廣東省東莞中學(523005) 盧 眾

數(shù)列不等式考察學生的綜合能力,讓很多學生望而生畏.解決此類問題有放縮法,數(shù)學歸納法,構(gòu)造函數(shù),單調(diào)性法等幾種重要方法,其中最主要的是放縮法.放縮法既可以先放縮再求和,也可以先求和再放縮,放縮的方式千變?nèi)f化,常見的有裂項放縮,等比放縮,基本不等式或其他重要不等式放縮.這些方法都是從正面去分析問題,分析的過程往往因為看不到問題的本質(zhì),找不到合適的方法,需要不斷的嘗試.

文中通過幾個典型例題介紹逐項比較法,它是通過拆分完整式逐項比較,找到題目的切入點.

1.解法探究

例1 已知n ∈N+,求證：

分析這道題目既可以利用數(shù)學歸納法,也可利用裂項放縮證明,下列三種對通項的放縮方式都是可行的：

而且從放縮的程度上而言,后者優(yōu)勝于前者,因為放縮后與原始最接近,即產(chǎn)生的誤差小,更容易證明相應(yīng)的結(jié)論.但如果對上述放縮方式不熟悉,那又有什么辦法切入呢? 為方便敘述,將具有相似結(jié)構(gòu)的n項和(積)的形式稱為展開式,而完整部分稱為完整式.由于該題目展開式無法求和,觀察到展開式是以為通項的數(shù)列{bn}的前n項和Tn,也可考慮將右邊的完整式看成數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解答設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為則令n ∈N+,n=1 時,a1=b1=1;n≥2 時,所以bn≤an,n ∈N+,則將數(shù)列{bn},{an}的前n項分別累加,得Sn≤Tn,即

點撥這種方式?jīng)]有將展開式直接求和,也沒將其放縮后再求和,而是反其道而行,是將完整式通過數(shù)列前n項和(積)的定義,拆分為若干項的和(積),比較每一項.思考時容易切入,且計算難度降低.

例2 已知n ∈N+,求證(1+1)·

分析這題也可拆分,不等式左邊的展開式是以為通項的數(shù)列{bn}的前n項積Tn,不等式右邊的完整式為數(shù)列{an}的前n項積Sn,即

解答設(shè)數(shù)列{an}的前n項積為n ∈N+,則數(shù)列{bn}的通項為因為所以bn＞an＞0,n ∈N+,將數(shù)列{bn},{an}的前n項分別累積,則Tn＞Sn(n ∈N+),即

例3 已知n ∈N+,求證：

分析數(shù)列通項雖然是分式結(jié)構(gòu),但裂項放縮有些困難,觀察到式中含有指數(shù)結(jié)構(gòu),因此可以考慮等比放縮,數(shù)列的首項可以是第一項b1==1,而前后兩項的比值單調(diào)遞增,且極限為因此公比可以是q=從而只需證明且數(shù)列{bn}的前n項和小于

解答設(shè)數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別為an=則因為所以

2.方法總結(jié)

逐項比較法本質(zhì)是化整為零,是一種避難就易的方法,通過對完整式的拆分,得到的公式是最接近原始通項公式的一種放縮.能夠?qū)Ψ趴s的程度能夠巧妙的避免從繁瑣的公式中找到合適的放縮方式.其主要步驟為：

(1)拆分完整式,化整為零,構(gòu)造數(shù)列的通項

(i)若完整式含n,由數(shù)列前n項和(積)的定義可得通項an=(或an=

(ii)若完整式是常數(shù)c,將c定義為某無窮等比數(shù)列{an}的和再由展開式的第一項確定數(shù)列的首項a1,則公比q=1-或根據(jù)前后兩項的比值先確定公比q,再確定首項a1=(1-q)c,從而an=a1qn-1(n ∈N+);

(2)比較展開式中的通項bn與完整式對應(yīng)的通項an大小;

(3)將數(shù)列{bn},{an}分別累加(乘)即可得到相應(yīng)的結(jié)論.

3.教學反思

數(shù)列不等式問題的解法較多,但學生學習的過程中,往往是被動的接受各種方法或者因為各種嘗試找不到合適的方法而苦惱.逐項比較的思想,通過化難為易,化整為零各個突破,能夠讓學生在思考的過程中,克服思考的障礙,增加對數(shù)學的興趣,增強對探索的欲望.