劉興燕，曾德宇

(1.宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)研究所，四川宜賓644007；　2.四川省宜賓市第一中學(xué)校， 四川宜賓644000;

3. 四川大學(xué)電子信息學(xué)院， 四川成都610041)

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一類兩個變量的弱奇性Wendroff積分不等式的推廣

劉興燕1，曾德宇2，3

(1.宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)研究所，四川宜賓644007；2.四川省宜賓市第一中學(xué)校， 四川宜賓644000;

3. 四川大學(xué)電子信息學(xué)院， 四川成都610041)

[摘要]建立了一類有兩個變量的非線性弱奇性Wendroff型積分不等式解的估計， 所得結(jié)果推廣了過去關(guān)于非線性弱奇性Wendroff型積分不等式的相關(guān)結(jié)果， 所給出的解的估計更具有一般性.

[關(guān)鍵詞]非線性; 弱奇性積分不等式; 解的估計; 兩個變量

Key words:quadric surface; tangent line; tangent point; plane nonlinearity; weakly singular integral inequality; estimate on solutions; two variables

1引言

奇異積分不等式是微分方程理論中一個十分重要的部分， 有大批學(xué)者從事這方面的理論研究，取得了一系列較好的結(jié)果[1-7].特別地， Henry[1]提出了一種估計帶有弱奇異核的線性積分不等式解的方法， 他的不等式在研究拋物型偏微分方程中與著名的Gronwal不等式(如文[8-11])在常微方程中一樣起著重要的作用. 1997年Medved[2]研究了Gronwall-Bellman-Bihari型和Henry型奇異積分不等式， 2002年馬慶華和楊恩浩[3]研究了弱奇性Volterra型積分不等式. 2008年，Ma[4]研究了一類非線性Volterra-Fredholm型積分不等式

(1.1)

2013年吳宇[5]等研究了一類更廣的一類弱奇性Wendroff型積分不等式

(1.2)

2014年Wang[6]等研究了一類含有兩個變量的弱奇性Wendroff型積分不等式

(1.3)

在Wang[6]等工作的基礎(chǔ)上， 本文用函數(shù)a(x，y)代替(1.3)中的常量a， 考慮更廣的一類非線性弱奇性Wendroff型積分不等式

(1.4)

解的估計.

與不等式(1.3)相比，(1.4)式所研究的范圍更廣， 且函數(shù)a(x，y)所滿足的條件很簡便(可不連續(xù)， 不可積)，本文給出解的估計更具有一般性.

2預(yù)備知識

為了方便論述，首先引入引理.

引理[3]若α，β，γ，p為正常數(shù)， 則

(2.1)

其中B(ζ，η)是Beta函數(shù)， 而

(2.2)

θ∶=p(β+γ-2)+1≥0.

(2.3)

3主要結(jié)果

定理如果u(x，y)是定義在(Δ，+)上的連續(xù)函數(shù)，且滿足弱奇性不等式(1.6)， 其中Δ=I1×I2，

I1=[x0，M]，I2=[y0，N]，M≥x0，N≥y0，M，N∈+，

其中p>1且滿足p(β-1)+1>0. 則

其中

W-1(u)是W(u)的反函數(shù)， H-1(u)是H(u)的反函數(shù).

由0≤h(x)≤x， 0≤k(y)≤y，得

(3.1)

將上式兩邊q次方， 應(yīng)用文[2]中不等式“若n為正整數(shù)，而r(≥1)，A1，…，An是非負(fù)數(shù)， 則

可得

由本文引理及d(x，y)的定義， 得

由f(x，y，s，t)的定義有

令

(3.2)

有uq(x，y)≤z(x，y)， 即

(3.3)

利用函數(shù)w(u)關(guān)于u單調(diào)不減可有

由W(u)的定義， 有

由(3.2)式可得

有

由(3.3)式，得

其中(x，y)∈Δ. 定理得證.

注當(dāng)a(x，y)≡a，h(x)≡x，k(y)≡y時， 才是Wang[6]等所研究的情形.

4在弱奇性微分方程中的應(yīng)用

若

u(x，y)≤arctan(x+y)

(4.1)

=k(7+s+t)q，

則

[參考文獻(xiàn)]

[1]Henry D. Geometric theory of semilinear parabolic equations [M]. New York: Springer-Verlag， Berlin: Heidelberg， 1981.

[2]Medved M. A new approach to an analysis of Henry type integral inequalities and their Bihari version [J]. J. Math. Anal. Appl， 1997， 214(2): 349-366.

[3]馬慶華，楊恩浩. 弱奇性Volterra積分不等式解的估計[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報， 2002， 25(3): 505-515.

[4]Ma O H， Josip P. Estimates on solutions of some new nonlinear retarded Volterra-Fredholm type integral inequalities[J]. Nonlinear Analysis， 2008，69: 393-407.

[5]吳宇，唐敏，周察金. 一類新的弱奇性Wendroff型積分不等式解的估計[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報， 2013. 36(1): 97-107.

[6]Wang W， Lai Y. A class of nonlinear weakly singularity Wendroff type integral inequality with two variables and application [J]. Advanced Materials Research ， 2014， 1008-1009:1493-1496.

[7]吳宇. 一類新的弱奇性Volterra積分不等式[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報， 2008， 31(4): 584-591.

[8]張偉年. 投影下的Gronwall不等式[J]. 數(shù)學(xué)研究與評論， 1997， 17(2): 257-260.

[9]鄧圣福，張偉年. 可積情形下的Gronwall不等式[J]. 數(shù)學(xué)研究與評論， 2002， 22(2): 307-313.

[10]Zhang W， Deng S. Projected Gronwall-Bellman’s inequality for integrable functions [J]. Math. Comput. Modelling， 2001， 34(3-4): 393-402.

[11]Deng S， Prather C. Generalization of an impulsive nonlinear singular Gronwall-Bihari inequality with delay [J]. J. Inequal Pure and Appl Math， 2008， 9(2): Art. 34， 11 pp. [ Online: http://jipam.vu. edu.au/].

A Kind of Two Variables Weak Singularity Wendroff

Integral Inequality

LIUXing-yan1，ZENGDe-yu22，3

(1. Institution of Mathematical Science， Yibin University， Yibin Sichuan 644007， China;

2. The First High School of Yibin， Yibin Sichuan 644000， China;

3. College of Electronics and Information Engineering， Sichuan University， Chengdu 610041， China)

Abstract:Set up a class of nonlinear weak singularity has two variables Wendroff integral inequalities solution estimates， the obtained results generalize the past type nonlinear Wendroff weak singularity integral inequality related results， is more general solution is given by the estimates.

[基金項目]宜賓學(xué)院自然科學(xué)重點項目(2012S10)

[收稿日期]2014-12-15

[中圖分類號]O178

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0108-06