李春娥，王景艷

(保山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南保山678000)

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貝葉斯公式及其應(yīng)用的教學(xué)研究

李春娥，王景艷

(保山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南保山678000)

[摘要]通過貼近生活的例子，引入貝葉斯公式，然后，介紹信用問題和在生產(chǎn)中的索賠問題介紹貝葉斯公式的實(shí)際應(yīng)用，以使在教學(xué)中能幫助學(xué)生更深入地理解該公式.

[關(guān)鍵詞]貝葉斯公式； 應(yīng)用； 教學(xué)研究

貝葉斯公式是英國(guó)學(xué)者托馬斯·貝葉斯(Thomas Bayes,1702-1761)最早發(fā)現(xiàn)的,首次發(fā)表在1763年,當(dāng)時(shí)貝葉斯已經(jīng)去世,其結(jié)果沒有受到應(yīng)有的重視.1774年,法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace P S, 1749-1827)再一次總結(jié)了這一結(jié)果.此后,人們逐漸認(rèn)識(shí)到這個(gè)著名概率公式的重要性.[1]現(xiàn)在,它已在疾病診斷、信用、生產(chǎn)、承擔(dān)經(jīng)濟(jì)責(zé)任、收發(fā)信息問題和解釋生活諺語等方面發(fā)揮著重要的作用.

1由生活中的現(xiàn)實(shí)問題引入概念

引例設(shè)馬航MH370飛機(jī)墜落在甲、乙、丙三個(gè)區(qū)域之一，營(yíng)救部門判斷其概率分別為b1,b2,b3.用直升機(jī)搜索這些區(qū)域，若有殘骸，發(fā)現(xiàn)的概率分別a1,a2,a3，試在直升機(jī)搜索過三個(gè)區(qū)域均未發(fā)現(xiàn)殘骸的情況下，求飛機(jī)落入甲、乙、丙三個(gè)區(qū)域的概率.

解設(shè)A表示直升機(jī)在甲、乙、丙三個(gè)區(qū)域未發(fā)現(xiàn)殘骸，B1,B2,B3分別表示飛機(jī)落入甲、乙、丙三個(gè)區(qū)域，由題意知

P(B1)=b1，P(B2)=b2，P(B3)=b3，P(A|B1)=1-a1，

P(A|B2)=1-a2，P(A|B3)=1-a3.

由條件概率公式和乘法公式知

(1)

由全概率公式得

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)

=b1(1-a1)+b2(1-a2)+b3(1-a3).

(2)

將(2)式代入(1)式得到，在直升機(jī)搜索過三個(gè)區(qū)域均未發(fā)現(xiàn)殘骸的情況下，飛機(jī)落入甲區(qū)域的概率為

(3)

同理可得，在直升機(jī)搜索過三個(gè)區(qū)域均未發(fā)現(xiàn)殘骸的情況下，飛機(jī)落入乙、丙兩個(gè)區(qū)域的概率分別為

(4)

(5)

引例中采用的方法是概率論中重要的方法之一，為了求某一事件的條件概率，即當(dāng)觀察到一個(gè)事件已經(jīng)發(fā)生時(shí)，去求導(dǎo)致所觀察到的事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性大小，利用條件概率公式、乘法公式和全概率公式，得到(3)式，將(3)式一般化便得到了貝葉斯公式.

2貝葉斯公式

定理[2]設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個(gè)劃分，且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，則

(6)

(6)式稱為貝葉斯(Bayes)公式．

3貝葉斯公式的應(yīng)用

Bayes公式的應(yīng)用步驟：

(i)把事件A看作某一過程的結(jié)果；

(ii)把B1, B2, …, Bn看作該過程的n個(gè)原因；

例1(信用問題)某商業(yè)銀行對(duì)在校貧困大學(xué)生進(jìn)行助學(xué)貸款，某大學(xué)生承諾畢業(yè)三年內(nèi)還清助學(xué)貸款，否則視該生不遵守承諾(撒謊).假設(shè)我們對(duì)該生的信任程度為0.8，可信的學(xué)生不遵守承諾的概率為0.1，不可信的學(xué)生不遵守承諾的概率為0.95，若該生在畢業(yè)三年內(nèi)未還清貸款，求銀行對(duì)該生的信任程度為多少？

解事件A表示該生不遵守承諾，事件B表示該生可信，依據(jù)題意知

由Bayes公式，求得該生在畢業(yè)三年內(nèi)未還清貸款，銀行對(duì)該生的信任程度為

可以得到，在該生不遵守承諾一次的情況下，銀行對(duì)該生的信任程度降為0.30.這例子提示我們，該生在以后買房、買車等向商業(yè)銀行貸款時(shí)，將有很大的可能遭到銀行的拒絕.

例2[3](在生產(chǎn)中的索賠問題)從過去的資料中知，在出口罐頭導(dǎo)致索賠事件中，有50%是質(zhì)量問題，30%是數(shù)量短缺問題，20%是包裝問題.又知在質(zhì)量問題爭(zhēng)議中經(jīng)過協(xié)商解決不訴諸法律的占40%，數(shù)量問題中，經(jīng)過協(xié)商解決的占60%，包裝問題中經(jīng)過協(xié)商解決的占75%.如果出一件索賠事件，在爭(zhēng)議中經(jīng)過協(xié)商解決了，問這一案件不屬于質(zhì)量問題的概率是多少？

解設(shè)B1={質(zhì)量問題},B2={數(shù)量短缺問題},B3={包裝問題},A={協(xié)商解決}，則

P(B1)=0.5,P(B2)=0.3,P(B3)=0.2,

P(A|B1)=0.4,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=0.75，

貝葉斯公式在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有著多方面的應(yīng)用，如在疾病普查、經(jīng)濟(jì)決策、收發(fā)信號(hào)和破案中的應(yīng)用，在這里不再一一舉例.

4總結(jié)

用現(xiàn)實(shí)生活中的熱點(diǎn)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引入貝葉斯公式.在課堂上，講解信用問題，不僅加深了對(duì)貝葉斯公式的理解，還教育了學(xué)生要守信.貝葉斯公式在社會(huì)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，講解例題要達(dá)到舉一反三的效果，使學(xué)生掌握住貝葉斯公式的實(shí)質(zhì).貝葉斯公式是在已知一事件發(fā)生下，重新認(rèn)識(shí)導(dǎo)致該事件發(fā)生的原因事件的概率，即有了試驗(yàn)結(jié)果后對(duì)原因事件認(rèn)識(shí)的調(diào)整.全概率公式是貝葉斯公式的一部分，“由因索果”用全概率公式，“由果索因”用貝葉斯公式.

[參考文獻(xiàn)]

[1]楊靜,陳冬,程小紅.貝葉斯公式的幾個(gè)應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27(2)：166-166.

[2]盛驟, 謝式千, 潘承毅. 概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]李賢平，沈崇圣，陳子毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003.

Bayesian figure and Its Applications in Teaching and Research

LIChun-e，WANGJing-yan

(Department of Mathematics，Baoshan College，Baoshan ,Yunnan 67800,China)

Abstract:Through close-life examples, the introduction of the Bayesian figure, and then introduce credit problems and production claims issues of practical application of Bayesian figure, which might help students better understanding of the figure in teaching.

Key words:Bayesian figure； the application； teaching and research

[基金項(xiàng)目]保山學(xué)院校級(jí)課題(14BY018)

[收稿日期]2014-07-20 2014-10-17

[中圖分類號(hào)]O211

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)02-0119-03