浙江省紹興市柯橋區(qū)錢清中學(xué)(312025) 馬江英

湖北省陽新縣高級中學(xué)(435200) 鄒生書

分段函數(shù)在近幾年的高考中是一個熱點問題,主要是分兩段或三段.筆者在最近高三復(fù)習(xí)備考中遇到了一類特殊的函數(shù)問題：已知函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上的函數(shù)解析式以及函數(shù)的一個抽象的相等關(guān)系,要求解決與函數(shù)f(x)有關(guān)的求值、零點、圖象與性質(zhì)等問題.這類問題主要以選擇填空題的形式出現(xiàn),問題抽象、綜合性強、難度較大.

這類問題實質(zhì)上也是一個特殊的分段函數(shù)問題,特殊之處在于可以通過已知區(qū)間的函數(shù)解析式和抽象的函數(shù)等式求出其余各段的函數(shù)解析式,并且分段較多甚至無窮.解決這類問題的思想方法是：以圖象為主以數(shù)式為輔數(shù)形結(jié)合.若先求出各段的函數(shù)解析式再分別畫出各分段的圖象然后數(shù)形結(jié)合求解,顯然運算量較大費時耗力.最理想的情形是：不求出函數(shù)解析式直接畫出圖象求解,這種方法確實可行.先根據(jù)函數(shù)在某個區(qū)間上的函數(shù)解析式畫出函數(shù)在這個區(qū)間上的圖象,然后根據(jù)抽象的函數(shù)等式的幾何意義,利用圖象變換直接畫出函數(shù)在左右附近的圖象,以此類推便可畫出函數(shù)在定義域上的圖象,繼而利用圖象直觀便可解決相關(guān)問題.下面舉例說明利用圖象變換介紹四種類型的分段函數(shù)問題及其解法.

1. f(x+T)=f(x)+c 型

例1 定義在R 上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)+1,且x ∈[0,1]時,f(x)=4x,x ∈(1,2)時,f(x)=令g(x)=2f(x)-x-4,x ∈[-6,2],則函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為( )

A.6 B.7 C.8 D.9

圖1

解因為x ∈[0,1]時,f(x)=4x,所 以f(0)=1,f(1)=4,則x ∈(1,2)時,又f(x+2)=f(x)+1,所以f(2)=f(0)+1=2,綜上畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的圖象.由f(x+2)=f(x)+1得f(x)=f(x+2)-1,將函數(shù)f(x)在[0,2]上的圖象向左平移兩個單位再向下平移一個單位,就得函數(shù)f(x)在[-2,0]上的圖象.如此類推便可畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-6,2]上的圖象如圖1所示.函數(shù)g(x)在[-6,2]上的零點個數(shù),就是方程2f(x)-x-4=0 的解的個數(shù),即f(x)=的解的個數(shù),也就是曲線y=f(x)與直線y=在區(qū)間[-6,2]上的公共點的個數(shù),由圖知公共點個數(shù)為8,故選C.

例2 若f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),且對任意的x≥0 總有正常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x)+T成立,則稱f(x)具有“性質(zhì)P”.已知函數(shù)g(x)具有“性質(zhì)P”,且在[0,T]上,g(x)=x2,若當(dāng)[-T,4T]時,函數(shù)y=g(x)-kx恰有8 個零點,則實數(shù)k為____.

圖2

解因為任意的x≥0有g(shù)(x+T)=g(x)+T,則當(dāng)x=0 時,有g(shù)(T)=g(0)+T,又x ∈[0,T]時,g(x)=x2,所以g(0)=0,g(T)=T2,于是有T2=T,因T＞0,所以T=1,于是g(x+1)=g(x)+1.先畫出x ∈[0,T]時g(x)=x2的圖象,由g(x+1)=g(x)+1 知,將函數(shù)g(x)在[0,1]上的圖象向右平移1 個單位后再向上平移1 個單位,即得函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上的圖象.將函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的圖象向右平移1 個單位后再向上平移1 個單位,即得函數(shù)g(x)在區(qū)間[2,3]上的圖象,同樣可得函數(shù)g(x)在區(qū)間[3,4]上的圖象.因為g(x)是定義在R 上的奇函數(shù),由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,故由g(x)=x2在區(qū)間[0,1]上的圖象可得g(x)在區(qū)間[-1,0]上的圖象.綜上可得函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1,4]上的圖象如圖2所示.依題意,在區(qū)間[-1,4]上函數(shù)y=g(x)-kx恰有8 個零點,即方程g(x)-kx=0 在區(qū)間[-1,4]上有8 個不等實根,也就是函數(shù)y=g(x)圖象與直線y=kx在區(qū)間[-1,4]上有8 個公共點.由圖知,當(dāng)且僅當(dāng)直線y=kx與曲線y=g(x)在區(qū)間(3,4)內(nèi)相切.而當(dāng)x ∈(3,4)時,g(x)=(x-3)2+3,把y=kx代入整理得x2-(k+6)x+12=0,令?=(k+6)2-48=0 得

2. f(x+T)=Tf(x)型

圖3

例3 已知函數(shù)f(x)滿足下列條件：

①定義域為R;

②對任意x ∈R 有f(x+2)=2f(x);

③當(dāng)x ∈[-1,1]時,f(x)=則方程f(x)=log4|x|在區(qū)間[-10,10]內(nèi)解的個數(shù)是( )

A.20 B.12 C.11 D.10

解先由x ∈[-1,1]時f(x)=cos畫出函數(shù)f(x)在[-1,1]上的圖象.由f(x+2)=2f(x)知,將函數(shù)f(x)在[-1,1]上的圖象向左平移2 個單位后再將其縱坐標(biāo)縮為原來的一半,即得函數(shù)f(x)在[-3,-1]的圖象.將函數(shù)f(x)在[-1,1]上的圖象向右平移2 個單位后再將其縱坐標(biāo)伸長為原來的2 倍,即得函數(shù)f(x)在[1,3]上的圖象.再在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出g(x)=log4|x|的圖象如圖3所示.方程f(x)=log4|x|在區(qū)間[-10,10]內(nèi)解的個數(shù),就是函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在區(qū)間[-10,10]內(nèi)的圖象公共點的個數(shù).因當(dāng)x ∈[-1,1]時,f(x)=cos故f(±1)=0,又g(x)=log4|x|,則g(±1)=0.再由f(x+2)=2f(x)可得f(-2)=而g(-2)=由圖象知在[-10,0]內(nèi)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象只有2 個公共點.當(dāng)x ∈(1,10]時,g(x)=log4|x|＜2,結(jié)合圖象可知,在(0,10]內(nèi)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有9 個公共點.綜上,函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象在區(qū)間[-10,10]內(nèi)共有11個公共點,故選C.

例4 已知函數(shù)f(x)滿足下列條件：

①定義域為R;

②對任意x ∈R 有f(x+2)=2f(x);

③ 當(dāng)x ∈[0,2]時,f(x)=2-|2x-2|.

記g(x)=f(x)-則g(x)零點個數(shù)為( )

A.15 B.10 C.9 D.8

圖4

解先根據(jù)x ∈[0,2]時f(x)=2-|2x-2|,畫出函數(shù)f(x)在[0,2]上的圖象如圖4所示,其圖象與兩端點的連線構(gòu)成底為2 高為2 的等腰三角形.再由f(x+2)=2f(x)知,將函數(shù)f(x)在[0,2]上的圖象向右平移2 個單位后,再將圖象上點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2 倍,即得函數(shù)f(x)在[2,4]上的圖象.函數(shù)f(x)在[2,4]上的圖象與圖象兩端點的連線構(gòu)成底邊長為2 高為4 的等腰三角形.如此類推,函數(shù)f(x)在[4,6],[6,8]上的圖象與其兩端點構(gòu)成底邊為2高分別是8,16 的等腰角三角形.同樣函數(shù)f(x)在[-2,0],[-4,-2]上的圖象與其兩端點構(gòu)成底邊為2 高分別是1,的等腰角三角形.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=的圖象如圖4所示.則g(x)零點的個數(shù)就是函數(shù)y=f(x)與的圖象在[-8,8]上公共點的個數(shù).當(dāng)0＜x＜1時,f(x)=2x,則說明函數(shù)y=f(x)與y=的圖象在(0,1)沒有公共點.由圖可知,函數(shù)y=f(x)與y=的圖象在[0,8]上有8 個公共點.當(dāng)-1 ≤x＜0 時,f(x)=-x,則當(dāng)且僅當(dāng)x=-1 時等號成立,故函數(shù)y=f(x)與y=的圖象在[-8,0)內(nèi)只有1 個公共點.綜上,函數(shù)y=f(x)與y=的圖象在[-8,8]上共有9 個公共點,故選C.

3. f(x+T)=kf(x)型

例5 已知定義在[0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=2f(x+2),當(dāng)x ∈[0,2]時,f(x)=-2x2+4x.設(shè)f(x)在[2n-2,2n)上最大值為an(n ∈N?),且數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則Sn=____.

圖5

解當(dāng)n=1 時,x ∈[0,2],則f(x)=-2x2+4x=-2(x-1)2+2,f(x)max=f(1)=2,所以a1=2.當(dāng)n=2 時,x ∈[2,4],由f(x)=2f(x+2)得f(x)=函數(shù)f(x)在[2,4]上的圖象,是由它在[0,2]上圖象向右平移兩個單位后所得到的圖象再將縱坐標(biāo)縮到原來的一半得到的,如圖5,所以如此類推,數(shù)列{an}是首項a1=2 公比為的等比數(shù)列,故前n項和

4. f(kx)=kf(x)型

例6 已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)對一切正數(shù)x均有f(3x)=3f(x)成立,且當(dāng)1 ≤x＜3 時,f(x)=1-|x-2|,則f(100)=____.

圖6

解因為當(dāng)1 ≤x＜3 時,f(x)=1-|x-2|,所以f(1)=0,又對一切正數(shù)x均有f(3x)=3f(x),所以f(3)=3f(1)=0.于是當(dāng)1 ≤x≤3 時,f(x)=1-|x-2|,據(jù)此畫出函數(shù)f(x)在[1,3]上的圖象,其圖象與其端點連線構(gòu)成斜邊上的高為1 的等腰直角三角形.由f(3x)=3f(x)知,函數(shù)f(x)在[3,32]上的圖象與其端點構(gòu)成斜邊上的高為3 的等腰直角三角形.如此類推,函數(shù)f(x)在[32,33],[33,34],[34,35],[35,36]上的圖象與其端點構(gòu)成斜邊上的高分別32,33,34,35的等腰直角三角形.因為81=34＜100＜35=243,函數(shù)f(x)在[34,35]上的圖象如圖6所示,區(qū)間中點為162,又81＜100＜162,由圖知f(100)=100-81=19.

例7 已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)恒有f(2x)=2f(x)成立,且當(dāng)x ∈(1,2]時,f(x)=2-x.則以下結(jié)論正確的有____.

圖7

①對任意m ∈N,有f(2m)=0;

②函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞);

③存在n ∈N,使得f(2n+1)=9;

④函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)單調(diào)遞減的充要條件是存在k ∈N,使(a,b)?(2k,2k+1).

解因為當(dāng)x ∈(1,2]時,f(x)=2-x,所以f(2)=0.又在[0,+∞)上的函數(shù)f(x)恒有f(2x)=2f(x),所以有f(2)=2f(1),則f(1)=0,f(22)=f(4)=2f(2)=0,f(23)=f(8)=2f(4)=0,如此類推,于是對任意m ∈N,f(2m)=0 成立,故 ①正確.先由x ∈(1,2]時f(x)=2-x及f(1)=0,畫出函數(shù)f(x)在[1,2]上的圖象如圖7所示,其圖象是由一個點(1,0)和一條不含左端點的線段組成,線段兩端點和這個點恰好構(gòu)成一個腰長為1 的等腰直角三角形.再由f(2x)=2f(x)知函數(shù)f(x)在[2,4]上的圖象,是由它在[1,2]上的圖象上的點的橫坐標(biāo)伸長2 倍同時縱坐標(biāo)也伸長2 倍得到,同樣線段端點(2,0)與點構(gòu)成腰長為2 的等腰直角三角形.如此類推,由函數(shù)f(x)在[4,8],[8,16],[16,32]上的圖象可得到腰長分別為4,8,16 的等腰直角三角形,如圖7所示.由圖知函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞),故 ②正確.當(dāng)k ∈N 時,函數(shù)在(2k,2k+1)內(nèi)單調(diào)遞減,故 ④正確.若存在n ∈N,使得f(2n+1)=9,由圖知,則2n+1∈(16,32),且32-(2n+1)=0,得2n=22,因為n ∈N,所以無解,故 ③不正確.綜上,結(jié)論正確的序號是 ① ② ④.