廣東省佛山市教育局教研室(528000) 彭海燕

全國(guó)卷高考立體幾何重視考查幾何元素間位置關(guān)系、度量關(guān)系,重視考查空間向量解決幾何問(wèn)題這一重要工具.回顧和審視全國(guó)卷歷年試題的命制,我們發(fā)現(xiàn)有一條清晰的脈絡(luò),那就是特別重視基本平面幾何圖形性質(zhì)的空間探索,也即特別重視四邊形翻折前后的幾何元素關(guān)系、度量關(guān)系的變與不變的考查.這樣命題有助于充分考查考生的空間想象能力,有助于從熟悉的四邊形要素的位置關(guān)系進(jìn)入到空間幾何體的幾何要素關(guān)系的把握上.

1.箏形翻折

箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊形,與菱形定義相對(duì)應(yīng).菱形是特殊的箏形.箏形的一條對(duì)角線所在的直線垂直平分另一條對(duì)角線.

在箏形平面到空間變換的研究中,常常沿著其中一條對(duì)角線進(jìn)行翻折.在翻折過(guò)程中,兩條對(duì)角線垂直關(guān)系保持不變,這就成為高考試題命制的基礎(chǔ),常常利用兩個(gè)對(duì)應(yīng)的等腰三角形來(lái)描述空間箏形.這樣的高考試題極為豐富.

例1-1 (2017年高考全國(guó)卷III 文科第19 題)如圖1,四面體ABCD中,是△ABC正三角形,AD=CD.

(1)證明：直線AC⊥BD;

(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.

圖1

圖2

錐體視角本題學(xué)生一般都會(huì)將其視作是四面體,并且需要通過(guò)幾何元素位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系來(lái)描述四個(gè)面的三角形特征—等腰三角形(一個(gè)等腰直角三角形ADC、一個(gè)等邊三角形ABC、兩個(gè)全等的等腰三角形DBA,DBC),第一問(wèn)的異面直線垂直的解決可以利用兩個(gè)等腰三角形三線合一進(jìn)行處理,再通過(guò)簡(jiǎn)單的解三角形運(yùn)算得到點(diǎn)E為BD中點(diǎn),進(jìn)而得到兩個(gè)四面體體積比為1.

箏形翻折視角如果我們從箏形ABCD的視角來(lái)看,沿著對(duì)角線AC翻折,對(duì)角線BD始終垂直AC,△ADC翻折的第一個(gè)位置即是平面DAC⊥平面ACB(∠DOB=90°),此時(shí)有AB=BD=BC=第二個(gè)位置根據(jù)題設(shè)其實(shí)就是要保持△ADC不變形,也即△ADC ～=△AEC,這樣的點(diǎn)只可能是線段BD中點(diǎn)(Rt△BOD中∠DBO=30°),如圖2所示,此時(shí)∠DOE=60°,△AEC為等邊三角形.

從翻折的視角來(lái)看,整個(gè)問(wèn)題的方向是非常清晰的,更能把握問(wèn)題的本質(zhì).

其實(shí),高考全國(guó)卷一直都重視箏(菱)形翻折問(wèn)題的研究,并且有延續(xù)性,強(qiáng)調(diào)其穩(wěn)定.近期的考題還有：

例1-2 (2013年新課標(biāo)卷I 文科)如圖3,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.證明：AB⊥A1C.

圖3

圖4

圖5

例1-3 (2014年新課標(biāo)卷I 文科)如圖4,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點(diǎn)為O,且AO⊥平面BB1C1C.

(1)證明：B1C⊥AB;(2)略.

例1-4 (2014年新課標(biāo)卷I 理科)如圖5,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.

(1)證明：AC=AB1;(2)略.

上述三題學(xué)生在解決的時(shí)候,往往將其看作是不同的問(wèn)題(三棱柱形態(tài)不一樣),但是從翻折的視角來(lái)看,本質(zhì)一樣,要研究的都是箏形的翻折(圖3是箏形CAA1B,圖4,圖5是箏形BB1AC,2014年理科試題要證明其為箏形,是文科試題的逆向探討),顯然例1-1 是上述試題的延續(xù).這告訴我們高考命題具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性(哪怕外在形態(tài)多變,本質(zhì)要求不變).延續(xù)這一做法的還有2015年全國(guó)卷I 理科第18 題的箏形翻折和2016年全國(guó)卷II 卷的菱形翻折.

對(duì)于箏形的研究,回歸到教材(人教A2007年2月第三版)會(huì)讓我們對(duì)“教材是一個(gè)訓(xùn)練系統(tǒng),是一個(gè)基本模型發(fā)源地”有著更為清晰的認(rèn)識(shí),事實(shí)上,教材在練習(xí)習(xí)題與復(fù)習(xí)參考中多處多角度對(duì)箏形模型進(jìn)行了探討,上述考題不過(guò)是教材問(wèn)題的延伸,圖形結(jié)構(gòu)一致,處理方法也一致,本質(zhì)不變.

例1-5 (必修二第67 頁(yè)練習(xí)第1 題)如圖6,三棱錐V-ABC中,V A=V C,BA=BC.求證：V B⊥AC.(類似地,習(xí)題2.3 中A 組題4,B 組題2 都是這一問(wèn)題的探索).

圖6

圖7

圖8

例1-6 (必修二第79 題復(fù)習(xí)參考題第1 題)邊長(zhǎng)為2 的正方形ABCD中,如圖7,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),將△AED.△DCF分別沿DE.DF折起,使A.C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′,如圖8,連接EF,求證：A′D⊥EF.(類似地,P69 練習(xí)也是這一問(wèn)題的探索).

對(duì)于教材中的這些練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題關(guān)鍵是要能系統(tǒng)地從圖形結(jié)構(gòu)出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)圖形的基本結(jié)構(gòu)特征,并能將其上升到箏形這一基本模型上來(lái),把握箏形翻折前后的幾何元素的位置關(guān)系,度量關(guān)系,總結(jié)證明的基本套路,即分別從兩個(gè)公共底邊等腰三角形中尋找線線垂直進(jìn)行得到線面垂直,再到異面直線垂直等等.在模型探究、思想方法總結(jié)提煉的基礎(chǔ)上落實(shí)直觀想象與邏輯推理核心素養(yǎng).

2.梯形的翻折

梯形是學(xué)生較為熟悉的平面四邊形,雖然初中階段對(duì)梯形的性質(zhì)研究依然弱化,但在高中階段,其仍然是重要的平面四邊形(當(dāng)然也可以從圖形拼接的角度來(lái)看待梯形),梯形中,等腰梯形和直角梯形是重要的研究對(duì)象.

2.1 等腰梯形的翻折

等腰梯形的翻折主要強(qiáng)調(diào)對(duì)腰的翻折,也即保持底面的矩形特征,兩腰向中間翻折,而這里面就有兩底的端點(diǎn)是否合攏的問(wèn)題.近兩年的高考試題分別研究了上述問(wèn)題.

例2-1 (2016年全國(guó)卷I理科)如圖9,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

圖9

(1)證明：平面ABEF⊥平面EFDC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

空間多面體視角本題學(xué)生會(huì)根據(jù)題設(shè)條件將圖形直接視作是多面體,并利用底面正方形和側(cè)面三角形為直角三角形的數(shù)量特征來(lái)解決第一問(wèn).但第二問(wèn)對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō),由于缺乏對(duì)二面角作為條件時(shí),本質(zhì)是聚焦二面角概念這一常見(jiàn)命題規(guī)律的把握,而采取空間向量法處理(當(dāng)年的高考廣東卷閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)第二問(wèn)失分極為嚴(yán)重,抽樣均分為5.29,基本上來(lái)自于第一問(wèn)得分).

圖10

梯形翻折視角如果我們將空間幾何體兩面AFD,BEC放平的話,本題便可以視作是由一個(gè)等腰梯形翻折而成(高考試題分析對(duì)此探討了命制過(guò)程).如圖10,這是一個(gè)下底為上底兩倍,高與上底相等的等腰梯形.也即CD=2AB,AF=AB,且AF=2FD.分別沿著兩個(gè)高AF,BE將兩條腰進(jìn)行等速翻折,在翻折過(guò)程中,AF⊥DF,AF⊥EF關(guān)系始終保持不變,這也就保證了平面ABEF⊥平面EFDC這一關(guān)系始終不變.在此過(guò)程中二面角D-AF-E與二面角C-BE-F始終相等且分別是等腰梯形CDFE的下底角.題目翻折的位置是這個(gè)底角為60°的時(shí)候.在翻折過(guò)程中研究二面角E-BC-A可以有多種方式,既可以構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,也可以直接利用翻折過(guò)程中的對(duì)稱性,結(jié)合直角三角形(無(wú)論如何翻折E到BC的高或者F到AD的高始終不變,且是構(gòu)成二面角平面角的一個(gè)邊)等積法求得相關(guān)的邊長(zhǎng)獲得空間角的正弦或者余弦值.一個(gè)自然想法是,在翻折過(guò)程中必然會(huì)有C,D重合的時(shí)候,此時(shí)便構(gòu)成了一個(gè)四棱錐,而這恰恰就是2017年立體幾何文理科試題的命題背景.

圖11

例2-2 (2017年全國(guó)卷I理科第18 題)如圖11,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

(1)證明：平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

圖12

梯形翻折視角如上可知,命題組在命題時(shí)必然考慮過(guò)等腰梯形底頂點(diǎn)重合的問(wèn)題,本題即是如此.如圖12,根據(jù)題設(shè)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,我們將其視作是一個(gè)下底為上底為高為2 的等腰梯形.沿著高分別翻折,使得M,N重合,也即得到點(diǎn)P,此即為本題的命題背景.第一問(wèn)的設(shè)計(jì)是自然而言的事情,也是2016年高考題的延續(xù),因?yàn)闊o(wú)論怎樣翻折兩個(gè)面的垂直是一定的.第二問(wèn)也是2016年高考題的延續(xù).如果在復(fù)習(xí)中從翻折的視角來(lái)看待,2017年的高考題不過(guò)是2016年高考的翻版.

2.2 直角梯形的翻折

如圖所示,在直角梯形中有一類由兩個(gè)直角三角形,特別地,其中一個(gè)是等腰直角,拼接而成的直角梯形是翻折問(wèn)題考查的熱點(diǎn).

這類翻折問(wèn)題,一般都沿著兩個(gè)三角形公共邊AC進(jìn)行翻折,如圖13,翻折的位置往往強(qiáng)調(diào)兩個(gè)面互相垂直,這樣容易考察線面垂直和面面垂直中的性質(zhì)定理與判定定理.具體操作時(shí)要注意翻折前后的點(diǎn)與線、線與線位置關(guān)系變與不變.數(shù)量關(guān)系的變與不變.

圖13

圖14

圖15

例2-3 (2009年佛山二模)如圖14,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,AB//CD,AB=4,AD=CD=2.將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖15所示.

(I)求證：BC⊥平面ACD;

(II)求幾何體D-ABC的體積.

本題是直接從平面圖形進(jìn)行切入進(jìn)行翻折,筆者在命制的時(shí)候考慮到學(xué)生會(huì)如何考慮等腰直角三角形,一方面可以從等腰三角形ADC底邊AC三線合一角度來(lái)思考,一方面也可以直接從等腰三角形ACB的直角邊BC邊來(lái)思考,不同方向涉及到的定理前后順序不一致,解題長(zhǎng)度不一致.目的是熟悉三角形的性質(zhì)和空間的垂直(判定、性質(zhì))定理.這樣的題目也較為常見(jiàn),但基本上落腳點(diǎn)就是三角形的幾何性質(zhì).

3.矩形(正方形)的翻折

矩形是大家比較熟悉平面圖形,對(duì)于矩形的翻折問(wèn)題,常常聚焦于具有一定長(zhǎng)寬比的矩形翻折問(wèn)題.如圖16.

圖16

圖17

在這些圖形中,矩形一條對(duì)角線垂直于另外一邊與所對(duì)頂角,并且都有相應(yīng)的比例關(guān)系.類比于箏形,在圖形沿著對(duì)角線BD或者CF翻折過(guò)程中,垂直關(guān)系始終保持不變,而這個(gè)就是命題的落腳點(diǎn).筆者近兩年對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行了探索,全國(guó)卷2018年考題也進(jìn)行了正方形的翻折研究.

例3-1 (2018年全國(guó)卷I理科第18 題)如圖17,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把△DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PF⊥BF.

(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD;

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

相比較于前幾年的全國(guó)卷命題中的隱性翻折,本題則直接從正方形ABCD沿一邊重點(diǎn)翻起一個(gè)直角△DFC來(lái),翻起來(lái)的位置從對(duì)稱的角度來(lái)看,其實(shí)就是把直角△ABF翻起來(lái),B,C重合的位置就是點(diǎn)P的位置.根據(jù)對(duì)稱性,此時(shí)點(diǎn)P在底面射影H肯定在等腰△AFD中線EF上,至于平面PEF⊥平面ABFD是自然而言的事.至于第二問(wèn),不難用等積法算得而DP與平面ABFD所成角平面角PDH的正弦值

我們回到前面2016年和2017年的考題來(lái)看,本題只不過(guò)把原來(lái)的等腰梯形換成了正方形,仍然是從對(duì)稱的兩個(gè)方向進(jìn)行翻折,讓它們重合,成為一個(gè)三棱錐,如圖18,我們從視角差異的角度,換個(gè)方向來(lái)看,翻折而成的這個(gè)三棱錐又是一個(gè)箏形,難道這是巧合嗎? 回味上述全國(guó)卷這6年的考題,這次第18 題是否如《沙家浜》中阿慶嫂所說(shuō)：“這茶,喝到這時(shí),是不是才喝出點(diǎn)味兒來(lái)了! ”

作為高考卷命題的研究者和地區(qū)質(zhì)量檢測(cè)的命題者,結(jié)合高考題的這種命題特點(diǎn),我們對(duì)矩形的翻折進(jìn)行了多角度的探索,命制了多個(gè)考題.這里呈現(xiàn)出來(lái),供讀者朋友參考,以期對(duì)高考試題命制提供不同的探索方向,為素養(yǎng)導(dǎo)向的命題提供一些思考.

圖18

圖19

例3-2 (2017年佛山二模文理科第19 題)如圖19,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E在邊DC上,且DE=1,將△ADE沿AE折到△AD′E的位置,使得平面AD′E⊥平面ABCE.

(I)求證：AE⊥BD′; (II)(理科)求二面角D′-AB-E的余弦值.(文科)求三棱錐A-BCD′的體積.

例3-3 (2014年佛山一模文理科第18 題)如圖20,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E.F分別為CD.AB邊上的點(diǎn),且DE=3,BF=4,將△BCE沿BE折起至△PBE位置(如圖21 所示),連結(jié)AP,PF,其中

(I)求證：PF⊥平面ABED;

(II)(理科)求直線AP與平面PEF所成角的正弦值.(文科)在線段PA上是否存在點(diǎn)Q使得FQ//平面PBE?若存在,求出點(diǎn)Q的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(III)(文)求點(diǎn)A到平面PBE的距離.

圖20

圖21

圖22

圖23

本題的設(shè)計(jì)思路與例3-1 有許多相同之處,研究視角也很有趣.

例3-4 (2013年佛山二模理科第19 題)如圖22,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E,F分別在AB,CD上,并且滿足AE=2EB,CF=2FD.如圖23,將直角梯形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置,使點(diǎn)A1在平面EBCF上的射影G恰好在BC上.

(I)證明：A1E//平面CD1F;

(II)求平面BEFC與平面A1EFD1所成二面角的余弦值.