廣東省東莞中學(xué)(523005) 于 濤

近年來,不少高考解析幾何試題以極點(diǎn)、極線為背景,堪稱出現(xiàn)頻率最高的背景知識(shí).文[1]介紹了極點(diǎn)與極線的概念及基本性質(zhì),筆者進(jìn)行了進(jìn)一步研究,證明了若干與圓錐曲線極點(diǎn)、極線有關(guān)的性質(zhì),與讀者分享.

1.極點(diǎn)與極線的定義

定義1 (幾何定義)如圖1,P是不在圓錐曲線上的點(diǎn),過點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于點(diǎn)N,連接EG,FH交于點(diǎn)M,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.特別地,若P是圓錐曲線上的點(diǎn),則過點(diǎn)P的切線即為極線.同理,直線PN為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線,直線PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線.MNP稱為自極三角形(參見[1]).

圖1

如圖1,由幾何定義可知：(1)若連接MN交圓錐曲線于點(diǎn)A,B,則PA,PB恰為圓錐曲線的切線;(2)若點(diǎn)P與直線MN為圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)與極線,記過極點(diǎn)P的兩割線EF,GH與圓錐曲線的交點(diǎn)形成的四邊形為EFHG,則極線MN與兩對(duì)角線EH,FG三線共點(diǎn).

定義2 (代數(shù)定義)已知圓錐曲線?！肁x2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,則稱點(diǎn)P(x0,y0)和直線l∶Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0 是圓錐曲線Γ 的一對(duì)極點(diǎn)與極線.[1]

具體地,明確曲線方程時(shí),極點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的極線方程見下表：

曲線類型極點(diǎn)極線x2 a2+ y2 b2=1(x0,y0)x0x a2+ y0y b2=1(m,0)x= a2 m(m0)(0,t)y= b2 t (t0)x2 a2-y2 b2=1(x0,y0)x0x a2-y0y b2=1(m,0)x= a2 m(m0)(0,t)y=-b2 t (t0)y2=2px(x0,y0)y0y= p(x+x0)(m,0)x=-m

通過上表發(fā)現(xiàn)：特別地,當(dāng)極點(diǎn)在圓錐曲線的對(duì)稱軸上時(shí),對(duì)應(yīng)的極線垂直于該對(duì)稱軸.

2.極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)

性質(zhì)1 如圖2,已知點(diǎn)Q、直線l和圓錐曲線Γ,過Q作任意一條割線交Γ 于點(diǎn)A,B,交l于點(diǎn)P.若點(diǎn)Q與直線l是Γ 的一對(duì)極點(diǎn)與極線,則點(diǎn)P,Q調(diào)和分割線段AB,即也稱點(diǎn)P,Q關(guān)于Γ 調(diào)和共軛.

圖2

圖3

證明如圖3,過極點(diǎn)Q作圓錐曲線Γ 的割線CD交極線l于點(diǎn)M,連接DA,BC交于點(diǎn)E,連接CA,BD交于點(diǎn)F,由極點(diǎn)與極線的幾何定義知直線EF是極點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的極線,故E,P,F,M四點(diǎn)共線.在△EBF中,因?yàn)镋D,CF,BP三線共點(diǎn)A,由賽瓦定理得因?yàn)橹本€CDM截△EBF,由梅涅勞斯定理得所以即點(diǎn)M,P調(diào)和分割線段FE.連接BM,以點(diǎn)B為射影點(diǎn),由交比定理得M,Q調(diào)和分割線段DC.連接EQ,以點(diǎn)E為射影點(diǎn),由交比定理得P,Q調(diào)和分割線段AB,即

性質(zhì)2 如圖4,已知點(diǎn)P,Q和有心圓錐曲線Γ,直線PQ經(jīng)過Γ 的中心O,與Γ 交于點(diǎn)R,R′(點(diǎn)R在P,Q之間).若P,Q關(guān)于Γ 調(diào)和共軛,則OP ·OQ=OR2.

性質(zhì)3 如圖5,已知點(diǎn)P,Q和圓錐曲線Γ(Q在Γ 內(nèi),P在Γ 外),直線PQ與Γ 交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在P,Q之間).若P,Q關(guān)于Γ 調(diào)和共軛,則有(1)

圖4

圖5

性質(zhì)2、3 的證明可應(yīng)用性質(zhì)1.

3.極點(diǎn)與極線的衍生性質(zhì)

性質(zhì)4 如圖6、7,已知點(diǎn)P,Q在圓錐曲線Γ 的對(duì)稱軸l上,過Q作直線交Γ 于點(diǎn)M,N.若P,Q關(guān)于Γ 調(diào)和共軛,則直線PM,PN與對(duì)稱軸l所成的角相等.

圖6

圖7

圖8

證明當(dāng)MN與l垂直時(shí),命題顯然成立; 當(dāng)MN與l不垂直時(shí),如圖8,因?yàn)棣?關(guān)于直線l對(duì)稱,所以Γ 上存在M,N關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)M′,N′,易知MN.M′N′與l交于點(diǎn)Q,設(shè)MN′.M′N與l交于點(diǎn)P′,由幾何定義知點(diǎn)P′,Q關(guān)于Γ 調(diào)和共軛,因?yàn)镻,Q關(guān)于Γ 調(diào)和共軛,且點(diǎn)P在l上,所以P′與P重合,故直線PM,PN與對(duì)稱軸l所成的角相等.

性質(zhì)4 的逆命題也成立,證明過程略.

性質(zhì)5 如圖9、10,已知點(diǎn)Q在圓錐曲線Γ 的對(duì)稱軸上,直線l垂直于該對(duì)稱軸,過Q作直線交Γ 于點(diǎn)M,N,P為l上任意一點(diǎn).若點(diǎn)Q與直線l是Γ 的一對(duì)極點(diǎn)與極線：

(1)如圖9,當(dāng)對(duì)稱軸是x軸或平行于x軸時(shí),kP M+kP N=2kP Q;

(2)如圖10,當(dāng)對(duì)稱軸是y軸或平行于y軸時(shí),

圖9

圖10

圖11

圖12

證明(1)如圖11、12,分別過點(diǎn)M,N作l的垂線,垂足為點(diǎn)D,F,記l與對(duì)稱軸的垂足為E.當(dāng)MN與l平行時(shí),如圖11,kP M=易知MD=NF=QE,PD+PF=2PE,所以kP M+kP N=2kP Q;當(dāng)MN與l不平行時(shí),如圖12,延長(zhǎng)NM交直線l于點(diǎn)R,設(shè)直線NM的傾斜角為α,則所以由性質(zhì)3 得2kP Q=連接EM,EN,由性質(zhì)4 得△EMD～△ENF,所以又由MD//NF得兩式相除得即整理得所以kP M+kP N=2kP Q.

(2)如圖10,設(shè)PM,PQ,PN的傾斜角分別為β,γ,θ,則kP M=tanβ,kP Q=tanγ,kP N=tanθ,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,由性質(zhì)5(1)得tan(β-90°)+tan(θ+90°)=2 tan(γ+90°),化簡(jiǎn)得所以

性質(zhì)6 如圖13、14,已知點(diǎn)Q、直線l和圓錐曲線Γ,過Q作直線交Γ 于點(diǎn)M,N,在直線l上任取一點(diǎn)P,連接PQ,分別過M,N作PQ的平行線交l于點(diǎn)S,T.若點(diǎn)Q與直線l是Γ 的一對(duì)極點(diǎn)與極線,則S2△MP N=4S△MP SS△NP T,或S2△SQT=4S△MQSS△NQT.

圖13

圖14

圖15

證明如圖15,延長(zhǎng)NM交直線l于點(diǎn)R,設(shè)直線NM與直線PQ所成的角為α,則S△MP S=MS ·MQsinα,由性質(zhì)3 得兩式相乘得由 性質(zhì)1 得MR · NQ=NR · MQ,所 以即

又因?yàn)镸S//QP//NT,所以代入(?)式 得NM2· QP2=4MS · NT · MQ · NQ,所以S2△MP N=4S△MP SS△NP T.由S△SQT=S△MP N,S△MQS=S△MP S,S△NQT=S△NP T,得S2△SQT=4S△MQSS△NQT.

性質(zhì)4、5、6 的證明只證明了一種情形,其它情形證明過程類似,不再贅述.

4.極點(diǎn)與極線知識(shí)的應(yīng)用

例1 (2016年全國(guó)I卷文科第20題)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l∶y=t(0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C∶y2=2px(p＞0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.

圖16

簡(jiǎn)析(I)略; (II)如圖16,由(I)得,M(0,t),lON∶y=即ty=px,由代數(shù)定義知點(diǎn)M與直線lON是拋物線C的一對(duì)極點(diǎn)與極線,又因?yàn)閘ON與曲線C交于點(diǎn)O,H,由幾何定義得MO,MH均為拋物線C的切線,所以除H以外,直線MH與C沒有其它公共點(diǎn).

例2 (2012年高考北京卷理科第19 題)已知曲線C∶(5-m)x2+(m-2)y2=8(m ∈R).

圖17

(I)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,求m的取值范圍;

(II)設(shè)m=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線y=kx+4 與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,直線y=1 與直線BM交于點(diǎn)G.求證：A,G,N三點(diǎn)共線.

簡(jiǎn)析(I)略; (II)m=4 時(shí),曲線C為橢圓1,如圖17,因?yàn)橹本€y=kx+4 恒過定點(diǎn)P(0,4),由代數(shù)定義知點(diǎn)P與直線y=1 是橢圓C的一對(duì)極點(diǎn)與極線,直線MN和AB為過極點(diǎn)P的兩割線,由幾何定義知極線y=1與四邊形ABNM的對(duì)角線三線共點(diǎn),因?yàn)闃O線y=1 與對(duì)角線BM交于點(diǎn)G,所以點(diǎn)G在另一條對(duì)角線AN上,即A,G,N三點(diǎn)共線.

例3 (2007年高考福建卷理科第20 題)已知點(diǎn)F(1,0),直線l∶x=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過P作直線l的垂線,垂足為點(diǎn)Q,且

圖18

(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;

(II)過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A,B兩點(diǎn),交直線l于點(diǎn)M,已知求λ1+λ2的值.

簡(jiǎn)析(I)C∶y2=4x; (II)如圖18,由(I)知點(diǎn)F與直線l是拋物線C的一對(duì)極點(diǎn)與極線,由性質(zhì)1得則故λ1=λ,λ2=-λ,所以λ1+λ2=0.

圖19

例4 (2015年高考北京卷理科第19 題)已知橢圓C∶的離心率為點(diǎn)P(0,1)和 點(diǎn)A(m,n)(0)都在橢圓C上,直線PA交x軸于點(diǎn)M.

(I)求橢圓C的方程,并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m,n表示);

(II)設(shè)O為原點(diǎn),點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱,直線PB交x軸于點(diǎn)N.問：y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得∠OQM=∠ONQ? 若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

簡(jiǎn)析(I)C∶(II)如圖19,由∠OQM=∠ONQ,∠QOM=∠NOQ,得△OQM～△ONQ,故|OQ|2=|ON|·|OM|.由幾何定義知點(diǎn)N是點(diǎn)M對(duì)應(yīng)極線上的一點(diǎn),即點(diǎn)M,N關(guān)于橢圓C調(diào)和共軛,又因?yàn)闄E圓C的中心O在直線MN上,記橢圓C的右頂點(diǎn)為D,由性質(zhì)2 得|ON|·|OM|=|OD|2=2,故|OQ|2=2,所以Q的坐標(biāo)為

例5 (2015年全國(guó)I 卷理科第20 題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C∶y=與直線l∶y=kx+a(a＞0)交于M,N兩點(diǎn).

(I)當(dāng)k=0 時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;

圖20

(II)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN? 說明理由.

簡(jiǎn)析(I)略; (II)如圖20,由題得拋物線C的對(duì)稱軸為y軸,直線l恒過y軸上點(diǎn)Q(0,a),因?yàn)椤螼PM=∠OPN,且點(diǎn)P在y軸上,由性質(zhì)4 的逆命題得P,Q關(guān)于拋物線C調(diào)和共軛,由代數(shù)定義得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-a).

例6 (2013年高考江西卷文科第20 題)橢圓C∶=1(a＞b＞0)的離心率e=a+b=3.

(I)求橢圓C的方程;

圖21

(II)如 圖21,A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明：2m-k為定值.

簡(jiǎn)析(I)(II)如圖21,連接AP,BD交于點(diǎn)Q,連接MQ,由幾何定義知點(diǎn)N與直線MQ是橢圓C的一對(duì)極點(diǎn)與極線,由性質(zhì)5 得kMP+kMD=2kMN,即k+kMD=2m,因?yàn)閗MD=kAD=所以k-2m=

例7 (2009年高考湖北卷理科第21題)過拋物線y2=2px(p＞0)的對(duì)稱軸上一點(diǎn)A(a,0)(a＞0)的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn),自M,N向直線l∶x=-a作垂線,垂足分別為M1,N1.

圖22

(II)記△AMM1,△AM1N1,△ANN1的面積分別為S1,S2,S3,是否存在λ,使得對(duì)任意的a＞0,都有S22=λS1S3成立? 若存在,求出λ的值,否則說明理由.

簡(jiǎn)析(I)略; (II)如圖22,由代數(shù)定義知點(diǎn)A與直線l是拋物線y2=2px(p＞0)的一對(duì)極點(diǎn)與極線,由性質(zhì)6 得S22=4S1S3,故λ=4.

以極點(diǎn)、極線為背景的高考解析幾何試題還有很多,例如,2018年全國(guó)I 卷文、理解析幾何解答題就是以性質(zhì)4 為背景的試題.通過列舉的7 道真題,不難體會(huì)極點(diǎn)與極線知識(shí)內(nèi)容的豐富性,雖然極點(diǎn)與極線的知識(shí)不屬于高考考查內(nèi)容,但是了解極點(diǎn)與極線的相關(guān)知識(shí),能幫助教師和學(xué)生打開思維視角,培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的能力.