楊天潼●

湖南省長沙市雅禮中學(xué)(410000)

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淺析“錯(cuò)位相減法”在高中數(shù)學(xué)數(shù)列中的應(yīng)用

楊天潼●

湖南省長沙市雅禮中學(xué)(410000)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一部分，也是高考經(jīng)常考查的知識(shí)點(diǎn)之一.“錯(cuò)位相減法”是推導(dǎo)等差乘等比數(shù)列前n項(xiàng)和最主要的方法，我們應(yīng)學(xué)會(huì)并掌握它們的有關(guān)性質(zhì)、通項(xiàng)公式和求和公式等來解決學(xué)習(xí)中遇到的該類問題，這可以有效地提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)成績.本文就錯(cuò)位相減法在高中數(shù)學(xué)數(shù)列中的應(yīng)用進(jìn)行了分析與總結(jié)，希望有助于加深同學(xué)們對錯(cuò)位相減法的理解和在實(shí)際解題過程中的應(yīng)用.

錯(cuò)位相減法；高中數(shù)學(xué)；數(shù)列

“錯(cuò)位相減法”是高中數(shù)學(xué)中常用的解決數(shù)列問題的方法之一，教師在介紹這類方法時(shí)通常以{an·bn}(其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列)的例子來進(jìn)行解析，而同學(xué)們平?？荚囍谐霈F(xiàn)的題目一般是經(jīng)變形的復(fù)雜題型，這就需要我們根據(jù)實(shí)際情況，靈活運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”對題目進(jìn)行解析.本文就針對平時(shí)出現(xiàn)的幾種題型，分析了“錯(cuò)位相減法”在數(shù)列題型解析中的實(shí)際應(yīng)用.

題型一 求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和σn，an是以d為公差的等差數(shù)列；bn是以q(q≠1)為公比的等比數(shù)列.

該題型是老師在教授“錯(cuò)位相減法”過程中最常采用的類型，應(yīng)用最簡單的錯(cuò)位相減，經(jīng)化簡后即可得到相應(yīng)結(jié)果.其中，σn=a1b1+a2b2+…+anbn,

則qσn=qa1b1+qa2b2+…+qanbn=a1b2+a2b3+…+anbn+1.

兩式錯(cuò)位相減得:(1-q)σn=a1b1+d(b2+…+bn)-anbn+1，所以σn=(a1b1-anbnq)/(1-q)+dq(b1-bn)/(1-q)2.

題型二 求數(shù)列{anTn}的前n項(xiàng)和σn，an是以d為公差的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn，Tn是以q(q≠1)為公比的等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和．

該類題型分為兩種情況，當(dāng)an為1時(shí)，則

σn′=T1+T2+…+Tn=b1+(b1+b2)+…+(b1+b2+…+bn),所以qσ′n=qT1+qT2+…+qTn=qb1+q(b1+b2)+…+q(b1+b2+…+bn)=b2+(b2+b3)+…+(b2+b3+…+bn+1).

應(yīng)用錯(cuò)位相減得:(1-q)σn′=nb1-qTn,

最終求得σ′n=(nb1-qTn)/(1-q).

當(dāng)an不為1時(shí)，則σn=a1T1+a2T2+…+anTn=a1b1+a2(b1+b2)+…+an(b1+b2+…+bn),

所以qσn=qa1T1+qa2T2+…+qanTn=qa1b1+qa2(b1+b2)+…+qan(b1+b2+…+bn)=a1b2+a2(b2+b3)+…+an-1(b2+b3+…+bn)+qanTn.

錯(cuò)位相減得到：(1-q)σn=(a1+a2+…+an)b1+d[b2+(b2+b3)+…+(b2+b3+…+bn)]-qanTn=(Sn-nd)b1+dσn′-qanTn.

經(jīng)整理后σn=[(Sn-nd)b1-qanTn]/(1-q)+[d(nb1-qTn)]/(1-q)2.

題型三 求數(shù)列{Snbn}的前n項(xiàng)和σn，其中Sn是以公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn是以q(q≠1)為公比的等比數(shù)列．σn=S1b1+S2b2+…+Snbn，所以qσn=qS1b1+qS2b2+…+qSnbn.

由于an=Sn-Sn-1，所以上述兩式相減得到

(1-q)σn=a1b1+a2b2+…+anbn-Snbn+1.

根據(jù)題型一可得到σn=(a1b1-anbn+1)/(1-q)2+dq(b1-bn)/(1-q)3-Snbn+1/(1-q).

題型四 求數(shù)列{SnTn}的前n項(xiàng)和σn，其中Sn是以q1(q1≠1)為公比的等比數(shù)列b1n的前n項(xiàng)和，Tn是以q2(q2≠1)為公比的等比數(shù)列b2n的前n項(xiàng)和．

σn=S1T1+S2T2+…+SnTn,

則qσn=qS1T1+qS2T2+…+qSnTn.

上式相減得到(1-q)σn=(S1+S2+…+Sn)b1+(S2-S1)b2+…+(Sn-Sn-1)(b2+b3+…+bn)-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn)b1+a2(T2-b1)+…+an(Tn-b1)-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-Snb1-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn-1)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-q2SnTn.所以σn=[(S1+S2+…+Sn-1)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-q2SnTn]/(1-q).

題型五 求數(shù)列{anTn}的前n項(xiàng)和σn，其中an是以q1(q1≠1)為公比的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，Tn是以q2(q2≠1)為公比的等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和．

σn=a1T1+a2T2+…+anTn,

則q1σn=q1a1T1+q1a2T2+…+q1anTn=a2b1+a3(b1+b2)+a4(b1+b2+b3)+…+an(b1+b2+…+bn-1)+an+1Tn.

“錯(cuò)位相減法”在數(shù)列中的應(yīng)用十分重要與廣泛，歸根結(jié)底，是用最基本的“加、減、乘、除”來解決復(fù)雜冗長的數(shù)列問題.我們在解題過程中也應(yīng)避免生搬硬套公式和解題方法，應(yīng)學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用，巧妙解題.

[1]王躍進(jìn)，牛偉強(qiáng).一道值得探究的高考壓軸題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(下旬)，2010(3)

[2]王新星.例談高考數(shù)列中的不等式證明[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2009(4)

[3]侯國亮.淺論如何應(yīng)用差分方程求數(shù)列的通項(xiàng)公式[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2012(5)

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