王　政，尚德生

(山東理工大學理學院，山東淄博255049)

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一道數(shù)學競賽試題的推廣

王政，尚德生

(山東理工大學理學院，山東淄博255049)

[摘要]對第五屆中國大學生數(shù)學競賽決賽(數(shù)學類)的一道試題的結論進行了推廣,得到了一系列推論.

[關鍵詞]二次曲面； 切線； 切點； 平面

1引言

2014年3月第五屆中國大學生數(shù)學競賽決賽(數(shù)學類)試題一如下：

該結論其實可以推廣至一般二次曲面.

2推廣

考慮一般的二次曲面S

Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0.

(1)

曲面外一固定點P(x0,y0,z0)，設過定點P的曲面S的切線的方向向量為τ=(u,v,w),則切點Q(X,Y,Z)的坐標可表示為

切點坐標需滿足方程(1)，則有

A(x0+tu)2+B(y0+tv)2+C(z0+tw)2+D(x0+tu)(y0+tv)+E(x0+tu)(z0+tw)

+F(y0+tv)(z0+tw)+G(x0+tu)+H(y0+tv)+I(z0+tw)+J=0.

化簡，得

(2)

其中

由條件知，(2)式關于t有唯一重根，從而有

(3)

與

(4)

利用(4)式，得

(2Ax0+Dy0+Ez0+G)X+(2By0+Dx0+Fz0+H)Y+(2Cz0+Ex0+Fy0+I)Z

=(2Ax0+Dy0+Ez0+G)(x0+tu)+(2By0+Dx0+Fz0+H)(y0+tv)

+(2Cz0+Ex0+Fy0+I)(z0+tw)

=-Gx0-Hy0-Iz0-2J.

由此可以得到如下結果：

定理過二次曲面S(式(1))外一固定點P(x0,y0,z0)作曲面S的切線，則這些切線的切點均在同一平面上，即

(2Ax0+Dy0+Ez0+G)x+(2By0+Dx0+Fz0+H)y

+(2Cz0+Ex0+Fy0+I)z+Gx0+Hy0+Iz0+2J=0.

x0x+y0y-z-z0=0.

x0x+y0y-z0z=0.

2x0x-2y0y-z-z0=0.

x0x+y0y+z0z=R2.

若S為其他二次曲面，類似可得到相應的結論，在此不再贅述.

[參考文獻]

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].4版.北京:高等教育出版社,2010.

On Improvement of a Mathematical Contest Question

WANGZheng，SHANGDe-sheng

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo, Shandong 255049, China)

Abstract:The authors discuss the improvement of a question of a the fifth session of the China Undergraduate Mathematical Contest, and obtain a series of corollaries.

[收稿日期]2014-08-07;[修改日期]2015-01-10

[中圖分類號]O172

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0106-02