李秀元

(湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 435400)

2020年12月17日，嫦娥五號(hào)返回器攜月球樣品順利安全著陸，標(biāo)志著我國探月工程取得了階段性勝利，為進(jìn)一步求索寰宇開創(chuàng)了新的篇章.在“圓與方程”一章里，有一道精典習(xí)題，構(gòu)圖形如“嫦娥奔月”完美結(jié)構(gòu)，讓我們也有了在紙上對(duì)圓一探究竟的沖動(dòng).

1 “嫦娥奔月”模型

已知直線l與圓C相離，過直線l上任意一點(diǎn)P，作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，如圖1所示.圓C猶如一輪圓月，直線l上任意點(diǎn)P猶如嫦娥上下翻飛，兩條切線猶如其伸出的雙臂，狀如飛天攬?jiān)碌臉?gòu)圖，給人以無窮遐想，我們將其界定為“嫦娥奔月”模型.

圖1

2 探索“嫦娥奔月”模型

“嫦娥奔月”模型本質(zhì)上就是直線與圓相離，它究竟能解決哪些問題呢？我們以例題的形式，循序漸進(jìn)地帶領(lǐng)大家完成七大探究工程.

2.1 切線長(zhǎng)的最小值問題

例1已知點(diǎn)P是直線l：x+3y-12=0上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓N：(x-2)2+y2=1的切線，切點(diǎn)為A，求切線段|PA|的最小值.

分析由于直線l與圓N相離，點(diǎn)P移動(dòng)切點(diǎn)A隨之移動(dòng)，感覺當(dāng)點(diǎn)P離圓N最近時(shí)，所作切線取得最小值.將這種感覺數(shù)量化，實(shí)質(zhì)上就是將兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)間的距離，動(dòng)中取定，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)常見最值問題.

圖2

所以切線段|PA|的最小值為3.

小結(jié)借助勾股定理，利用定圓半徑，將兩動(dòng)點(diǎn)間的距離轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)(圓心)與直線上動(dòng)點(diǎn)間的距離，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式，完成計(jì)算.

2.2 切點(diǎn)四邊形面積的最小值問題

我們把圓外一點(diǎn)、兩個(gè)切點(diǎn)及圓心這4點(diǎn)圍成的四邊形稱為切點(diǎn)四邊形.

例2已知圓M：x2+(y-2)2=1，直線l：x-3y=0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，如圖3.

圖3

(1)若∠APB=60°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)求四邊形PAMB面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x-3y=0上，設(shè)P(3m,m).

(1)由已知，得圓心M(0,2)，半徑r=1.

又∠APB=60°，所以|MP|=2|MA|=2.

(2)顯然，四邊形PAMB面積等于Rt△PAM面積的2倍，即|PA|×|AM|.因此，當(dāng)|PA|取最小值時(shí)，四邊形PAMB面積最小.

因?yàn)镻A2=PM2-MA2=PM2-1，

所以當(dāng)|PM|最小時(shí)，|PA|取最小值.

2.3 切點(diǎn)弦的最小值問題

連接圓的兩個(gè)切點(diǎn)所得線段稱為圓的切點(diǎn)弦.

例3若點(diǎn)P為直線x-y+4=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)P引圓C：x2+y2-4x=0的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)為M，N，求弦|MN|的最小值.

分析點(diǎn)P離圓C由遠(yuǎn)及近，又由近及遠(yuǎn)，點(diǎn)P對(duì)圓C的張角，隨點(diǎn)P的移動(dòng)先增大后減小，猜測(cè)當(dāng)點(diǎn)P離圓C最近時(shí)，切點(diǎn)弦最短.

解析由x2+y2-4x=0，得(x-2)2+y2=4.

從而C(2,0).如圖4，連接PC，則PC⊥MN，且PC平分MN，設(shè)交點(diǎn)為Q.

圖4

要使|MN|最小，則|MQ|也最小.

由直角三角射影定理，得MC2=|CQ|×|CP|.

可以看到，圓的切點(diǎn)四邊形面積和切點(diǎn)弦長(zhǎng)度問題最終都轉(zhuǎn)化為圓的切線長(zhǎng)問題，且當(dāng)圓心與點(diǎn)P的連線垂直于直線時(shí)，分別取得最小值.

2.4 定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦方程問題

例4 已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為____.

分析如圖5所示，顯然有PM⊥AB，因此|PM|·|AB|表示四邊形PAMB的面積，也即△PAM面積的2倍.要使△PAM面積最小，則|PA|需取得最小值，由例2可知，此時(shí)PM⊥l，只需要求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

圖5

即點(diǎn)P坐標(biāo)為(-1,0).

以PM為直徑的圓的方程為(x+1)(x-1)+y(y-1)=0.即x2+y2-y-1=0.

即直線AB的方程為2x+y+1=0.

歸納一般地，點(diǎn)P(x0,y0)為圓(x-a)2+(y-b)2=r2外一點(diǎn)，則過點(diǎn)P所作切線，切點(diǎn)弦方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.

2.5 定直線上動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題

(1)若直線l與圓C相交，求k的取值范圍；

(2)若k=1，點(diǎn)P是直線l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，證明：直線MN恒過定點(diǎn).

又點(diǎn)P(x0,y0)在直線y=x-1上，故y0=x0-1.

2.6 定直線上動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程

例6 已知A(-4,0)，B(0,4)，圓O：x2+y2=4.過直線AB上任一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為C,D，M為線段CD的中點(diǎn)，求|AM|的最大值.

分析要求|AM|的最大值，先得知道動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么圖形，這樣才能將兩點(diǎn)間的距離問題轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)與定曲線上動(dòng)點(diǎn)間的距離.

解析設(shè)M(x,y)，直線AB的方程為y=x+4，由例5知，直線CD恒過定點(diǎn)N(-1,1).

如圖6，顯然有OM⊥CD，即OM⊥MN.

圖6

2.7 定直線上動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)四邊形外接圓過定點(diǎn)問題

例7已知圓M：x2+(y-2)2=1，點(diǎn)P是直線l：x+2y=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB，切點(diǎn)為A,B.

(2)若△PAM的外接圓為圓N，試問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過除點(diǎn)M外的定點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2)設(shè)P(-2b,b)，△PAM的外接圓N是以PM為直徑的圓，其方程為

整理,得(2x-y+2)b+(x2+y2-2)=0.

圖7