哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方

論高次方程

哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方

本文以等比等差復(fù)合數(shù)列為導(dǎo)向，揭示了高次方程上不封頂?shù)淖呦?，推出了關(guān)于高次方程的四個(gè)定律，并且對(duì)“五次以上的方程無(wú)解”具有一定的挑戰(zhàn)性。

高次方程；等比等差復(fù)合數(shù)列；定律；指數(shù)；系數(shù)

定律：任何四項(xiàng)的數(shù)列a1、a2、a3、a4，并且a1、a2、a3為三項(xiàng)的等比數(shù)列，a2、a3、a4為三項(xiàng)的等差數(shù)列（如此數(shù)列稱作等比等差復(fù)合數(shù)列），則（a2×a3）－（a1×a4）= a1×a2×（公比－1）2。

舉例如下：

例1 1、2、4、6這樣的等比等差數(shù)列，則（2×4）－（1×6）=1×2×（公比2－1）2=1×2×12=2。

例2 8、24、72、120這樣的等比等差數(shù)列，則（24×72）－（8×120）=8×24×（公比3－1）2=8×24×22=768。

例3 3、15、75、135這樣的等比等差數(shù)列，則（15×75）－（3×135）=3×15×（公比5－1）2=3×15×42=720。

例4 2、5、12.5、20這樣的等比等差數(shù)列（前三項(xiàng)的公比為2.5，后三項(xiàng)的公差為7.5），則（5×12.5）－（2×20）=2×5×（2.5－1）2=22.5。

另外，在研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：（21+9）－（17+11）=（21×9）－（17×11）=（21－9）÷（17－11）=2。如此這般，運(yùn)算符號(hào)改變卻結(jié)果數(shù)不變，并且9÷21=0.428571（如此循環(huán)小數(shù)），11÷17=0.6470588235294117（如此十六位循環(huán)小數(shù)，并且小數(shù)點(diǎn)之后除了0、3、6、9四個(gè)數(shù)，其他的數(shù)4、2、8、5、7、1均存在兩個(gè)）。這樣的數(shù)字難道獨(dú)一無(wú)二嗎？

定律的普遍意義：數(shù)學(xué)是宇宙的語(yǔ)言。該定律昭示：其中的等比數(shù)列可稱為雄性，等差數(shù)列可稱為雌性，a1×a2×（公比－1）2可稱為兩性復(fù)合交配所產(chǎn)生的后代，（公比－1）2可稱為遺傳的基因。

等比等差復(fù)合數(shù)列的概念：等比等差這兩樣數(shù)列重復(fù)性配合在一起。重復(fù)性在于：等比數(shù)列的最后一項(xiàng)是等差數(shù)列的第二項(xiàng)，等比數(shù)列的“倒數(shù)”第二項(xiàng)是等差數(shù)列的首項(xiàng)，從而造成這樣的事實(shí)：該復(fù)合數(shù)列的中間兩項(xiàng)被等比等差這兩樣數(shù)列所共有同管。等比等差復(fù)合數(shù)列孕育高次方程的新常態(tài)，“高次”得無(wú)窮無(wú)盡無(wú)窮大，上不封頂，要多少就有多少，可實(shí)現(xiàn)滿意的期望值。該復(fù)合數(shù)列是知識(shí)爆炸的導(dǎo)火索，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的新大陸。

等比等差復(fù)合數(shù)列的綜合定律之一：對(duì)于該數(shù)列來(lái)說(shuō)：（1）當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是大于3的偶數(shù)時(shí)（a1、a2、a3、a4……），則等比等差這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)都為該復(fù)合數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的一半再加1；該復(fù)合數(shù)列的項(xiàng)數(shù)必須是偶數(shù)，以便能被2整除。（2）當(dāng)該復(fù)合數(shù)列的“項(xiàng)數(shù)”是4時(shí)，則（a2×a3）－（a1×a4）= a1×a2×（x－1）2×1x0，由于x的系數(shù)是1并且指數(shù)是零，該數(shù)值等于1，1x0作為乘數(shù)不影響方程的成立，似乎有無(wú)均可，但是1x0卻是基礎(chǔ)性的存在??！當(dāng)“項(xiàng)數(shù)”是6時(shí)，則與該數(shù)列首尾兩項(xiàng)相鄰的兩項(xiàng)相乘之積減去首尾兩項(xiàng)相乘之積（以下同理）：（a2×a5）－（a1×a6）= a1×a2×（x－1）2× 2x；當(dāng)“項(xiàng)數(shù)”是8時(shí)，則（a2×a7）－（a1×a8）= a1×a2×（x－1）2×3x2；當(dāng)“項(xiàng)數(shù)”是10時(shí)，則（a2×a9）－（a1×a10）= a1×a2×（x－1）2×4x3；當(dāng)“項(xiàng)數(shù)”是12時(shí)，則（a2×a11）－（a1×a12）= a1×a2×（x－1）2×5x4；當(dāng)“項(xiàng)數(shù)”是14時(shí)，則（a2×a13）－（a1×a14）= a1×a2×（x－1）2×6x5；如此這般發(fā)展下去，其中x為該等比數(shù)列的公比（公比可以是小數(shù)分?jǐn)?shù)，如2.5之類），其中所有的乘數(shù)“1x0、2x、3x2、4x3、5x4、6x5……”之類的系數(shù)構(gòu)成無(wú)窮的自然數(shù)列，并且指數(shù)構(gòu)成零和無(wú)窮的自然數(shù)列。存在這樣的規(guī)律：該復(fù)合數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減去2之差除以2等于系數(shù)，系數(shù)減去1等于指數(shù)。例如：“項(xiàng)數(shù)”是14時(shí)涉及6x5，（14－2）÷2=6，6－1=5。（3）如上所述，等比等差復(fù)合數(shù)列的項(xiàng)數(shù)及其所涉及的系數(shù)和指數(shù)存在連鎖反應(yīng)，項(xiàng)數(shù)的大小決定系數(shù)和指數(shù)的大小，并且無(wú)窮無(wú)限之大，要多大就有多大，上不封頂，隨心所欲，感受神奇，如此這般，要?dú)w功于組合數(shù)學(xué)。等比等差復(fù)合數(shù)列就是把等差數(shù)列和等比數(shù)列有機(jī)地組合了。

例1 10項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列1、2、4、8、16、32、48、64、80、96，其中前六項(xiàng)為等比數(shù)列（公比為2），后六項(xiàng)為等差數(shù)列（公差為16），則（2×80）－（1×96）=1×2×（公比2－1）2×（4×23）=64。

例2 8項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列3、9、27、81、243、405、567、729，則（9×567）－（3×729）=3×9×（公比3－1）2×（3×32）=2916。

例3 14項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列1、2、4、8、16、32、64、128、192、256、320、384、448、512，則（2×448）－（1×512）=1×2×（公比2－1）2×（6×25）=384。

例4 8項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列4、10、25、62.5、156.25、250、343.75、437.5（前五項(xiàng)的公比是2.5，后五項(xiàng)的公差是93.75），則（10×343.75）－（4×437.5）=4×10×（公比2.5－1）2×（3×2.52）=1687.5。

例5 8項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列200、100、50、25、12.5、0、－12.5、－25（前五項(xiàng)的公比是0.5，后五項(xiàng)的公差是－12.5），則［100×（－12.5）］－［200×（－25）］=200×100×（公比0.5－1）2×（3×0.52）=3750。

為什么稱作等比等差復(fù)合數(shù)列呢？因?yàn)榈缺鹊炔顑蓚€(gè)數(shù)列不是前后銜接，而是重復(fù)性交接。也就是說(shuō)，等比數(shù)列的尾項(xiàng)是等差數(shù)列的第二項(xiàng)，等比數(shù)列倒數(shù)第二項(xiàng)是等差數(shù)列的首項(xiàng)，等比等差兩個(gè)數(shù)列有兩個(gè)相同的數(shù)字。如此這般，兩個(gè)數(shù)列及其后續(xù)運(yùn)算有機(jī)地組合起來(lái)，這就是組合數(shù)學(xué)。隨著科學(xué)的發(fā)展和時(shí)代的進(jìn)步，組合數(shù)學(xué)日益顯示出了強(qiáng)大的生命力和滿意的期望值。數(shù)學(xué)大師陳省身說(shuō)“數(shù)學(xué)好玩”。等比等差數(shù)列這種有機(jī)的組合恰似抱團(tuán)取暖，可以產(chǎn)生一定的規(guī)模效應(yīng)，從而提高數(shù)學(xué)的層次，往往具有“好玩”的性能，特別有助于開(kāi)發(fā)青少年的智力，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的愛(ài)好，當(dāng)涉及的數(shù)字較大時(shí)，可充分發(fā)揮計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的作用。

等比等差復(fù)合數(shù)列的綜合定律之二：對(duì)于該數(shù)列來(lái)說(shuō)：（1）當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是大于5的偶數(shù)時(shí)（a1、a2、a3、a4、a5、a6……），則等比等差這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)都為該復(fù)合數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的一半再加1；該復(fù)合數(shù)列的項(xiàng)數(shù)必須是偶數(shù)，以便能被2整除）。（2）當(dāng)該復(fù)合數(shù)列的“項(xiàng)數(shù)”是6時(shí)，則該數(shù)列中間兩項(xiàng)的相乘之積減去與中間兩項(xiàng)相鄰的兩項(xiàng)相乘之積（以下同理）：（a3×a4）－（a2×a5）= a1×a2×（x－1）2×x2；當(dāng)“項(xiàng)數(shù)”是8時(shí)，則（a4×a5）－（a3×a6）= a1×a2×（x－1）2×x4；當(dāng)“項(xiàng)數(shù)”是10時(shí)，則（a5×a6）－（a4×a7）= a1×a2×（x－1）2×x6；當(dāng)“項(xiàng)數(shù)”是12時(shí)，則（a6×a7）－（a5×a8）= a1×a2×（x－1）2×x8；如此這般發(fā)展下去，其中x為該等比數(shù)列的公比（公比可以是小數(shù)分?jǐn)?shù)，如2.5之類），其中所有的乘數(shù)“x2、x4、x6、x8”之類的指數(shù)構(gòu)成無(wú)窮的以2為首項(xiàng)的偶數(shù)數(shù)列，并且“項(xiàng)數(shù)”減去4等于該乘數(shù)的指數(shù)，項(xiàng)數(shù)的大小決定指數(shù)的大小，項(xiàng)數(shù)越大指數(shù)越大，上不封頂，隨心所欲，感受神奇。

例1 8項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列4、10、25、62.5、156.25、250、343.75、437.5（前五項(xiàng)的公比是2.5，后五項(xiàng)的公差是93.75），則（62.5×156.25）－（25×250）=4×10×（公比2.5－1）2×2.54=3515.625。

例2 8項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列200、100、50、25、12.5、0、－12.5、－2.5（前五項(xiàng)的公比是0.5，后五項(xiàng)的公差是－12.5），則（25×12.5）－（50×0）=200×100×（0.5－1）2×0.54=312.5。

等比等差復(fù)合數(shù)列的綜合定律之三：任何四項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列a1、a2、a3、a4，則（a2×a4）－（a1×a3）=2（x ×a1）2（x－1），x為前三項(xiàng)等比數(shù)列的公比。

例1 四項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列5、25、125、225（后三項(xiàng)等差數(shù)列的公差是100），則（25×225）－（5×125）=2×（公比5×首項(xiàng)5）2×（公比5－1）=5000。

例2 4、24、144、264，則（24×264）－（4×144）=2×（公比6×首項(xiàng)4）2×（公比6－1）=5760。

例3 四項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列2、4、8、12，則（4×12）－（2×8）=2×（公比2×首項(xiàng)2）2×（公比2－1）=32。

例4 四項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列5、15、45、75，則（15×75）－（5×45）=2×（公比3×首項(xiàng)5）2×（公比3－1）=900。

如例題所示，前三項(xiàng)為等比數(shù)列，后三項(xiàng)為等差數(shù)列，這樣的復(fù)合數(shù)列都符合綜合定律之三，該定律之中的系數(shù)和指數(shù)都是2。

等比等差復(fù)合數(shù)列的綜合定律之四：對(duì)于該數(shù)列來(lái)說(shuō)：（1）當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是大于5的偶數(shù)時(shí)（a1、a2、a3、a4、a5、a6……），則等比等差這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)都為該復(fù)合數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的一半再加1；該復(fù)合數(shù)列的項(xiàng)數(shù)必須是偶數(shù)，以便能被2整除。（2）當(dāng)該復(fù)合數(shù)列的“項(xiàng)數(shù)”是6時(shí)，則該數(shù)列的第二項(xiàng)與最后一項(xiàng)這兩項(xiàng)的相乘之積減去該數(shù)列的首項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)這樣兩項(xiàng)的相乘之積（以下同理）：當(dāng)a1、a2、a3、a4的公比x=3時(shí)，則（a2×a6）－（a1×a5）=（a1）2×4×4x2；當(dāng)公比x=2時(shí)，則（a2×a6）－（a1×a5）=（a1）2×5x2。當(dāng)“項(xiàng)數(shù)”是8時(shí)，a1、a2、a3、a4、a5的公比x=3時(shí)，則（a2×a8）－（a1×a7）=（a1）2×4×5x3；當(dāng)公比x=2時(shí)，則（a2×a8）－（a1×a7）=（a1）2×6x3。當(dāng)“項(xiàng)數(shù)”是10時(shí)，a1、a2、a3、a4、a5、a6的公比x=3時(shí)，則（a2×a10）－（a1×a9）=（a1）2×4×6x4，當(dāng)公比x=2時(shí)，則（a2×a10）－（a1×a9）=（a1）2×7x4。如此這般，對(duì)相同“項(xiàng)數(shù)”的兩個(gè)復(fù)合數(shù)列來(lái)說(shuō)，公比是3和是2，其系數(shù)為相鄰的自然數(shù)（如6x4、7x4之中的6和7是相鄰的自然數(shù)）；對(duì)于所有復(fù)合數(shù)列的“項(xiàng)數(shù)”（如6、8、10、12……）不斷偶數(shù)化，x的指數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)的自然數(shù)列，所有指數(shù)的次數(shù)上不封頂，隨心所欲，感受神奇。項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、指數(shù)存在連鎖反應(yīng)的規(guī)律性：系數(shù)是項(xiàng)數(shù)的一半所產(chǎn)生的連續(xù)兩個(gè)自然數(shù)，指數(shù)是所連續(xù)的第一個(gè)自然數(shù)減去2所得的差數(shù)（例如當(dāng)項(xiàng)數(shù)是6時(shí)，6的一半是3，4x2和5x2之中的4和5是3的連續(xù)兩個(gè)自然數(shù)，指數(shù)2是4減去2之差）。等比等差復(fù)合數(shù)列堪稱數(shù)學(xué)的富礦，存在許多神奇奧妙有待開(kāi)發(fā)??！

例1 公比x=3時(shí)，8項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列5、15、45、135、405、675、945、1215（后5項(xiàng)等差數(shù)列的公差為270），則（15×1215）－（5×945）=52×4×（5×33）=13500。

例2 公比x=2時(shí)，8項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列3、6、12、24、48、72、96、120（后5項(xiàng)的公差為24），則（6×120）－（3×96）=32×（6×23）=432。

例3 公比x=2時(shí)，6項(xiàng)的等比等差復(fù)合數(shù)列0.5、1、2、4、6、8，則（1×8）－（0.5×6）=0.52×（5×22）=5。

學(xué)問(wèn)，學(xué)問(wèn)是什么？學(xué)問(wèn)就是把原本簡(jiǎn)單的東西搞復(fù)雜，或者把原本復(fù)雜的東西搞簡(jiǎn)單?。‘?dāng)然，所搞成的復(fù)雜或簡(jiǎn)單都是經(jīng)得起實(shí)踐檢驗(yàn)的真理啊！

方程的定義是“含有未知數(shù)的等式”，如此等式在本文中比比皆是，且為高次方程。數(shù)學(xué)歷史出現(xiàn)過(guò)阿貝爾關(guān)于五次以上的方程無(wú)解之說(shuō)，然而是否意味由于本文使得阿貝爾之說(shuō)站不住腳呢？但愿本文能起到拋磚引玉的作用。