廣東韶關(guān)市九齡高級(jí)中學(xué)(512031) 何世洪

在文[1]中,齊行超老師給出了橢圓的切線的一個(gè)性質(zhì)：過(guò)橢圓外一點(diǎn)(與焦點(diǎn)F1,F2共線)M作切線,切點(diǎn)P,則|F1M|·|F2M|=|PF1|·|PF2|+|MP|2.

在文[2]中,筆者給出了橢圓、雙曲線切線的另一性質(zhì)：

結(jié)論1 過(guò)橢圓=1(a＞0,b＞0)外一點(diǎn)P(x0,y0)作該橢圓的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,則△PAB的面積為

結(jié)論2 過(guò)雙曲線外一點(diǎn)P(x0,y0)作該雙曲線的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,則△PAB的面積為

筆者閱讀文[1]、文[2]后,對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C和結(jié)論的優(yōu)美倍感佩服,并深受啟發(fā),結(jié)合這兩者作進(jìn)一步研究,又得出了橢圓、雙曲線切線的另一個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)(1)過(guò)橢圓外一點(diǎn)M(x0,y0)作切線,切點(diǎn)A,B,焦點(diǎn)F,則

圖1

圖2

證明如圖1,由文[3]知,過(guò)切點(diǎn)A,B的直線方程為由方程組消去y,整理

得：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

設(shè)焦點(diǎn)F(c,0),離心力為e,則由橢圓焦半徑公式得：

所以,

又|MF|2=(x0-c)2+y20,所以,|FA|·|FB|·|MF|2,即

(2)根據(jù)文[3]知,過(guò)切點(diǎn)A,B的直線方程為當(dāng)切點(diǎn)A,B在雙曲線同一支時(shí),如圖2.由消去y,整理得：

又由文[3],因直線AB與雙曲線有兩個(gè)同號(hào)實(shí)根,必須滿足a2y20-b2x20＜0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

設(shè)其焦點(diǎn)F(c,0),離心力為e,則由雙曲線焦半徑公式得：

因a2y20-b2x20＜0,b2x20-a2y20＞0,那么,

而|MF|2=(x0-c)2+y20,那么|FA|·|FB|·|MF|2,所以,

當(dāng)切點(diǎn)A,B分別在雙曲線的兩支時(shí),如圖3,有上 (?)式.由 文 [3],直 線AB與雙曲線有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根,必 須0＜a2y20-b2x20,b2x20-a2y20＜0.同理可得,綜上,有成立.

圖3