四川省綿陽第一中學(xué)(621000) 鄭中榮

高中課堂教學(xué)離不開解題教學(xué).在解析幾何中,涉及到點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的習(xí)題很多,然許多同學(xué)在解相關(guān)題型時(shí)感覺計(jì)算繁瑣,且容易出錯(cuò).為了解決此困難,筆者對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題進(jìn)行了探索,給出了一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的計(jì)算公式,相信能對(duì)廣大讀者有所幫助.

問題求點(diǎn)N(x0,y0)關(guān)于直線l∶Ax+By+C=0 的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo).

設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)(x1,y1),由一般做法：

文[1]給出了一個(gè)改進(jìn)公式：

(v=d表示N到直線的距離.記作(公式二).

文[1]對(duì)(公式二)給出了一種證明,但筆者在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)利用圓的知識(shí)證明更直觀易懂.證明如下：

證明(如圖1),M,N是圓C直徑上的兩個(gè)端點(diǎn),且關(guān)于直線l∶Ax+By+C=0 對(duì)稱.v是與l垂直的單位向量即N到l的距離為d=R,則=-2Rv=-2dv(Ax0+By0+C＞0)或=2Rv=2dv(Ax0+By0+C＜0).從而得到(公式二).

圖1

圖2

公式(二)的形式較公式(一)簡(jiǎn)化了許多,為計(jì)算帶來了一定簡(jiǎn)便.但在解題時(shí),計(jì)算步驟還是較多,不光要計(jì)算點(diǎn)到直線距離和與l垂直的單位向量,還需判斷Ax0+By0+C＞0(＜0).為此筆者對(duì)這個(gè)公式繼續(xù)探索,在研究的過程中,發(fā)現(xiàn)它與圓的知識(shí)聯(lián)系非常緊密.M,N兩點(diǎn)不僅可以看作圓C直徑上的兩個(gè)端點(diǎn),甚至還可以看作關(guān)于直線l對(duì)稱的兩個(gè)圓的圓心(如圖2),再利用圓的相關(guān)知識(shí)推導(dǎo)出點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的另一非常好用的公式：其中：記為(公式三).

證明不難發(fā)現(xiàn),我們熟知的圓系方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ((D+λA)2+(E+λB)2-4(F+λC)＞0)其圖形表示圓心在過且 與l∶Ax+By+C=0垂直的直線上的圓.故不妨設(shè)以N(x0,y0)為圓心的圓的方程：x2+y2-2x0x-2x0y+K=0(x20+y20-K＞0),則圓M的方程可設(shè)為：x2+y2-2x0x-2y0y+K+λ(Ax+By+C)=0((2x0-λA)2+(2y0-λB)2-4(K+λC)＞0),從而得出M的坐標(biāo)又因?yàn)镸N的中點(diǎn)在直線l∶Ax+By+C=0 上,所以解得這樣得出M的坐標(biāo)計(jì)算公式：其中：

顯然,公式(三)較上面兩個(gè)公式形式更簡(jiǎn)潔,并且容易記憶,不需要判斷Ax0+By0+C的符號(hào),計(jì)算非常方便.我們?nèi)绻賹⒐?三)改變一下,得到這樣的形式：

親愛的讀者朋友們,在這里你們是否發(fā)現(xiàn)t=與點(diǎn)到直線的距離公式很相似,是否覺得該公式很具幾何意義呢,你們是否發(fā)現(xiàn)它就是直線的參數(shù)方程形式呢? 這是否也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧性呢? (?)式讓我們?cè)谟?jì)算點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題上告別了復(fù)雜、繁冗的計(jì)算過程,讓數(shù)學(xué)運(yùn)算變得簡(jiǎn)單.

下面我們用幾道具體例子來體驗(yàn)一下極速的感覺：

例題一束光線m從P(6,4)出發(fā),經(jīng)過l∶4x+3y=11反射后,通過點(diǎn)Q(-4,3),求反射光線的方程.[人教A 版必修2P101 改編]

解設(shè)M(x1,y1)是P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn),由(?)式得t=1,x1=-2,y1=-2,故M(-2,-2).又點(diǎn)M在反射光線上,從而得出反射光線得方程：5x+2y+14=0.

練習(xí)

1.求與圓C∶(x+2)2+(y-6)2=1 關(guān)于直線3x-4y+5=0 對(duì)稱的圓的方程.[人教A 版必修2P144]

2.△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)(5,1),∠B,∠C平分線的方程分別為x-2y=0 和x+y-1=0,求BC所在直線方程.[人教A 版必修2P110 改編]

答案1.由(?)式得t=-1,C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)C1(x1,y1),則x1=4,y1=-2,故所求圓的方程：(x-4)2+(y+2)2=1.

2.由(?)式得點(diǎn)A關(guān)于直線x-2y=0 和x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)分別是又對(duì)稱點(diǎn)均在直線BC上,所以得出直線BC的方程

結(jié)束語：著名數(shù)學(xué)家喬治·波利亞指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”.怎樣引導(dǎo)學(xué)生避免題海戰(zhàn)術(shù),在數(shù)學(xué)知識(shí)海洋上探索是我們的重要任務(wù).筆者在研究新課標(biāo)時(shí),注意到：“運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系,運(yùn)用平面解析幾何方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題,感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.”[2]“能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.”[2]故本文這一公式顯得非常重要.

通過本文對(duì)公式的推導(dǎo),讓我們認(rèn)識(shí)到同一數(shù)學(xué)知識(shí)可以有多種不同的存在形式,而同一數(shù)學(xué)形式又可以從多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)上去理解和認(rèn)識(shí).在解題的過程中,學(xué)生缺少的是對(duì)解決問題的探索.因此我們教師在教學(xué)中,要注重引導(dǎo)學(xué)生探索解題規(guī)律和技巧,讓數(shù)學(xué)的教與學(xué)變得更加有趣.