羅祠軍

有關(guān)圓錐曲線中弦的問題對(duì)同學(xué)們的空間想象能力和分析能力有比較高的要求.這類問題往往涉及較多的變量，經(jīng)常讓考生捉摸不透，不知如何下手.只有熟悉并掌握幾類經(jīng)典題型及其解題規(guī)律，才能舉一反三，從容應(yīng)對(duì)有關(guān)圓錐曲線中弦的問題.接下來，通過例題，探討一下兩類有關(guān)圓錐曲線中弦問題及其解法.

一、切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)問題

很多圓錐曲線問題涉及了切點(diǎn)弦，切點(diǎn)弦有一些特殊的性質(zhì)和特征，我們需要熟練掌握.例如，（1）如果過圓錐曲線的準(zhǔn)線和長(zhǎng)軸所在直線的交點(diǎn)作圓錐曲線的切點(diǎn)，則切點(diǎn)弦長(zhǎng)正好與圓錐曲線的通徑相等；（2）過橢圓右準(zhǔn)線上任何一點(diǎn)，作橢圓的切線時(shí)，這個(gè)切點(diǎn)弦恒過橢圓的右焦點(diǎn).在解答切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)問題時(shí)，我們可以靈活運(yùn)用切點(diǎn)弦的這些特殊性質(zhì)和特征來建立關(guān)系式，消去參數(shù)，進(jìn)而求得切點(diǎn)弦的方程，最后根據(jù)一元一次方程有無數(shù)個(gè)解的性質(zhì)求得定點(diǎn)的坐標(biāo).

例1.

證明：

由已知的橢圓方程可求得其右準(zhǔn)線的方程，所以可直接設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)，然后通過切線的方程表示出切點(diǎn)弦的方程，進(jìn)而得到直線 AB 恒過的定點(diǎn)坐標(biāo).

二、相交弦過定點(diǎn)問題

任意相交的弦肯定不過定點(diǎn)，但是如果兩個(gè)滿足一定條件的弦相交，就會(huì)恒過一定點(diǎn).在解題時(shí)，要注意觀察，學(xué)會(huì)根據(jù)相交弦的特征進(jìn)行分析，尋找一些特殊的位置、點(diǎn)、關(guān)系，據(jù)此建立關(guān)系式，通過消元，求得相交弦的方程.在建立關(guān)系式時(shí)，要逐步減少變量，這樣就容易發(fā)現(xiàn)并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

例2.

解

先設(shè)出 M、N 的坐標(biāo)；再由 A1 、A2 的坐標(biāo)，得到直線 A1M、A2M 的方程；然后通過聯(lián)立方程，求出 M、N 點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線 MN 的方程.解答相交弦過定點(diǎn)問題，需要關(guān)注一些特殊點(diǎn)的位置，比如點(diǎn) P 的位置，既在直線 l 上，也在直線 PA1 、PA2 上，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)滿足這三個(gè)直線的方程，從而建立關(guān)系式.

可見解答有關(guān)圓錐曲線中弦問題，需注意：（1）明確弦與圓錐曲線的位置關(guān)系；（2）關(guān)注弦與弦之間的位置關(guān)系；（3）根據(jù)弦的特征、性質(zhì)，建立關(guān)系式；（4）掌握并靈活運(yùn)用一些消元的技巧.

（作者單位：江西省玉山縣第一中學(xué)）