王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校 236652)

由豎直平面內(nèi)圓周的最頂端(即該圓豎直直徑的上端點(diǎn))，從靜止開始沿各個傾角不同光滑斜面自由下滑的物體，滑行到斜面與圓另一個交點(diǎn)所用的時間相等，都等于物體從圓周的最頂端開始作初速度為零的自由落體運(yùn)動過程中，自由下落這個圓直徑高度所用的時間，該圓被稱之為等時圓.在求解與物體沿光滑斜面(或光滑細(xì)桿)自由下滑時間有關(guān)的問題時，通過添加輔助等時圓的方法進(jìn)行求解，往往可以起到事半功倍的作用.

例1 如圖1所示，斜面OB與水平面OA的夾角為α，C是斜面上的一點(diǎn)，P是過C點(diǎn)豎直線上C上方的一點(diǎn)，PC=h，某光滑細(xì)桿PE過P點(diǎn)，其底端放在斜面上，一小環(huán)套在細(xì)桿上由P點(diǎn)靜止釋放，求小環(huán)沿光滑細(xì)桿滑落到斜面的最短時間？

圖1 圖2

我們先用解析法對該問題進(jìn)行求解.

因?yàn)樾…h(huán)在光滑細(xì)桿上下滑過程中的加速度為gcosθ，所以，小環(huán)在光滑細(xì)桿上由P點(diǎn)靜止釋放，下滑到斜面上的E點(diǎn)所用時間的平方t2為：

將t2視為θ的函數(shù)并對θ進(jìn)行求導(dǎo)可得：

再用增添輔助等時圓的方法對例題1給出的問題進(jìn)行求解.

解法二如圖3所示，作過點(diǎn)P、圓心在豎直線PC上并且和OB相切的圓⊙I，設(shè)切點(diǎn)為H，顯然，滿足條件的圓不僅存在，而且是唯一的.圖3中，OB上除了H點(diǎn)之外的其余所有各點(diǎn)都在⊙I外，以圖3中的E點(diǎn)為其余各點(diǎn)的代表進(jìn)行分析.由等時圓的性質(zhì)可知，小環(huán)分別沿光滑細(xì)桿PE和PH由P點(diǎn)靜止釋放自由滑行時，在細(xì)桿PG段滑行的時間與在細(xì)桿PH段滑行的時間相等，所以，小環(huán)在細(xì)桿PH段滑行的時間一定小于它在細(xì)桿PE段滑行所用的時間，因此，在過P點(diǎn)傾角不同的各細(xì)桿中，小環(huán)唯有沿過切點(diǎn)H的細(xì)桿滑行所用的時間最短.

圖3

比較以上兩種不同的解法可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用解析法求解問題的答案時，解題過程冗長繁雜，解答過程的大部分內(nèi)容是數(shù)學(xué)推理，顯得晦澀難懂，而運(yùn)用增添輔助等時圓的方法，求解小環(huán)沿光滑細(xì)桿滑行的最短時間，物理味道十足，解題過程直觀易懂，簡單明了.

我們再看將上面例題1物理情景中的直斜面更改為曲面之后，能否再用類似的方法來進(jìn)行求解.

例2 如圖4所示，半徑為25m的圓環(huán)圓心為O，放在水平地面上，圓環(huán)所在的平面豎直，P點(diǎn)是圓環(huán)平面內(nèi)的一點(diǎn)，它到該圓豎直直徑和水平地面的距離分別為8m和34m，足夠長的光滑細(xì)桿一端固定在P點(diǎn)，并且可以在圓環(huán)所在的豎直平面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，一小環(huán)套在細(xì)桿上由P點(diǎn)靜止釋放，求小環(huán)沿細(xì)桿滑到圓環(huán)上需要的最短時間？(取g=10m/s2)

圖4 圖5

分析如圖5所示，作過點(diǎn)P、圓心在過P點(diǎn)的豎直線PD上，并且與⊙O相內(nèi)切的⊙I，設(shè)切點(diǎn)為F，PM是過點(diǎn)P的另外一條往右下方傾斜的任意線段(M點(diǎn)在⊙O的圓周上)，交⊙I于N，將PM和PF分別視為光滑細(xì)桿，由等時圓的性質(zhì)可知，小環(huán)分別在兩個光滑細(xì)桿上的PN段和PF段滑行的時間相等，都等于小環(huán)從P開始作自由落體運(yùn)動PG距離(即⊙I的直徑)所用的時間，所以，小環(huán)在兩細(xì)桿上由P分別滑行到⊙O的圓周所用的時間tPF和tPM相比，有tPF

解析因?yàn)橄嗲袃蓤A的連心線過切點(diǎn)，所以O(shè)、I、F三點(diǎn)共線，設(shè)⊙I的半徑為r，易知PE=PD-ED=9m，所以IE=r-9(單位m，下同)，因?yàn)镺I=25-r，所以，在Rt△OEI中根據(jù)勾股定理可以建立如下方程：

(r-9)2+82=(25-r)2，解得：r=15，

所以，小環(huán)沿細(xì)桿由P滑行至F所用的時間為：

實(shí)際上，對例題2給出的這個求解小環(huán)沿細(xì)桿滑行的最短時間問題，我們也可以仿照例題1的解法一，建立合適的平面直角坐標(biāo)系之后，確定出⊙O的方程，進(jìn)而利用解析法導(dǎo)出小環(huán)在不同傾角滑桿上由P點(diǎn)滑行到⊙O的圓周上時，所需時間與其他參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，再利用求導(dǎo)的方法確定問題的答案，但這樣解決問題的過程將會非常的麻煩，遠(yuǎn)不如增添輔助等時圓的方法求解簡單.

例3 如圖7所示，半徑為104dm的圓環(huán)圓心為O，放在水平地面上，P點(diǎn)是豎直圓環(huán)平面內(nèi)的一點(diǎn)，它到水平面和圓環(huán)豎直直徑的距離分別是288dm和120dm，在P點(diǎn)和⊙O圓周上多點(diǎn)之間拉很多根繃緊的光滑金屬絲，讓套在金屬絲上的小環(huán)在各金屬絲上由P點(diǎn)靜止釋放，試確定小環(huán)在各段金屬絲上滑行時間的取值范圍？(取g=10m/s2，結(jié)果可以保留根號)

圖6 圖7

分析作出過點(diǎn)P，圓心在過P的豎直線PD上，與⊙O分別內(nèi)切和外切的兩圓⊙E和⊙F，如圖7所示，切點(diǎn)分別是G和J，由等時圓的性質(zhì)可知，在P點(diǎn)與⊙O上各點(diǎn)相連的金屬絲中，小環(huán)在光滑金屬絲PG上滑行的時間最長，最長時間等于小環(huán)在空間內(nèi)從P點(diǎn)靜止釋放，自由下落⊙E的直徑PM所用的時間；小環(huán)在光滑金屬絲PJ上滑行的時間最短，最短時間等于小環(huán)在空間內(nèi)從P點(diǎn)靜止釋放，自由下落⊙F的直徑PN所用的時間.根據(jù)題目給出的已知條件，分別在Rt△OET和Rt△OQF中根據(jù)勾股定理列出兩個以⊙E和⊙F半徑為未知數(shù)的方程，可以確定⊙E和⊙F的半徑分別，進(jìn)而可以確定問題的答案.

解析設(shè)⊙E和⊙F的半徑分別為R和r，在Rt△OET中:

PN=PD-QD=184dm，

所以O(shè)T=QE=R-184(單位dm，下同)，EO=R-104，

由勾股定理可得

(R-104)2=1202+(R-184)2，解得：R=234.

在Rt△OQF中：

FQ=184-r，F(xiàn)O=104+r，OQ=120，

由勾股定理可得

(r+104)2=1202+(184-r)2，解得r=65.

等時圓的性質(zhì)是運(yùn)動學(xué)板塊的一條重要規(guī)律，在解決物體于光滑斜面或滑桿上滑行時間等相關(guān)問題時，如果添加合適的等時圓，并以等時圓為橋梁，將有關(guān)物理量巧妙聯(lián)系，往往可以給問題的解決帶來很大的方便.