收稿日期：2021-05-05作者簡(jiǎn)介：劉明遠(yuǎn)（1977-），男，河北省唐山人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.“不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題”一直活躍在各級(jí)考試之中，尤其是高考題中尤為常見(jiàn).因?yàn)檫@類題目綜合性強(qiáng)，難度大，能力要求高，很多學(xué)

圓.旁切圓的三個(gè)切點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為這個(gè)旁切圓的切點(diǎn)三角形.四邊形的內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)構(gòu)成的四邊形稱為切點(diǎn)四邊形.設(shè)四個(gè)旁切圓半徑依次是r1，r2，r3，r4，相對(duì)應(yīng)的四個(gè)切點(diǎn)三角形面積依次為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切圓半徑為r，切點(diǎn)四邊形面積為S，則有如下性質(zhì)：為了證明上面這個(gè)性質(zhì)，首先證明一個(gè)引理.圖2圖3為了證明上面的引理，先給出并證明下面幾個(gè)結(jié)論.結(jié)論1 如圖3，兩個(gè)切點(diǎn)三角形分別是△DEF和△GHK，則有∠EDF+∠HGK=180°.當(dāng)然也有s

歷史 主體參與 切點(diǎn) 視角【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】0450-9889（2021）34-0106-02高中歷史課程在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注重多樣性與專業(yè)性、廣泛性與針對(duì)性相融合的原則，施教時(shí)應(yīng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和發(fā)展需要，采用多元教學(xué)手段，提升學(xué)生人文素養(yǎng)。同時(shí)，凸顯學(xué)生的主體地位已經(jīng)成為教學(xué)的必然要求。教師根據(jù)學(xué)科屬性設(shè)計(jì)趣味化的學(xué)習(xí)形式，為學(xué)生創(chuàng)造多重參與機(jī)會(huì)，讓他們?cè)诙嘀馗惺?、體驗(yàn)中完成交流互動(dòng)，找到學(xué)習(xí)的方向和樂(lè)趣，培養(yǎng)健康的情感和正確的人

三方程”,即抓住切點(diǎn)及以下三個(gè)方程:切點(diǎn)在曲線上,切點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線方程;切點(diǎn)在切線上,切點(diǎn)坐標(biāo)滿足切線方程;曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線方程的斜率.本文從以下幾方面介紹一點(diǎn)三方程法解決涉及曲線切線的有關(guān)問(wèn)題,通過(guò)明確示范,進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．二、直線與二次曲線相切的問(wèn)題直線與二次曲線相切,通常只需將直線與二次曲線方程聯(lián)立,通過(guò)一元二次方程有唯一解,由判別式為零來(lái)獲得切點(diǎn)等信息,從而求出切線方程.由對(duì)數(shù)均值不等式知上式顯然成立.綜上，x1x2>e2成

在不在曲線上而是切點(diǎn)，從此核心要素出發(fā)，將切線問(wèn)題的解決方法進(jìn)行統(tǒng)一?！娟P(guān)鍵詞】曲線的切線方程;求解策略【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711（2020）24-091-01【評(píng)注】此題中沒(méi)有給出切點(diǎn)，而且是兩曲線的公切線問(wèn)題，難度較大，考查了切線的本質(zhì)，利用圖1的方法通過(guò)設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)，建立方程組可輕松破解。切點(diǎn)是切線與曲線的交集，是整個(gè)問(wèn)題的核心，無(wú)論題中有沒(méi)有給出切點(diǎn)，都應(yīng)該從切點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)切點(diǎn)產(chǎn)生的兩個(gè)要素：斜率和公共點(diǎn)

橢圓的兩條切線，切點(diǎn)弦直線方程例2：已知點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓外一點(diǎn)，過(guò)P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，求過(guò)兩切點(diǎn)A，B的直線方程。解：設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則點(diǎn)A，B都在直線上，∴此直線為切點(diǎn)弦AB所在的直線方程?！镜湫屠}】過(guò)橢圓3x2+4y2=12上的點(diǎn)P（1，）作橢圓的切線，求這條切線方程。二、雙曲線的切線問(wèn)題過(guò)雙曲線上一定點(diǎn)作雙曲線的切線方程與過(guò)雙曲線外的一點(diǎn)作雙曲線的兩條切線的切線弦。1.過(guò)雙曲

樣。其中拋物線的切點(diǎn)弦問(wèn)題是備考研究的熱點(diǎn)課題之一。一，拋物線切點(diǎn)弦所在直線方程的求法總結(jié)：利用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，以及曲線與方程的概念，能輕松巧妙地求出切點(diǎn)弦所在直線方程。從這一過(guò)程，我們還可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，拋物線的切點(diǎn)弦所在直線方程與拋物線方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：有意思的是，當(dāng)點(diǎn)P （x0，y0）在圓錐曲線C上時(shí)，將曲線C的方程作上述變換所得的直線方程正是曲線C在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程（如方程①，②）。二，拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的切點(diǎn)弦性質(zhì)例2（201

共線)M作切線,切點(diǎn)P,則|F1M|·|F2M|=|PF1|·|PF2|+|MP|2.在文[2]中,筆者給出了橢圓、雙曲線切線的另一性質(zhì)：結(jié)論1 過(guò)橢圓=1(a＞0,b＞0)外一點(diǎn)P(x0,y0)作該橢圓的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,則△PAB的面積為結(jié)論2 過(guò)雙曲線外一點(diǎn)P(x0,y0)作該雙曲線的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,則△PAB的面積為筆者閱讀文[1]、文[2]后,對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C和結(jié)論的優(yōu)美倍感佩服,并深受啟發(fā),結(jié)合這兩者作進(jìn)一步研究,又得出了

(鋼珠)外切，則切點(diǎn)共圓.若兩定圓內(nèi)含但不同心，一系列圓分別與大小定圓內(nèi)切外切，若這些相鄰的圓外切，則切點(diǎn)亦共圓.若兩定圓外離，一系列圓(稱其動(dòng)圓)分別與兩定圓均外切，且這一系列圓中兩相鄰的圓外切，問(wèn)這些切點(diǎn)在何曲線上？可求曲線的方程.第一位正確解答者將獲得獎(jiǎng)金100元.擂題提供與解答請(qǐng)電郵至guoyaohong1108@163.com，解答認(rèn)定時(shí)間以電子郵件時(shí)間為準(zhǔn). 歡迎廣大讀者踴躍提供擂題.

,三角形內(nèi)切圓的切點(diǎn)三角形的垂心H,九點(diǎn)圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點(diǎn)共線,進(jìn)一步研究表明：雙心圓彭賽列三角形閉合變換時(shí),六心線恒定不變(如圖1),如此巧妙幾何特性值得研究.圖1二、切點(diǎn)三角形的六心共線性質(zhì)簡(jiǎn)證三角形內(nèi)切圓的三個(gè)切點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)新三角形被定義為切點(diǎn)三角形,研究發(fā)現(xiàn),三角形的切點(diǎn)三角形的垂心H,九點(diǎn)圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點(diǎn)共線.證明如下：引理1(歐拉線)三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、

審美、文化等四個(gè)切點(diǎn)展開(kāi)，探索了提升初中生語(yǔ)文核心素養(yǎng)的有效途徑和方法。關(guān)鍵詞：初中生；語(yǔ)文；核心素養(yǎng)；切點(diǎn)中圖分類號(hào)：G633.3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）17-011-1初中學(xué)生在核心素養(yǎng)提升方面，我們要追求這種境界：語(yǔ)言建構(gòu)與運(yùn)用完善靈活，思維發(fā)展與提升自由灑脫，審美鑒賞與創(chuàng)造雋永深邃，文化理解與傳承清晰自然。實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)雖然困難，但培養(yǎng)初中生這些核心素養(yǎng)是我們初中語(yǔ)文教學(xué)的方向和追求。在教學(xué)實(shí)踐中，從打開(kāi)以下四個(gè)切點(diǎn)，

詞】 閱讀教學(xué) 切點(diǎn) 優(yōu)化設(shè)計(jì)隨著新課改的實(shí)行，社會(huì)和家長(zhǎng)越來(lái)越重視培養(yǎng)小學(xué)生的綜合素質(zhì)，因此很多小學(xué)教師都在探索新的教學(xué)方式。小學(xué)語(yǔ)文的閱讀教學(xué)也變得越來(lái)越多樣化，雖然教師能夠選擇的教學(xué)方法有很多，但是每個(gè)教學(xué)方法都繞不開(kāi)如何進(jìn)行切入的問(wèn)題。教師要根據(jù)講授的課文的實(shí)際情況，選擇不同的教學(xué)切入方式，同時(shí)，合理選擇教輔工具能夠有效提高教學(xué)效果。因此，本文介紹了幾種在小學(xué)閱讀教學(xué)當(dāng)中常用的切入方法，并介紹了這些方法的使用情境，以供參考。一、背景切入背景切入是一

圓錐曲線的切線、切點(diǎn)弦有關(guān)，下面就探討這一類問(wèn)題的解法.我們知道：過(guò)圓x2+y2=r2（r＞0）上任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2，從圓x2+y2=r2（r＞0）外任意一點(diǎn)P（x0，y0）作圓的切線，切點(diǎn)弦方程為x0x+y0y=r2，兩者形式一點(diǎn)P（x0，y0）作橢圓的切線所得切點(diǎn)弦方程，兩者皆為意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程，與從雙曲b＞0）外任意一點(diǎn)P（x0，y0）作雙曲線的切線所得切點(diǎn)弦方拋物線y2=2px（p＞0）上任意一

媒體；品德教學(xué)；切點(diǎn)新課程背景下的品德課教學(xué)內(nèi)容，凸顯了兒童生命本體的回歸，以兒童自己的眼光看待事物，把兒童對(duì)生活的熱愛(ài)與追求，從小植根于他們的內(nèi)心世界，來(lái)影響他們的心靈。多媒體教學(xué)具有直觀、形象、聲像并茂、活動(dòng)變化的特點(diǎn)，對(duì)兒童有很大吸引力和感染力，容易引起他們對(duì)道德情境、道德形象具體而真切的感知，導(dǎo)致對(duì)道德情感的體驗(yàn)，對(duì)道德概念的理解，對(duì)行為規(guī)范的認(rèn)同。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，巧妙利用多媒體，結(jié)合兒童的需求，用兒童自己喜歡的各種方式開(kāi)展教學(xué)，能使教學(xué)事半功倍。兒

的一點(diǎn)，則以P為切點(diǎn)的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)．當(dāng)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線定義知，切線方程為x=x0．下面例析幾種常見(jiàn)的類型及解法.類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程題目中點(diǎn)明切點(diǎn)，只需求出切線的斜率,并代入點(diǎn)斜式方程即可．A.x-y-2=0 B.x+y-2=0C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0分析求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程．可得在點(diǎn)(1，1)

應(yīng)用.【關(guān)鍵詞】切點(diǎn)；切線；切線方程；曲線直線和曲線的位置關(guān)系既是高考的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，而直線與曲線的相切是一種非常重要的位置關(guān)系，本文介紹了這一類切線問(wèn)題具有的共同結(jié)論并用高中知識(shí)加以證明，希望能給大家的學(xué)習(xí)提供一些幫助.結(jié)論1經(jīng)過(guò)圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2上一點(diǎn)p（x0，y0）的切線l方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.證明若切線l的斜率存在且不為0，kcp=y0-b1x0-a，kl=-x0-a1y0-b，所以切線l的

韋興洲?圓錐曲線切點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程■廣西恭城縣恭城中學(xué)韋興洲一、問(wèn)題探索若自平面內(nèi)一點(diǎn)引圓錐曲線的兩條切線，則連接切點(diǎn)的線段稱為切點(diǎn)弦.設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）為曲線Γ1：f（x，y）=0上的動(dòng)點(diǎn).問(wèn)題1：若過(guò)點(diǎn)M可以作圓錐曲線Γ2的兩條切線，則點(diǎn)M的位置如何？問(wèn)題2：若過(guò)點(diǎn)M可以作圓錐曲線Γ2的兩條切線，則切點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程如何？筆者通過(guò)對(duì)上述兩個(gè)問(wèn)題的探究，獲得公式化結(jié)論如下表：曲線類型　曲線方程　點(diǎn)M的位置切點(diǎn)弦所在直線的方程切點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程橢圓

曲面； 切線； 切點(diǎn)； 平面1引言2014年3月第五屆中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽(數(shù)學(xué)類)試題一如下：該結(jié)論其實(shí)可以推廣至一般二次曲面.2推廣考慮一般的二次曲面SAx2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0.(1)曲面外一固定點(diǎn)P(x0,y0,z0)，設(shè)過(guò)定點(diǎn)P的曲面S的切線的方向向量為τ=(u,v,w),則切點(diǎn)Q(X,Y,Z)的坐標(biāo)可表示為切點(diǎn)坐標(biāo)需滿足方程(1)，則有A(x0+tu)2+B(y0+tv)2+C(z0+tw)2+D

一中圓錐曲線中的切點(diǎn)弦方程陳紅明湖北隨州一中過(guò)平面上一點(diǎn)如果可以作出某圓錐曲線的兩條切線，連接兩個(gè)切點(diǎn)即為此圓錐曲線的切點(diǎn)弦（若為雙曲線，需對(duì)其同一支作兩條切線）。設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），過(guò)點(diǎn)P作出的切線分別為PA、PB，設(shè)切點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），則如何求出切點(diǎn)弦AB所在的直線的方程呢？下面作一簡(jiǎn)單的歸納和總結(jié)。（一）圓的切點(diǎn)弦的方程設(shè)圓C（C為圓心）的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2即為(y-y1)(y1-b)+(x1-a)(x-x1

740)也談曲線切點(diǎn)弦的處理方法●吳斌 王懷明(會(huì)宮中學(xué)安徽樅陽(yáng)246740)文獻(xiàn)［1］由一道測(cè)試題提出一個(gè)問(wèn)題:過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的2條切線，如何求2個(gè)切點(diǎn)所在直線的方程?然后通過(guò)對(duì)大綱版教材和人教A版教材處理方法的比較，得出結(jié)論:大綱版教材的處理方法(即下面的解法1，筆者注)“求解思維轉(zhuǎn)彎多，且對(duì)圓的一般位置需要另行推理，這對(duì)學(xué)生而言，有一定的困難”;人教A版教材的處理方法(即下面的解法2，筆者注)“優(yōu)于大綱版教材，主要表現(xiàn)在計(jì)算快、轉(zhuǎn)化少，突出圓的地位而

切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：直線AB 恒過(guò)定點(diǎn)。學(xué)生的解法： ∵PA，PB是圓C的兩條切線， ∵OA⊥AP，OB⊥BP。 ∵A，B在以O(shè)P為直徑的圓上。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，b），b∈R，則線段OP的中點(diǎn)Q坐標(biāo)為4，?！嘁設(shè)P 為直徑的圓Q方程為（x-4）2+y-2=42+2，b∈R?；?jiǎn)得：x2+y2-8x-by=0，b∈R?！逜B為圓Q和圓C的公共弦， ∴直線AB的方程為8x+by=16，b∈R，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（2，0） 。這個(gè)解法是我們平

圓結(jié)構(gòu)模型，根據(jù)切點(diǎn)位置不同，做出不同的路線選擇.關(guān)鍵詞： 障礙 路徑 切點(diǎn)下圖1.5是一個(gè)800×800的平面場(chǎng)景圖，在原點(diǎn)O（0，0）點(diǎn)處有一個(gè)機(jī)器人，它只能在該平面場(chǎng)景范圍內(nèi)活動(dòng).圖中有12個(gè)不同形狀的區(qū)域是機(jī)器人不能與之發(fā)生碰撞的障礙物，障礙物的數(shù)學(xué)描述如下表：在平面場(chǎng)景中，障礙物外指定一點(diǎn)為機(jī)器人要到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)（要求目標(biāo)點(diǎn)與障礙物的距離至少超過(guò)10個(gè)單位），為此，需要確定機(jī)器人的最優(yōu)行走路線——由直線段和圓弧線段組成的光滑曲線，其中圓弧線段是機(jī)器

32000)關(guān)于切點(diǎn)三角形與切邊三角形性質(zhì)的初探●胡文生 (磨溪中學(xué) 江西德安 332000)筆者研讀了本刊2015年第3期尚品山老師的文章［1］后，深受啟發(fā)，也試探研究了另一種三角形的性質(zhì):切邊三角形的性質(zhì)，并結(jié)合切點(diǎn)三角形的特點(diǎn)進(jìn)行了初探，結(jié)果同樣發(fā)現(xiàn)了一些有趣的性質(zhì).1 關(guān)于切邊三角形的幾個(gè)性質(zhì)所謂切邊三角形，就是過(guò)△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)分別作3條直線與該頂點(diǎn)所在的外接圓半徑垂直，3條直線相交而成的三角形(如圖1).下面分別介紹它的幾個(gè)性質(zhì).為了下面敘述

論和實(shí)踐表明，上切點(diǎn)以上的管柱對(duì)下部鉆具組合的受力變形影響很小[1]。因此，為了提高計(jì)算速度，可以忽略上切點(diǎn)以上管柱對(duì)井眼軌跡控制的影響。關(guān)于上切點(diǎn)處的邊界條件，國(guó)內(nèi)學(xué)者曾進(jìn)行過(guò)討論[2-3]。目前看來(lái)，在以往的下部鉆具組合靜力學(xué)分析中，都是假設(shè)上切點(diǎn)處于井眼的底邊[4-7]。然而，筆者經(jīng)過(guò)大量的計(jì)算發(fā)現(xiàn)，這種假設(shè)條件即使是在二維問(wèn)題的力學(xué)分析中也不完全適用，例如當(dāng)鉆頭處井斜角比較小、井眼的井斜變化率很大時(shí)，下部鉆具組合的上切點(diǎn)將有可能處于井眼的高邊。迄今

技術(shù)教學(xué)中尋找‘切點(diǎn)”問(wèn)題進(jìn)行了一點(diǎn)思考，從而對(duì)信息技術(shù)的教學(xué)模式、信息技術(shù)課的教材和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力等幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了反思。關(guān)鍵詞：切點(diǎn)；高中信息技術(shù)課；信息教育；魅力中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）12-326-01開(kāi)學(xué)第一節(jié)，我問(wèn)學(xué)生腦子里對(duì)信息技術(shù)課是怎樣的一個(gè)印象，不止一位學(xué)生回答：如果上信息技術(shù)課不給上網(wǎng)不給他們QQ、聊天和玩游戲那就干脆不上的好！——理直氣壯！這或許還說(shuō)出了許多同學(xué)的心聲。不可否認(rèn)，

的切線問(wèn)題，確定切點(diǎn)坐標(biāo)是上述問(wèn)題的關(guān)鍵.而確定切點(diǎn)可利用切點(diǎn)滿足的三個(gè)條件：切點(diǎn)在函數(shù)曲線上，切點(diǎn)在切線上以及切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是切線斜率.二、切線條數(shù)問(wèn)題這個(gè)極限式屬于大學(xué)內(nèi)容，高中沒(méi)有涉及.若用高中常規(guī)方法需移項(xiàng)，研究含參的整體函數(shù)的最小值相當(dāng)麻煩，若考慮用切線這個(gè)臨界位置，則相當(dāng)簡(jiǎn)便.至此，筆者總結(jié)了切線問(wèn)題的4個(gè)類型.從這些類型中可以發(fā)現(xiàn)，確定切點(diǎn)坐標(biāo)是問(wèn)題的關(guān)鍵.只要把握好這個(gè)關(guān)鍵，多思考，多總結(jié)，就可以很好地處理切線問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)切線問(wèn)題的實(shí)質(zhì).

根切的過(guò)程中，根切點(diǎn)的位置非常重要，因?yàn)樗怯绊扆X輪漸開(kāi)線長(zhǎng)度和齒根彎曲強(qiáng)度的重要因素。因此，研究根切點(diǎn)的形成和根切點(diǎn)位置具有重要的意義。本文基于滾齒切削原理，通過(guò)推導(dǎo)被加工齒輪的根切部分的齒形曲線方程，對(duì)采用不同類型的滾刀在滾切中產(chǎn)生的根切點(diǎn)的形成情況進(jìn)行了分析，并利用AutoCAD的二次開(kāi)發(fā)功能，精確地得到了各種根切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而非常簡(jiǎn)便地求解出根切點(diǎn)所在圓直徑。1 凸角型滾刀的齒形建模凸角型滾刀與普通滾刀齒形相比，只是在齒側(cè)與齒頂間增加了凸角部分[4

曲線的兩切線，兩切點(diǎn)所連線段叫做點(diǎn)P0關(guān)于此曲線的切點(diǎn)弦.可得以下結(jié)論：曲線名稱 曲線方程 切點(diǎn)弦方程 點(diǎn)P0位置圓 x2+y2=r2 x0x+y0y=r2 x02+y02＞r2橢圓 x2 a 2＞1雙曲線 x2 a 2+y2 b2=1（a＞b＞0） x0x b a2+y0yb2=1 x02 2-y2 2-y0y b a2+y02 b 2=1（a＞0,b＞0） x0x a 2＜1拋物線 y2=2px（p＞0） y0y=p（x+x0） y02＞2px02=1

一個(gè)重要的點(diǎn)——切點(diǎn)。把握好切點(diǎn)的特征，能夠成為解題的突破點(diǎn)。一、什么是切點(diǎn)幾何學(xué)上定義：兩條光滑曲線交于一點(diǎn)，使得它們?cè)谠擖c(diǎn)處的切線方向相同，則稱兩條曲線相切，該交點(diǎn)為切點(diǎn)。晨昏圈與緯線圈都是圓形，二者有三種位置關(guān)系：相交、相切和相離。如果晨昏圈與某一緯線只有一個(gè)交點(diǎn)，那么二者就是相切的關(guān)系，這個(gè)交點(diǎn)就是切點(diǎn)。除春秋分外，晨昏圈與兩條緯線同時(shí)相切，那么同時(shí)存在兩個(gè)切點(diǎn)，一個(gè)在南半球，一個(gè)在北半球。例如，圖1中的A、B兩點(diǎn)就是切點(diǎn)。圖1 在太陽(yáng)光照?qǐng)D中，抓

圓與拋物線有2個(gè)切點(diǎn)，如圖3所示.圖2圖3受杯中球問(wèn)題的啟發(fā)，筆者也對(duì)橢圓和雙曲線進(jìn)行了類似的探究，橫向拓展得出了以下結(jié)論.(1)當(dāng)m∈(-a,-ce]∪[ce,a)時(shí)，點(diǎn)M到橢圓的最短距離為a-|m|；證明設(shè)P(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則|MP|2=(x-m)2+y2=e2x2-2mx+m2+b2=故當(dāng)m∈(-a,-ce]∪[ce,a)時(shí)，|MP|min=a-|m|.(1)當(dāng)m∈(-a,-ce]∪[ce,a)時(shí)，圓與橢圓有唯一切點(diǎn)，且切點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸的端

直線與這個(gè)圓有過(guò)切點(diǎn)嗎？也就是說(shuō)，我的想法與行為對(duì)父母的關(guān)愛(ài)有過(guò)類似切點(diǎn)一般的接觸嗎？他們給了我整個(gè)圓，而我卻沒(méi)能還他們一個(gè)交點(diǎn)，我陷入了深深的反思之中。這條直線應(yīng)該向這個(gè)圓靠近的呀。以前的日子里，這個(gè)圓總是不斷地延伸著自己的半徑，試圖保護(hù)這條飛速延長(zhǎng)的直線，以免因我的魯莽、幼稚、單純和無(wú)知造成對(duì)我自己的傷害，而我卻似乎沒(méi)有用心的拿出哪怕是一點(diǎn)點(diǎn)的時(shí)間和這個(gè)無(wú)限增大的圓親密接觸。在后來(lái)的日子里，每天出門，我的臉上多了一絲笑容，那句“走了啊——”總是帶著暖暖

曲線的兩條切線，切點(diǎn)間的連線段稱為切點(diǎn)弦.2005、2008年江西省高考解析幾何試題都涉及到切點(diǎn)弦，筆者對(duì)圓錐曲線的切點(diǎn)弦作了以下探究.一、切點(diǎn)弦所在直線的方程關(guān)于二次曲線的切線，有以下結(jié)論引理 過(guò)二次曲線ax2+by2+cx+dy+e=0(a,b不全為零)上一點(diǎn)(x0,y0)的切線，只要把曲線方程中x2,y2,x,y分別替換成x0x,y0y,x0+x2,y0+y2得到的就是切線的方程.定理1 過(guò)二次曲線ax2+by2+cx+dy+e=0(a,b不全為零)

引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，|AB|=410，求此時(shí)拋物線的方程；圖1（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線x2=2py(p>0)上，其中，點(diǎn)C滿足OC=OA+OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：略此題的背景涉及到了拋物線及其切線，本文就此做了深入研究，現(xiàn)將研究成果整理成文，以饗讀者.定理1