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“合一”何須“分二”—例談數(shù)學(xué)解題中的“整體”策略

2019-04-12 03:18:38江蘇省姜堰第二中學(xué)225500張新志周春霞
關(guān)鍵詞:合一正方體審題

江蘇省姜堰第二中學(xué)(225500) 張新志 周春霞

數(shù)學(xué)解題重在兩大能力,一是審題能力,學(xué)會審題,即要知道問題給出哪些信息—關(guān)鍵詞與數(shù)量關(guān)系,還需要把握問題的結(jié)構(gòu)(算法結(jié)構(gòu)、聯(lián)系結(jié)構(gòu)、空間結(jié)構(gòu)、策略結(jié)構(gòu)等),為解題制定策略打下基礎(chǔ);一是運算能力,學(xué)會觀察運算方向、運算簡化途徑等,還需要從整體上認識問題、把握問題本質(zhì).

整體思想是指在數(shù)學(xué)解題時,站在整體的立場上心懷全局,注重對局部研究的同時,通過研究整體的結(jié)構(gòu)和形式,把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),尋找解決問題的途徑.在高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中,整體思想可以讓復(fù)雜的問題簡單化,突破學(xué)生的思維障礙,提高數(shù)學(xué)解題的速度,現(xiàn)從審題、解析、解讀三個角度體驗整體思想在高中數(shù)學(xué)核心知識(數(shù)列、函數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何)的應(yīng)用.

1.在數(shù)列中的應(yīng)用—整體變形與運算

等差等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d(q),n,Sn,知道部分量求其它未知量,就體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用,用兩個基本量表示已知和未知是常用方法,如果整體看待式子,整體變形和運算,解題將會收到奇效.

例1 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=4,a21+a22+a23+a24+a25=3,則a1-a2+a3-a4+a5=____.

審題可以設(shè)數(shù)列的公比為q,數(shù)列{a2n}也是等比數(shù)列,利用等比數(shù)列求和公式寫出前兩個等式,所求也為等比數(shù)列,利用整體思想即可快速求解.

解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由已知得到則所以4S=3,S=即a1-a2+a3-a4+a5

解讀乍眼一看,此題是等比數(shù)列問題,運用基本量就可以解決,正所謂“一葉障目”,沒有從整體上看問題,許多學(xué)生都是設(shè)基本量,利用解方程組的方法進行求解,致使無數(shù)考生“誤入歧途”,所以從結(jié)構(gòu)上認識變量間聯(lián)系,整體上處理是一種數(shù)學(xué)智慧.

例2 在等比數(shù)列{an}中,若a1+a2+a3+a4=8,則a1a2a3a4=____.

審題利用等比數(shù)列的前n項和公式寫出兩個等式,兩式相除,再進行平方即可求出值.

解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由已知得到兩式相除得到a21q3=4,a1a2a3a4=a41q6=16.

解讀本題采用化“二”為“一”的整體思想,兩式相除是關(guān)鍵,再接下來觀察所求式子的形式為相除所得等式的平方.

2.在函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用—整體把握函數(shù)結(jié)構(gòu)

“雙層”最值函數(shù)問題一直是各種考試的熱點,因為其具有一定的綜合性,對學(xué)生的能力要求比較高,所以深受命題者的青睞.解決此類問題的策略大多是引入變量,建立函數(shù)關(guān)系,從里到外、循序漸進、逐層突破.筆者采用整體研究的解題策略,從整體研究內(nèi)層函數(shù),結(jié)合不等式再研究外層最值函數(shù).

例3a>0,b>0,c>0,記M的最小值是____.

審題本題要求兩個表達式的較大者的最小值,解題策略是把相加,再利用基本不等式求出M的最小值.

解析由題意知所以2M≥所以M≥2,當且僅當a=b=c=1 時等號成立,故M的最小值為2.

解讀本題涉及“雙層”最值問題,內(nèi)層兩個表達式都涉及三個變量,單獨的求某一個表達式最值則無從下手,根據(jù)max{x,y}的含義把兩個表達式整體相加,再利用基本不等式求出M的最小值.

例4 已知a>0,b>0,且其中min{a,b}表示數(shù)a,b中較小的數(shù),則h的最大值為____.

審題根據(jù)min{a,b}的含義,將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為再結(jié)合基本不等式求出h的最大值.

解析由題意知,0<h≤a,所以當且僅當即時等號成立.

解讀審題發(fā)現(xiàn)題目條件不足,思維遇到障礙,切忌糾結(jié)單個表達式,分層構(gòu)建不等關(guān)系是本題的關(guān)鍵,再利用基本不等式求出最大值,解題策略是抓住整體特點,巧妙構(gòu)思,局部量有著整體上的聯(lián)系,直接從整體出發(fā)去解決問題.

3.在三角函數(shù)中的應(yīng)用—整體代換或配置

三角函數(shù)是高考必考內(nèi)容,命題規(guī)律為通過拆角湊角等方法,利用兩角和與差的正余弦公式直接求值.分析所求角和已知角的關(guān)系,用整體代換的思想,建立已知和未知的橋梁,巧妙的求出三角函數(shù)的值.

例5 已知cos求cos(α+β)的值.

審題觀察已知角和所求角α+β的關(guān)系,得出利用兩角差的余弦公式求出的值,由倍角公式求出cos(α+β)的值.

解析因為所以所以sin又所以

所以cos(α+β)=

解讀利用“拆角”的方法對α+β進行分拆,再由整體代換的思想進行求值.由角的范圍求其三角函數(shù)值采用“兩步”策略,第一步確定角的范圍,第二步由已知的三角函數(shù)值,利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求其它三角函數(shù)值.

例6 求cos 20°cos 40°cos 80°的值.

審題三個余弦函數(shù)值,一般都是從角度間的聯(lián)系入手解決問題.換一個視角,從三角函數(shù)配對是否可以有新的突破呢?

解析設(shè)x=cos 20°cos 40°cos 80°,y=sin 20°sin 40°sin 80°,則

0,所以

解讀觀察所求式子的特點,三個角成等差數(shù)列,采用整體策略,設(shè)出三個角的正弦的乘積,再利用倍角公式和誘導(dǎo)公式進行求值.

4.在立體幾何中的應(yīng)用—整體處置或補形

立體幾何是高中數(shù)學(xué)核心知識之一,表面積和體積常被考察的知識點,考查類型往往是定型和定性,往往通過三視圖和折疊與其它幾何體相結(jié)合的組合體的樣式呈現(xiàn),這類題目對空間想象要求較高.通過兩例談?wù)動醚a形的方法,完善幾何體,利用整體思想使問題簡便求解.

例7 (2018年高考新課標I 卷理科第10 題)圖1來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為III,在整個圖形中隨機取一點,此點取自I,II,III 的概率分別記為p1,p2,p3,則()

A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

圖1

審題首先設(shè)出直角三角形的三個邊長分別為a,b,c,根據(jù)其為直角三角形得到三邊的關(guān)系,求出各個區(qū)域?qū)?yīng)的面積,再根據(jù)面積的大小根據(jù)幾何概型的概率公式確定p1,p2,p3的關(guān)系,從而得到關(guān)系.

解析設(shè)AC=b,BC=a,AB=c,則有a2=b2+c2,△ABC的面積為黑色部分的面積為S2=其余部分的面積為所以p1=p2,選A.

解讀結(jié)合數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)的題目很耀眼,黑白對比強烈,陰影部分為對應(yīng)的半圓面積減去對應(yīng)弓形面積,而單獨求每個弓形的面積又比較困難,若把整個弓形看作為一個整體,把整個陰影部分看作為一個整體,則弓形的面積為以BC為直徑的半圓的面積減去△ABC的面積,陰影的面積為以AB,AC為直徑的半圓的面積和減去弓形的面積,即可得到選項.

例8 已知正四面體的棱長為四個頂點在同一個球面上,求此球的表面積.

審題一個特殊的幾何體—正四面體,有許多特殊的位置關(guān)系與度量關(guān)系,與正四面體相關(guān)聯(lián)的幾何體是正方體,是否可以從整體上突破呢?

解析如圖2將四面體補成正方體,則正方體的棱長是1,正方體的體對角線的長為則球的表面積為

圖2

解讀本題的解題策略是把四面體補成正方體,二者的外接球是同一個,正方體的體對角線的長,就是球的直徑,利用整體思想,求出球的表面積.

5.在解析幾何中的應(yīng)用—合二為一整體處置

解析幾何不僅涉及幾何知識,更多的涉及代數(shù)知識,因為其綜合性較強,能力要求較高,是各級各類考試的必考題.解法無非是幾何法和代數(shù)法,然而學(xué)生在解決這類題目往往會受阻,終究是解題方法和思維的受阻,從這個角度而言就需要合“二”為“一”的整體教學(xué)策略的養(yǎng)育.

例9 已知圓C∶x2+y2-2x+4y-4=0,直線l的的斜率為1,且l被圓C截得弦AB,若以AB為直徑的圓過原點,求直線l的方程.

審題設(shè)出過點A,B的圓系方程,再由圓以直線l與圓C的相交弦AB為直徑,得到所求圓的半徑最小,即2λ2-(4b+12)λ+36 的值最小,半徑最小時λ=b+3,再由圓過原點得到λb=4,解方程求出直線方程.

解析設(shè)直線l的方程為y=x+b,設(shè)過點A,B的圓的方程為x2+y2-2x+4y-4+λ(x-y+b)=0,整理得到圓的方程為x2+y2+(λ-2)x+(4-λ)y+λb-4=0,又圓以AB為直徑,所以(λ-2)2+(4-λ)2-4(λb-4)=2λ2-(4b+12)λ+36的值最小,由二次函數(shù)的單調(diào)性知λ=b+3 時最小,又因為圓過原點,所以λb=4,即(b+3)b=4,所以b=-4 或1,當b=-4 時,圓心到直線的距離b=1 時,圓心到直線的距離所以直線l的方程為x-y+1=0 或x-y-4=0.

解讀遵循常規(guī)思路,首先設(shè)出直線方程,再把直線和圓聯(lián)立方程組進行消元,再設(shè)出點的坐標A(x1,y1),B(x2,y2),再利用=x1x2+y1y2=0,利用韋達定理求出直線方程.這種方法運算量偏大,對學(xué)生的運算能力要求較高,設(shè)出圓系方程,利用整體思想,簡化運算.

例10 (2018年高考新課標I 卷理科第19 題)設(shè)橢圓的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).

(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.

審題首先對直線的傾斜角進行討論,再設(shè)直線的方程,采用設(shè)而不求的方法,考慮到kMA+kMB=0,再由x1x2,x1+x2的整體性,利用韋達定理整體代入證明.

解析(1)略; (2)當直線l與x軸垂直或重合時,∠OMA=∠OMB,當l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),直線MA,MB的斜率之和為kMA+kMB=將直線代入得,(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=代入2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0,所 以∠OMA=∠OMB.

解讀常規(guī)方法是設(shè)出直線方程,再把直線和橢圓聯(lián)立方程消元后,用直線的斜率表示出點A,B的坐標,再利用kMA+kMB=0 證明∠OMA=∠OMB,此種做法運算量大.巧妙的采用設(shè)而不求的整體策略,首先確定證明的突破口,再由結(jié)構(gòu)的整體性優(yōu)化解題思路.

從上述各問題的審題—解析—解讀可見,整體性教學(xué)要求教師在教學(xué)中灌輸“整體”到“局部”再到“整體”的教學(xué)整體思想,先對問題的結(jié)構(gòu)和形式進行審題,縱觀全局研究問題,把握“題眼”,正所謂見了樹木又見森林.采取化“二”為“一”的解題策略,反其道而行之,化難為易簡化運算,注重視角調(diào)整力促問題解決.

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