許　艷，郭清偉

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥230009)

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超球面上的切觸有理插值

許艷，郭清偉

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥230009)

[摘要]給定單位超球面Sd-1上n+1個點(diǎn)及其對應(yīng)的參數(shù)值和其中n個點(diǎn)處的導(dǎo)向量，基于向量的Samelson逆，構(gòu)造了廣義逆向量值有理函數(shù).證明了所構(gòu)造的向量值有理函數(shù)為[2n,2n]型，在指定的參數(shù)值處插值于所給點(diǎn)及其導(dǎo)向量，且向量值有理函數(shù)位于超球面上.為了說明方法的有效性，給出了數(shù)值實(shí)例.

[關(guān)鍵詞]超球面； 超球面上插值； Samelson逆； 向量值有理函數(shù)

1引言

因為多項式函數(shù)和有理多項式函數(shù)已是工業(yè)應(yīng)用中曲線曲面表示的標(biāo)準(zhǔn)形式，所以大多數(shù)的計算機(jī)輔助設(shè)計系統(tǒng)都采用參數(shù)多項式或參數(shù)有理多項式表示曲線曲面.由于在計算機(jī)輔助設(shè)計、計算機(jī)圖形學(xué)中經(jīng)常要用到二次曲線曲面，二次曲線曲面的有理參數(shù)表示曾受到學(xué)者們的關(guān)注.同樣，對在球面上或一般的二次曲面上取定的一列點(diǎn)及其指定的參數(shù)值，如何構(gòu)造位于相應(yīng)曲面上的向量值有理插值曲線，也是人們通?？紤]的問題.進(jìn)一步，又有人考慮對于球面的情形，這個問題能否推廣到超球面上.1986年，Piegl在文獻(xiàn)[1]中證明了球面片可以用參數(shù)有理Bézier面片精確表示.文獻(xiàn)[2]給出了單位球面上任一條不可約有理Bézier曲線和任一片不可約有理Bézier曲面片的顯示表示式，并把這一結(jié)果推廣到橢球面、雙曲面、拋物面的情形，證明了若在單位球面上取定互不相同的奇數(shù)個點(diǎn)，并給這些點(diǎn)指定不同的參數(shù)值，則構(gòu)造單位球面上的參數(shù)有理插值的問題是一個線性問題，且該問題有唯一解曲線.作為文獻(xiàn)[2]的后續(xù)工作,文獻(xiàn)[3]研究了以給定的單位球面上或雙曲拋物面上的曲線作為邊界線，在相應(yīng)的曲面上構(gòu)造有理曲Bézier面片的方法，利用該方法可得到相應(yīng)二次曲面上的有理參數(shù)插值曲線.Anton Gfrerrer[4]把文獻(xiàn)[2]的結(jié)果推廣到超球面的情形，指出在d (d>3)維歐式空間Ed中的超球面Sd-1上給定n個互不相同的點(diǎn)及其對應(yīng)的參數(shù)值，要么存在唯一的在超球面Sd-1上的參數(shù)有理曲線在相應(yīng)的參數(shù)值處插值于這些點(diǎn)，要么不存在參數(shù)有理曲線，但當(dāng)所給點(diǎn)的個數(shù)為奇數(shù)個時，一定存在唯一的參數(shù)有理曲線.對給定的單位球面Sd-1(d≥3)上的2n+1個點(diǎn)及相應(yīng)的參數(shù)值，Thierry Gensane[5]基于Samelson逆，構(gòu)造了Thiele型向量值有理插值式，證明了它是Graves-Morris型(即滿足整除性)向量值有理插值，且位于球面上，分子與分母的次數(shù)均為2n次.

本文擬解決如下問題：給定單位球面Sd-1(d≥3)上n+1個互不相同的點(diǎn)υ0,0,υ1,0,…,υn-1,0,υn,0及相應(yīng)的參數(shù)值t0,t1,…,tn-1,tn(當(dāng)i≠j時，ti≠tj)和點(diǎn)υ0,0,υ1,0,…,υn-1,0處的導(dǎo)向量υ0,1,υ1,1,…,υn-1,1，構(gòu)造參數(shù)向量值有理函數(shù)R(t)，其滿足R(ti)=υi,0,i=0,1,…,n,R′(ti)=υi,1,i=0,1,…,n-1，且R(t)位于Sd-1上.R(t)也稱為超球面上的切觸有理插值函數(shù).

2廣義逆向量值有理函數(shù)的構(gòu)造

下面給出R(t)的構(gòu)造過程.令

(1)

再確定余下的d維向量bn+1,bn+2…,b2n.

對(1)式求導(dǎo)，得

(2)

將ti(i=0,1,…,n-1)帶入(2)式，令R′(yi)=υi,1，得

(3)

(4)

(i) R(tn)=υn,0,R(j)(ti)=υi,j,i=0,1,…,n-1,j=0,1；

(5)

(6)

3主要定理的證明

為證明上節(jié)中的定理，先引入以下引理

引理[6]設(shè)b0,b1,…,bn,bn+1,…,b2n∈d,ti∈{t0,t1,…,tn},t∈. 如果對向量連分式(1)從末項起逐項向前施行Samelson逆變換，則必存在d維向量多項式N(t)和實(shí)多項式D(t)滿足

下面給出定理的證明

由b0,b1,…,bn,bn+1,…,b2n的確定過程和引理可得(5)式與(6)式.

由已證明的(6)式知存在多項式Q(t)，使得|N(t)|2=Q(t)D(t)，即

(7)

(8)

所以由(8)式得

D(ti)=Q(ti),i=0,1,…,n.

(9)

對(7)式兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，得

=2N′(t)·R(t)-D′(t)[R(t)·R(t)].

(10)

Q′(ti)=2N′(ti)·υi,0-D′(ti)，i=0,1,…,n-1.

(11)

N′(ti)=D(ti)υi,1+D′(ti)υi,0，i=0,1,…,n-1.

(12)

把(12)式代入(11)式右端，得

Q′(ti)=2(D(ti)υi,1+D′(ti)υi,0)·υi,0-D′(ti).

(13)

Q′(ti)=D′(ti)，i=0,1,…,n-1.

(14)

注由于υi,0,i=0,1,…,n-1是單位球面Sd-1(d≥3)上的點(diǎn)，而υi,1,i=0,1,…,n-1是其導(dǎo)向量，故υi,0與υi,1垂直，從而υi,1·υi,0=0，i=0,1,…,n-1.

由(iii)知

deg|N|2=4n，deg(D)=2n，

所以有

deg(Q)=2n.

(15)

由(9)式、(14)式和(15)式得

D(t)=Q(t).

4數(shù)值實(shí)例

為說明本文所給方法的有效性，下面給出數(shù)值實(shí)例.

例1給定單位球面上的三個向量

和相應(yīng)的參數(shù)值t0=0,t1=2,t2=4以及υ0,0,υ1,0處的導(dǎo)向量

解得

其中

N1(t)=7t4+16t3+t2-60t+108,

D(t)=43t4-164t3+307t2-276t+180.

R(t)的圖形如圖1，其中帶箭頭的線段表示相應(yīng)點(diǎn)處的切向量.

圖1　球面S2上的切觸有理插值曲線

例2給定單位球面上的三個向量

和相應(yīng)的參數(shù)t0=0,t1=2,t2=4以及υ0,0,υ1,0處的導(dǎo)向量

其中

N1(t)=-17t4+472t3-575t2-60t+108,

D(t)=163t4-284t3+307t2-276t+180.

R(t)的圖形如圖2，其中帶箭頭的線段表示相應(yīng)點(diǎn)處的切向量.圖3為 例1與例2中球面S2上的切觸有理插值曲線的組合.

圖2　球面S2上的切觸有理插值曲線　　圖3　例1與例2中球面S2上的切觸有理插值曲線的組合

5總結(jié)

對給定的單位球面Sd-1(d≥3)上n+1個互不相同的點(diǎn)υ0,0,υ1,0,…,υn-1,0,υn,0及相應(yīng)的參數(shù)值t0,t1,…,tn-1,tn(當(dāng)i≠j時，ti≠tj)和點(diǎn)υ0,0,υ1,0,…,υn-1,0處的導(dǎo)向量υ0,1,υ1,1,…,υn-1,1，本文給出了求廣義逆有理函數(shù)的方法，并證明了所得到的廣義逆有理函數(shù)滿足插值條件，且在超球面上.用數(shù)值實(shí)例說明了方法的有效性.由數(shù)值實(shí)例可看出，當(dāng)插值點(diǎn)及其參數(shù)相同，但插值點(diǎn)處的切向量不同時，得到的插值曲線也是不同的.關(guān)于超球面上更高階的切觸有理插值問題，將另文討論.

[參考文獻(xiàn)]

[1]Piegl L. The sphere as a rational Bézier surface[J]. Computer Aided Geometric Design,1986,3(1):45-52.

[2]Dietz R, Hoschek J. and Jüttler B. An algebraic approach to curves and surfaces on the sphere and other quadrics[J]. Computer Aided Geometric Design,1993,10(4):211-229.

[3]Dietz R, Hoschek J. and Jüttler B. Rational patches on quadric surfaces[J]. Computer-Aided Design, 1995,27(1):27-40.

[4]Anton Gfrerrer. Rational interpolation on hypersphere [J]. Computer Aided Geometric Design,1999, 16(1): 21-37.

[5]Thierry Gensane. Interpolation on the hypersphere with Thiele type rational interpolants[J]. Numerical Algorithms,2012,60(3):523-529.

[6]Graves-Morris P R. Vector-valued rational interpolants I [J]. Numer.ische Mathematik, 1983,42(2): 331-348 .

[7]王仁宏，朱功勤.有理函數(shù)逼近[M].北京：科學(xué)出版社，2004，133-139.

Osculatory Rational Interpolation on the Hypersphere

XUYan，GUOQing-wei

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:We have created the generalized inverse vector-valued rational function, based on vector’s Samelson inverse when given n+1 points and n derivative vectors on a unit hypersphere Sd-1. We prove that every vector-valued rational function created is a [2n,2n] type and is on a hypersphere, and the given parameter values interpolate in the given points and its derivative vectors. Numerical results are given to prove the effectiveness of the method.

Key words:the hypersphere； interpolation on hypersphere； Samelson inverse； vector-valued rational function

[中圖分類號]O241.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)02-0005-05