公比
- 對(duì)數(shù)列錯(cuò)位相減法求和的探討
零等差數(shù)列與一個(gè)公比不為1的等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列”簡(jiǎn)稱為“差比數(shù)列”.（2）設(shè)an≠0（n∈N*），｛bn｝是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，｛an·bn｝的前n項(xiàng)和為Sn.探討探討1：是不是只有差比數(shù)列才能用錯(cuò)位相減法求得前n項(xiàng)和？Sn=a1b1+a2b2+…+anbn①，等式兩邊同乘q得qSn=a1（qb1）+a2（qb2）+…+an（qbn）=a1b2+a2b3+…+anbn+1②，由①－②得（1－q）Sn=a1b1+［（a2－a1）b2+…+
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊 2022年27期2022-10-16
- 淺談數(shù)列求和的常用方法
2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2＋b3＝12,b3＝a4－2a1,S11＝11b4．(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{a2nb2n－1}的前n 項(xiàng)和(n∈N?)．解析(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q．由b2＋b3＝12,得b1(q＋q2)＝12,而b1＝2,所以q2＋q－6＝0．又因?yàn)閝＞0,解得q＝2,所以bn＝2n．又因?yàn)閎3＝a4－2a1,S11＝11b4,則聯(lián)立①②,解得a1＝1,d＝3,由此可得an
高中數(shù)理化 2020年22期2021-01-14
- 等比數(shù)列及其前n 項(xiàng)和的性質(zhì)與應(yīng)用
數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).用符號(hào)語言表示等比數(shù)列為1.2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其幾何意義等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1，即an＝，當(dāng)q＞0且q≠1時(shí)，an為n的指數(shù)型函數(shù)，此時(shí)函數(shù)圖象為指數(shù)型函數(shù)圖象上的孤立點(diǎn).易知數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式an＝f(n)＝cqn(c，q為非零常數(shù)).推廣an＝amqn－m(當(dāng)m＝1時(shí)即為通項(xiàng)公式)，其變式為1.3 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其幾何意義2 等比數(shù)列
高中數(shù)理化 2020年19期2020-12-10
- 數(shù)列的綜合應(yīng)用
，則此等比數(shù)列的公比等于________.6.數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，若a2=2，a5=，則a1a2+a2a3+…+anan+1=________.7.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝中a6+a7=3.則滿足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________.8.設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，滿足a1=1，S6=36，且am，am+2，ak成等比數(shù)列，則m+k的值為________.二、解答題9.已知｛an｝是等差數(shù)列，滿足a1=3，a4
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2020年3期2020-07-15
- 續(xù)談分類討論
比數(shù)列{bn}的公比為q，前n項(xiàng)和Tn>0(n=1,2,…)，(1)求q的取值范圍；(2)設(shè)cn=bn+2-bn+1，記{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，試比較Tn與Sn的大?。治霰绢}中，由于數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，特別要注意討論公比q=1與公比q≠1的情況．解析(1) 因?yàn)閧bn}是等比數(shù)列，Tn>0，可得b1=T1>0，q≠0.當(dāng)q=1時(shí)，Tn=nb1>0；由于n可能是奇數(shù)，也可是偶數(shù)，故q的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞)．(2)由cn=bn+2-bn
數(shù)理化解題研究 2020年13期2020-05-07
- 構(gòu)造等比型數(shù)列求遞推數(shù)列的通項(xiàng)
知{an+1}是公比為2，首項(xiàng)為a1+1=2的等比數(shù)列.故an+1=2×2n-1，得an=2n-1.二、an+1=pan+f(n)(常數(shù)p≠1)型其中的f(n)是我們熟知的數(shù)列，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等.1.{f(n)}是等差數(shù)列，即f(n)=An+B.此時(shí)設(shè)遞推式an+1=pan+An+B可化成an+1+x(n+1)y=p(an+xn+y),即an+1=pan+(p-1)xn+(p-1)y-x.例3 設(shè)a1=1,an+1=2an+2n+1,求an.解設(shè)遞推
數(shù)理化解題研究 2020年10期2020-04-01
- 等比數(shù)列求和公式的快速永恒記憶
常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。高中數(shù)學(xué)中等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式是，當(dāng)然也可以寫成?？墒且涀∵@個(gè)公式并不容易，可能要花很多時(shí)間。有沒有簡(jiǎn)單的記憶方法能幫助我們快速地而且長(zhǎng)時(shí)間地深刻記憶呢?一、等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程推導(dǎo)過程一般是這樣的：用②的兩邊分別減去①的兩邊，得到(q-1)Sn=anq-a1，當(dāng)q≠1時(shí)，從而得到等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式為二、常規(guī)記憶方法可是我們?nèi)绾斡洃浬厦孢@個(gè)公式呢? 大多數(shù)同學(xué)是這樣記憶的：“總和等于
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高考理化) 2020年1期2020-02-12
- 數(shù)列核心考點(diǎn)測(cè)試卷B 參考答案
以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。19.(1)方法一：因?yàn)閍n+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)。由a1=1知a1+1≠0，從而an+1≠0。所以數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列。方法二：由a1=1知a1+1≠0，從而an+1≠0。(2)由(1)知{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an+1=2×2n-1=2n，即an=2n-1。20.(1)因?yàn)榉匠蘟 x2-3x+2=0的兩根為x1=1，x2=b，所以解得a=1，b=2，所以an=2
- 全國(guó)名校數(shù)列測(cè)試題（B卷）答案與提示
得數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列。61.(1)等差數(shù)列{an}滿足a2=3,a5=9,則所以an=a2+2(n-2)=2n-1。數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=abn,則：所以數(shù)列{bn-1}是以2-1=1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,bn-1=1·2n-1=2n-1。故bn=2n-1+1。62.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,滿足S3=12,且a1,a2,a4成等比數(shù)列?？傻?a1+3d=12,即(a1+d)2=a1(a1+3d)
- 2019年高考數(shù)列經(jīng)典問題聚焦
解析：利用首項(xiàng)和公比構(gòu)建方程組確定公比求通項(xiàng),正數(shù)的等比數(shù)列通項(xiàng)取對(duì)數(shù)后為等差數(shù)列,可利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。(1)由題意知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a3=2a2+16,a1=2。令數(shù)列{an}的公比為q,a3=a1q2=2q2,a2=a1q=2q,所以2q2=4q+16,解得q=-2(舍去)或4。數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列,an=2×4n-1=22n-1。(2)因?yàn)閎n=log2an,所以bn=2n-1,bn+1=2n
- 解析2017年湖北省預(yù)賽試題第2題
設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，∵an>0，∴q>0.∵a6+a5+a4-a3-a2-a1=49，∴q3(a3+a2+a1)-(a3+a2+a1)=49，∵a3+a2+a1>0，∴q3>1，∴f(t)≥49×(2+2)=196，綜上，a9+a8+a7的最小值為196.解析4設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，∵a6+a5+a4-a3-a2-a1=49，∴a1q5+a1q4+a1q3-a1q2-a1q-a1=49，∴a1q3(q2+q+1)-a1(q2+q+1)=49，∴a1
數(shù)理化解題研究 2019年25期2019-09-19
- 利用遞推關(guān)系求解數(shù)列通項(xiàng)公式的解題策略
以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.即bn=2×3n-1，故an=2×3n-1-n.例4已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=3an-1+2n2-1(n≥2),求an.解因?yàn)閍n=3an-1+2n2-1(n≥2),設(shè)an+xn2+yn+z=3(an-1+x(n-1)2+y(n-1)+z)，整理得an=3an-1+2xn2+(-6x+2y)n+(3x-3y+2z).評(píng)注這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即設(shè)an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=p[an
數(shù)理化解題研究 2019年25期2019-09-19
- 關(guān)于求解數(shù)列的通項(xiàng)公式九種常見類型與方法
}是以4為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.∴an+3=4×2n-1，∴an=2n+1-3.這種題型可以設(shè)an+1+λ·qn+1=p(an+λ·qn)，解出λ，再化為等比數(shù)列求解.例4已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3×5n,a1=6，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解∵an+1=2an+3×5n,設(shè)an+1+λ·5n+1=2(an+λ×5n)，則an+1=2an-3λ×5n.∵an+1=2an+3×5n,∴λ=-1.∴an+1-5n+1=2(an-5n).∵a1
數(shù)理化解題研究 2019年25期2019-09-19
- 多視角命題剖析，高考數(shù)列復(fù)習(xí)的思考
列 首項(xiàng) 公差 公比 通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和 【中圖分類號(hào)】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 ?A ? 【文章編號(hào)】 ?1992-7711（2019）13-096-01一、數(shù)列的教學(xué)目標(biāo)歷來在《課表》的要求都是：1、理解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系，理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義，并會(huì)利用通項(xiàng)公式寫出任意一項(xiàng)。2、理解等差、等比數(shù)列的概念;掌握等差、等比數(shù)列
中學(xué)課程輔導(dǎo)·教育科研 2019年13期2019-09-10
- 挖掘一道高考題的應(yīng)用價(jià)值
比數(shù)列{an}的公比為q，由結(jié)論可得S300 =S100+S200q100=S200 +S100 q200，200+300q100=300+200q200，解得q100= 或q100=1（舍去）.所以S300 =200+300× =350.選B.小結(jié) 如果由已知條件進(jìn)行瞎猜，那么容易掉進(jìn)選項(xiàng)A的陷阱中.例2 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S50 =4，S150 =8，則S350=A.12 ? ? ? B.28+8 ? ? ? ?C.28-8 ? ?
高中生·天天向上 2019年7期2019-07-22
- 數(shù)列易錯(cuò)題分析
為首項(xiàng)，4/3為公比的等比數(shù)列，所以an=。正解：由上述分析可得，又，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起是以4/3為公比的等比數(shù)列，即首項(xiàng)為，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an=。分析：本題易忽視首項(xiàng)與所有項(xiàng)的整體關(guān)系，事實(shí)，上，數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起，以后各項(xiàng)組成等比數(shù)列，而{an}不是等比數(shù)列，因此等比數(shù)列的首項(xiàng)不是an。易錯(cuò)點(diǎn)2：忽略數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別致錯(cuò)例2設(shè)函數(shù)f（x）=，若數(shù)列{an}滿足an=f（n）（n∈N*），且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）。A.
中學(xué)生數(shù)理化·高三版 2019年1期2019-07-03
- 從子列的視角來判定等差（比）數(shù)列
n｝的前k項(xiàng)構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，且子列｛akn-s｝（其中s=0，1，2，…，k-1）都是公比為qk的等比數(shù)列，則｛an｝是等比數(shù)列．結(jié)論1的證明：因?yàn)椋鸻kn-s｝（其中s=0，1，2，…，k-1）是公差為kd的等差數(shù)列，所以akn-s=ak-s+（n-1）kd；又因?yàn)閍1，a2，…，ak構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，所以ak-s=a1+（k-s-1）d，于是akn-s=a1+（k-s-1）d+（n-1）kd=a1+（kns-1）d．注意到每一個(gè)正整數(shù)都可
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2019年4期2019-06-18
- 等差數(shù)列中等比數(shù)列子數(shù)列的探究
6成等比數(shù)列，且公比為4.是否存在無窮等比數(shù)列子數(shù)列，只要判斷在上面的等比數(shù)列，即首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都是等差數(shù)列的項(xiàng).解法：由an=3n-2得a1=1，a2=4，a6=16，所以存在不同的三項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比為4.下證等比數(shù)列的第4項(xiàng)也是等差數(shù)列中的項(xiàng)，記an1是數(shù)列的第四項(xiàng)，則an1a6=a6a2=4，而an1a6=a6a2=an1-a6a6-a2=（n1-6）×3（6-2）×3=4，所以n1=6+4×（6-2），同理，可以算得等比
中學(xué)課程輔導(dǎo)·高考版 2019年6期2019-05-21
- 數(shù)列易錯(cuò)題分析
是以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以正解：由上述分析可得又,所以數(shù)列{a}從第二項(xiàng)起是n以為公比的等比數(shù)列,即首項(xiàng)為所以當(dāng)n≥2時(shí)分析：本題易忽視首項(xiàng)與所有項(xiàng)的整體關(guān)系,事實(shí)上,數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起,以后各項(xiàng)組成等比數(shù)列,而{an}不是等比數(shù)列,因此等比數(shù)列的首項(xiàng)不是a1。易錯(cuò)點(diǎn)2：忽略數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別致錯(cuò)例2 設(shè)函數(shù)f(x)=若數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。錯(cuò)解：因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所
- 數(shù)列基礎(chǔ)訓(xùn)練A 卷參考答案
n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。理由如下:由條件可得又因?yàn)閎1=1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。18.(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)可得an=qn-1。由a5=4a3得q4=4q2，解得q=0(舍去)，q=-2，q=2。所以an=(-2)n-1或an=2n-1。(2)若an=(-2)n-1，則由Sm=6 3得(-2)m=-18 8，此方程沒有正整數(shù)解。若an=2n-1，則Sn=2n-1。由Sm=6 3得2m=6 4，解得m=6。綜上
- 數(shù)列強(qiáng)化訓(xùn)練B 卷參考答案
}是首項(xiàng)為-1，公比為-1的等比數(shù)列，所以an=(-1)n。(2)由(1)得bn=(2n-1)·(-1)n。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn=-1+3-5+7-當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，Tn=Tn+1-bn+1=(n+1)-(2n+1)=-n。故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=(-1)n·n。21.(1)因?yàn)镾n=2an-a1，Sn-1=2an-1-a1(n≥2)，兩式相減得an=2an-1(n≥2)。故數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列。又因?yàn)閍1，a2+1，a3成等差
- 全國(guó)名校等比數(shù)列測(cè)試題（A卷）答案與提示
{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列,所以Sn=2n-1。又當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2。當(dāng)n=1時(shí),a1=1,不適合上式。（2）a3,a5,…,a2n+1是以2為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,故:63.（1）當(dāng)n=1時(shí),S1=a（S1-a1+1）,故a1=a。當(dāng)n≥2時(shí),滿足:Sn=a（Sn-an+1）;Sn-1=a（Sn-1-an-1+1）。若{bn}為等比數(shù)列,則有=b1b3。而b1=2a2,b2=a3（2a+1）,b3=a4
- 全國(guó)名校等比數(shù)列測(cè)試題（A卷）
8a2015,則公比q的值為（ ）。A.2 B.3 C.4 D.82.在等比數(shù)列{an}中,a1=12,a2=24,則a4=（ ）。A.48 B.96C.128 D.1723.下列各組數(shù)成等比數(shù)列的是（ ）。①1,-2,4,-8;②-2,2,-22,4;③x,x2,x3,x4;④a-1,a-2,a-3,a-4。A.①② B.①②③C.①②④ D.①②③④4.等比數(shù)列{an}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的兩根,則a4等于（ ）。A.8 B.-8
- 全國(guó)名校數(shù)列綜合拔高卷（B卷）
8a2013,則公比q的值為（ ）。A.2 B.3 C.4 D.826.已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=3,a2+a3=6,則a7等于（ ）。A.64 B.81 C.128 D.24328.已知等差數(shù)列{an}的公差為3,若a1,a3,a4成等比數(shù)列,則a2等于（ ）。A.9 B.3 C.-3 D.-929.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1和a19為方程x2-10x+16=0的兩根,則a8·a10·a12等于（ ）。A.16 B.32 C.64
- 全國(guó)名校數(shù)列綜合拔高卷（B卷）答案與提示
比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍1=8,所以an=8qn-1。因此,8·8q·8q2=215,解得q=4。所以an=8·4n-1,an=22n+1。（2）由（1）得bn=2n+1,易知{bn}為等差數(shù)列,Sn=3+5+…+（2n+1）=n2+2n。三、解答題61.（1）由bn=log2an和b1+b2+b3=15由a1,12a5,2a3成等差數(shù)列,得a1+2a363.（1）由a2n-2nan-（2n+1）=0得[an-（2n+1）]· （an+1）=0,所
- 高中數(shù)學(xué)中如何由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)
∴數(shù)列an+3是公比為2，首項(xiàng)為a1+3=4的等比數(shù)列.∴an+3=4·2n-1=2n+1∴an=2n+1-3.注：待定的λ=（熟記后即可加快解題速度）類型四：（型如an+1=c·an+f（n））例4.在數(shù)列an中，a1=-1，an+1=2an+4·3n-1，求通項(xiàng)an.【解析】原遞推式可化為：=+.即=·+，記=bn，則bn+1=bn+.∴bn+1-=（bn-）∴數(shù)列bn-是公比為，首項(xiàng)為b1-=-的等比數(shù)列.∴bn-=（-）·（）n-1∴bn=-·（）
新課程·下旬 2018年5期2018-10-18
- 等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用
≠1為{an}的公比，則有(qr-qt)Sm=(qm-qt)Sr-(qm-qr)St，其中m,t,r∈N*且t≠r.例1 在等差數(shù)列{an}中，am=n，an=m，且m≠n，求am+n.解:令m=m+n，t=m，r=n代入性質(zhì)1得(n-m)am+n=(m+n-m)m-(m+n-n)n，化簡(jiǎn)得(n-m)am+n=0，又m≠n，所以am+n=0.例2 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sk-1=-2，Sk=0，Sk+1=3，則k=( ).A.3B.4C.5
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2018年8期2018-08-30
- 數(shù)列精選9題
=1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則an=2n-1。設(shè){bn}的公差為d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,則d=2,bn=2n-1。因n∈N*,則所以Tn-Tn-1=,即數(shù)列{Tn}是一個(gè)遞增數(shù)列,則≥=。綜上所述,≤＜。2.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2+1,a4+1,a8+1成等比數(shù)列,得(3+3d)2=(3+d)(3+7d),解得d=3或d=0(舍)。故an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。3.(1)因a1=1,且當(dāng)n≥
- 等比數(shù)列(第一課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)
數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公比，用q表示,(q ≠0)．（2）對(duì)定義的認(rèn)識(shí)①等比數(shù)列的首項(xiàng)不為0； ②等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0;2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式3.等比中項(xiàng)若a, G, b 成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).G2=ab4.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系n 的離散的點(diǎn).5.等比數(shù)列的判斷方法6.例題講解例1 一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18,求它的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)．解 設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是a1，公比是q，那么例2 已知{a },是項(xiàng)數(shù)相同的等
衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2018年9期2018-06-29
- 數(shù)列典型錯(cuò)解剖析
a，b，c，d的公比為q，則a+b=a(1+q)，b+c=aq(1+q)，c+d=aq2(1+q)所以a+b，b+c，c+d構(gòu)成首項(xiàng)為a(1+q)，公比為q的等比數(shù)列.錯(cuò)因上述解答中a≠0，q≠0是顯然的，但是當(dāng)q=-1時(shí)，1+q=0是可能的，故解答錯(cuò)誤.正解當(dāng)1+q=0時(shí)，a+b=b+c=c+d=0，故a+b，b+c，c+d不能構(gòu)成等比數(shù)列.1+q≠0，能構(gòu)成首項(xiàng)為a(1+q)，公比為q的等比數(shù)列.六、公比設(shè)法不當(dāng)致錯(cuò)錯(cuò)因上述具有對(duì)稱性的設(shè)法不失為一種好
數(shù)理化解題研究 2018年1期2018-05-09
- 三角與數(shù)列專題測(cè)試卷參考答案
以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列。則an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1。(2)由(1)知,bn=n·2n,所以Tn=1·2+2·22+…+n·2n,2Tn=1·22+2·23+…+n·2n+1,兩式相減得,-Tn=2+22+23+…+2n2n+1-2,所以Tn=(n-1)·2n+1+2。55.(1)由Sn=λ+(n-1)·2n,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=λ;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n-1)·2n-(n-2)·2n-1=n·2n-1,故數(shù)
- 隔項(xiàng)等差、等比數(shù)列問題的常見類型及求解策略
與{a2n}均為公比為16的等比數(shù)列，【變式】在數(shù)列{an}中，a1=1，anan+1=3n，求an.解: {a2n-1}與{a2n}均為公比為3的等比數(shù)列，∴a2n-1=3n-1，a2n=3×3n-1=3n，三、Sn=Aanan+1+B，A≠0，an≠0【例3】(2014·全國(guó)卷Ⅰ理·第17題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ為常數(shù).(Ⅰ)證明an+2-an=λ；(Ⅱ)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2017年4期2017-12-13
- 數(shù)列必考類型總結(jié)
項(xiàng)a1、公差d(公比q)、某項(xiàng)an、項(xiàng)數(shù)n、前n項(xiàng)和Sn這5個(gè)基本量,只要知道其中任意三個(gè)基本量,就可以求出另外兩個(gè)基本量。1.等差數(shù)列基本量的運(yùn)算(1)(2015年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)已知{an}為公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若S8=4S4,則a10=____(2)已知等差數(shù)列{an},它的前5項(xiàng)的和為34,最后5項(xiàng)的和為146,所有項(xiàng)的和為234,則a7=____解析:(1)由{an}的公差為1,S8=4S4?8a1+28=4(4a1+6
- 經(jīng)典題突破方法
比數(shù)列及其首項(xiàng)和公比,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng),是件輕而易舉的事。若不知該數(shù)列是否為等比數(shù)列時(shí),我們?nèi)绾蝸砬笏耐?xiàng)呢?一個(gè)字“變”!真可謂:變一變,天塹變通途。1.利用遞推關(guān)系,“變出”等比數(shù)列已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公比0＜q＜1,設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=an+1+an+2,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式。分析:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,那么{bn}也是等比數(shù)列嗎?可試探是為是常數(shù)。解:由題意知bn+1=an+2+an+3。又{an}是等比數(shù)列,公比為
- 數(shù)列綜合測(cè)試題（B卷）答案與提示
{an}是以2為公比的等比數(shù)列,所以求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n。=-(n-5)2+25,當(dāng)n=5時(shí),Sn取得最大值。52.(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q。因?yàn)閙,t為正整數(shù),所以t只能取2,3,5。當(dāng)t=2時(shí),m=7;當(dāng)t=3時(shí),m=5;當(dāng)t=5時(shí),m=4。所以存在正整數(shù)t,使得b1,b2,bm成等差數(shù)列。55.(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因?yàn)閍1,a4,a13分別是等比數(shù)列{bn}的b2,b3,b4項(xiàng),所以(a1+3d)2
- 尋易錯(cuò)之源，覓糾錯(cuò)之道
數(shù)列中的每一項(xiàng)及公比不能為零，所以由x2=ab不一定能推出a， x， b成等比數(shù)列，反過來，a， x， b成等比數(shù)列，有x2=ab，但是不一定推出x=■.正解：選D，若x=■，則x2=ab，但x， a， b有可能為零，因此推不出成a， x， b等比數(shù)列，反過來，a， x， b成等比數(shù)列，有x2=ab，所以x=±■，因此x=■是a， x， b成等比數(shù)列的既不充分也不要條件.變式1：已知Sn為數(shù)列{ an }的前n項(xiàng)和，且有Sn=bn+■，試判斷{ an }是
廣東教育·高中 2017年5期2017-07-31
- 從等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)談定義的功能
本量，首項(xiàng)a1、公比q、項(xiàng)數(shù)n、末項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn，我們能否像等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn那樣用三個(gè)基本量來表達(dá)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn呢？與推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一樣，我們也從等比數(shù)列的定義入手.思路一從等比數(shù)列的定義入手，充分運(yùn)用公比在等比數(shù)列相鄰兩項(xiàng)間的傳遞作用，即a1q=a2，a2q=a3，…，an-1q=an，Sn=a1+a2+…+an-1+an.觀察這個(gè)等式，結(jié)合剛才的分析，對(duì)這個(gè)等式兩邊同乘公比q的話，恰好可以得到下列的表達(dá)式：qSn=a2+…+a
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2017年8期2017-04-29
- 由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法
a1+λ為首項(xiàng),公比為k的公比數(shù)列,由此求出 {An}的通項(xiàng),進(jìn)而求出{an}的通項(xiàng)。2.形如f(n)=kn+b,即an+1=kan+kn+b,求通項(xiàng)方法如下。不妨設(shè)an+1+x(n+1)+y=c(an+xn+y)。解出k,b。再代入原式得到數(shù)列{An},其首項(xiàng)為a1+x+y,公比為c,進(jìn)而求出{an}的通項(xiàng)。4.形如an+2=kan+1+dan時(shí),如何求?設(shè)an+2-xan+1=y(an+1-xan),則:解得,。xy可得到一個(gè)新的等比數(shù)列{An},進(jìn)而
- “好玩”的數(shù)列接龍
數(shù)列1、2、4（公比為2），在此基礎(chǔ)上連接三項(xiàng)等差數(shù)列。如何連接呢？首先，4-2=2，以2這個(gè)差數(shù)作為公差進(jìn)行計(jì)算：4+2=6，從而在等比數(shù)列1、2、4之后添上6，這樣1、2、4、6就成為所要求的數(shù)列接龍了。再例如：推出一個(gè)四項(xiàng)等差數(shù)列1、2、3、4（公差為1），在此基礎(chǔ)上連接四項(xiàng)等比數(shù)列。如何連接呢？首先，4÷3=4/3，以4/3這個(gè)商數(shù)作為公比進(jìn)行計(jì)算：4×4/3=16/3，16/3×4/3=64/9，從而在四項(xiàng)等差數(shù)列1、2、3、4之后添上16/3和
數(shù)學(xué)大世界 2017年27期2017-02-25
- 論高次方程
a1×a2×（公比－1）2。舉例如下：例1 1、2、4、6這樣的等比等差數(shù)列，則（2×4）－（1×6）=1×2×（公比2－1）2=1×2×12=2。例2 8、24、72、120這樣的等比等差數(shù)列，則（24×72）－（8×120）=8×24×（公比3－1）2=8×24×22=768。例3 3、15、75、135這樣的等比等差數(shù)列，則（15×75）－（3×135）=3×15×（公比5－1）2=3×15×42=720。例4 2、5、12.5、20這樣的等比等差
數(shù)學(xué)大世界 2017年24期2017-02-25
- 數(shù)列論
二階等比數(shù)列（設(shè)公比為x）：（1）其中任何連續(xù)三項(xiàng)，首尾兩項(xiàng)之積減去中項(xiàng)的平方所得的差數(shù)構(gòu)成二階等比數(shù)列，公比是x2。（2）其中任何連續(xù)N（N＞3）項(xiàng)，首尾兩項(xiàng)之積減去與首尾兩項(xiàng)相鄰的兩項(xiàng)之積所得的差數(shù)構(gòu)成二階等比數(shù)列，公比也是x2。例1 七項(xiàng)的二階等比數(shù)列2、2、4、16、128、2048、65536（從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)除以前項(xiàng)之商為1、2、4、8、16、32這樣公比為2的等比數(shù)列）：關(guān)于連續(xù)三項(xiàng)：（首項(xiàng)）2×4-（中項(xiàng)）22=4，（亞項(xiàng)）2×16-42
數(shù)學(xué)大世界 2017年19期2017-02-25
- 淺析“錯(cuò)位相減法”在高中數(shù)學(xué)數(shù)列中的應(yīng)用
以q(q≠1)為公比的等比數(shù)列.該題型是老師在教授“錯(cuò)位相減法”過程中最常采用的類型，應(yīng)用最簡(jiǎn)單的錯(cuò)位相減，經(jīng)化簡(jiǎn)后即可得到相應(yīng)結(jié)果.其中，σn=a1b1+a2b2+…+anbn,則qσn=qa1b1+qa2b2+…+qanbn=a1b2+a2b3+…+anbn+1.兩式錯(cuò)位相減得:(1-q)σn=a1b1+d(b2+…+bn)-anbn+1，所以σn=(a1b1-anbnq)/(1-q)+dq(b1-bn)/(1-q)2.題型二 求數(shù)列{anTn}的前n
數(shù)理化解題研究 2016年28期2016-12-16
- 等差數(shù)列中等比子數(shù)列的探究
6成等比數(shù)列,且公比為4.是否存在無窮等比子數(shù)列,只要判斷首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都是等差數(shù)列的項(xiàng).解 由an=3n-2,得a1=1,a2=4,a6=16,所以存在不同的3項(xiàng)成等比數(shù)列,且公比為4.下證等比數(shù)列的第4項(xiàng)也是等差數(shù)列中的項(xiàng).所以n1=6+4×(6-2).同理,可以算得等比數(shù)列的第5項(xiàng)an2,其中n2=n1+4(n1-6),…,依次可以得到下一項(xiàng),從而一定存在無窮等比子數(shù)列.2) 說明等差數(shù)列中存在無窮等比子數(shù)列是先找出3項(xiàng)構(gòu)成等
高中數(shù)理化 2016年18期2016-05-04
- 對(duì)一道高考題的再探究
3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_________.解析：顯然有q＞1.依題意，數(shù)列a1，a2，…，a7可改寫成：1，a2，q，a2+1，q2，a2+2，q3.于是可得不等式1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，故可得不等式組這種解法雖未影響答案的正確性，但顯然犯“思考不周”之錯(cuò).例2設(shè)1=a1≤a2≤…≤a9，其中a1，a3，a5，a7，a9成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6，a8成公差
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年2期2015-01-31
- 有機(jī)整合凸顯交匯
an}中抽取一個(gè)公比為q的等比數(shù)列{bkn}，其中k1=1，且k1①當(dāng)q取最小值時(shí)，求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)公式；②若關(guān)于n（n∈N*）的不等式6Sn>kn+1有解，試求q的值.分析：等差數(shù)列中抽取部分項(xiàng)成等比數(shù)列時(shí)，以等差數(shù)列為基礎(chǔ)，利用“等比數(shù)列{bkn}每一項(xiàng)為等差數(shù)列{an}中的項(xiàng)”這一限制條件，對(duì)公比q逐步進(jìn)行驗(yàn)證、取舍，直到滿足.當(dāng)q>1且q∈N時(shí)符合題意，再由不等式6Sn>kn+1有解，歸納猜想并證明q的取值范圍為2，3，4.（2）因數(shù)列{an}
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年19期2015-01-31
- 數(shù)列測(cè)試卷（A卷）
=13，則Sn的公比q等于（ ? ?）A. - B. ? C. 3或- D. 33. 公比為的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11=16，則log2a16等于（ ? ?）？搖A. 4 B. 5 ? C. 6 D. 74. 已知{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn取得最大值時(shí)n的值為（ ? ?）A. 18 B. 19 ? C. 20 D. 215. 已知數(shù)列{an}中，a3=2
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2014年11期2014-12-13
- 高考遞推數(shù)列“總攻略”
而得數(shù)列an+是公比為p的等比數(shù)列.相減法：由a=pan+q，得an=pa+q，兩式相減，得a-a=p（a-a）. 故數(shù)列a-a是首項(xiàng)為a-a，公比為p的等比數(shù)列，即a-a=（a-a）pn-1，再將其轉(zhuǎn)化為類型一，即可得an .設(shè)數(shù)列{an}滿足a=a，a=ca+1-c，n∈N？鄢，其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解析？搖令an+1+λ=p（an+λ），與原式比較，得an+1-1=c（an-1）. 當(dāng)a≠1時(shí)，知{an-1}是首項(xiàng)為a
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2014年11期2014-12-13
- 淺談數(shù)列通項(xiàng)公式的求法
求出首項(xiàng)與公差（公比），然后再寫出通項(xiàng).三、前n項(xiàng)和法（知Sn求an）若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an，可用公式an=S1，Sn-Sn-1，n=1，n≥2求解.例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an+（-1）n，n≥1.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解由a1=S1=2a1-1a1=1.當(dāng)n≥2時(shí)，有an=Sn-Sn-1=2（an-an-1）+2×（-1）n，∴an=2an-1+2×（-1）n-1 ，an-1=2an-2
理科考試研究·高中 2014年11期2014-11-26
- 遞推數(shù)列類型分析
n+3是首項(xiàng)為4公比為2的等比數(shù)列.∴an+3= 2n+1.∴an=2n+1-3.一般地，an=kan-1+b（k≠0且k≠1，b≠0）型遞推公式，可通過待定系數(shù)法構(gòu)造公比為k的等比數(shù)列求通項(xiàng).四、an=pan-1qan-1+r型例4在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an=an-12an-1+1 （n≥2） 求an.解：兩邊取倒數(shù)得1an=1an-1+2.∴1an 是以一為1首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列.∴ 1an=2n-1.∴ an=12n-1.五、an=pan
中學(xué)生數(shù)理化·教與學(xué) 2014年10期2014-10-22
- 等比數(shù)列及前n項(xiàng)和
數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，常用字母q表示；如果等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，那么它的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1，由此知an是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù). 如果三個(gè)數(shù)a，G，b組成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G2=ab. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q≠1時(shí)，endprint理解等比數(shù)列的概念；掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2014年5期2014-08-11
- 走出錯(cuò)位相減的誤區(qū)
項(xiàng)和公式Sn=（公比q≠1）的推導(dǎo)過程，它常用于求解形如{anbn}數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn，其中{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比q≠1的等比數(shù)列.使用錯(cuò)位相減法的步驟為：（1） 錯(cuò)位. 列出數(shù)列{anbn}前n項(xiàng)之和Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （①），在①式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比q，得到qTn=a1b2+a2b3+…+anbn+1 （②）.（2） 相減. ①-②可得（1-q）Tn=a1b1+（a2-a1）b2+…+（an-an
中學(xué)生天地·高中學(xué)習(xí)版 2014年1期2014-02-14
- 轉(zhuǎn)化法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式
}是n首項(xiàng)為2、公比為3的等比數(shù)列.an+1=2·3n－1，即an=2·3n－1－1.二、倒數(shù)變換點(diǎn)評(píng)：本題通過對(duì)題設(shè)中的遞推公式取倒數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化、構(gòu)造出新的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決問題.三、除冪變換將遞推公式an+1=can+dn（c、d為非零常數(shù)，c≠1，d≠1）除以dn+1變?yōu)槔?已知{an}中，a1=1，an=2an－1+2n（n≥2），求an.四、對(duì)數(shù)變換將遞推公式an+1=canp（an>0，c.0，p>0，p≠1），取對(duì)數(shù)得lga
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年9期2012-08-28
- 例談數(shù)列復(fù)習(xí)中的七點(diǎn)注意事項(xiàng)
1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴an=2n-1剖析：由于沒有注意起始值問題而導(dǎo)致錯(cuò)誤，事實(shí)上，①中n≥2，②中n≥1，從而③中應(yīng)當(dāng)n≥2，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起才是等比數(shù)列。顯然a2=S1=a1=1，所以正確的通項(xiàng)公式為an=二、注意等比數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為零由等比數(shù)列的定義可知等比數(shù)列中的每一項(xiàng)均不為零，在解題中容易忽視此條件而導(dǎo)致解題失誤。例2：⑴b2=ac是a，b，c成等差數(shù)列的（ ）。A、充分但不必要條件B、必要但不充分條件C、充要條件D、既
讀寫算·素質(zhì)教育論壇 2011年11期2011-09-26
- 一道課本習(xí)題結(jié)論的探索和引申
、d成等比數(shù)列(公比為q)，求證：(1)如果q≠1，那么，a+b、b+c、c+d成等比數(shù)列.(2)略.對(duì)于這道題的證明并不困難，但這道題的結(jié)論：“等比數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之和也成等比數(shù)列”卻給我們以聯(lián)想，相鄰兩項(xiàng)之差、積、商是否成等比數(shù)列呢?對(duì)此我們進(jìn)行研究，為便于行文，設(shè)數(shù)列{a璶}為等比數(shù)列，公比為q(|q|≠1).注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/div>
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年1期2008-12-10
- 有關(guān)數(shù)列求通項(xiàng)題的歸類分析
１，a２，a３成公比不為1的等比數(shù)列，求aｎ.解：由題意a１=2，a２=2+c，a３=2+3c，ａ2２ =a１a３，（2+c）２=2（2+3c），解得c=0或c=2．因?yàn)?span id="syggg00" class="hl">公比不為1，所以c=2．故an+1-aｎ=2n，aｎ-a１=（a２-a１）+…+（aｎ-an-1）=2+4+…＋2（n-1）=n（n-1）.即aｎ=n２-n+2（n≥2）．當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立.所以aｎ=n２-n+2.2. 構(gòu)造特殊數(shù)列.形如an+1=caｎ+f（n）（c≠0），一般采用中學(xué)生數(shù)理化·教與學(xué) 2008年7期2008-11-04
- 有關(guān)數(shù)列求通項(xiàng)題的歸類分析