羅俊芝， 楊萬利， 劉艷霞

(裝甲兵工程學院基礎部，北京100072)

1 引 言

對于一個由曲面Γ所圍成的區(qū)域Ω而言，這個區(qū)域內的狄利克雷問題

的解表示為

(1)

其中M0(x0,y0,z0)為區(qū)域Ω上的任意點，M的坐標為(x,y,z)，n為區(qū)域Ω邊界的外法向量.

則(1)可進一步表示為

,

(2)

其中稱G(M,M0)稱為格林函數.

對任意函數f，上述的狄利克雷問題就轉化為求此區(qū)域內的格林函數G，也就是把問題

轉化為求解一個特殊的狄利克雷問題

(3)

如果把問題(3)中的v表示出來，就可以得到G(M,M0)，進而問題(1)就迎刃而解了. 格林函數法給出的解(2)是有限的積分形式，十分便于理論分析和研究.

雖然對于一般的區(qū)域Ω，求解上述問題(3)中的v并不是一件容易的事情，但是對于特殊區(qū)域上，文 [1]-[3]中利用電象法給出了格林函數的求法，該方法需要一定的物理知識作為儲備，如果物理知識不熟練，可能不容易對此問題進行討論.本文應用幾何對稱法研究問題(3)，進而求得格林函數.

2 幾何對稱法

2.1 平面對稱

假設空間區(qū)域上一點M(x0,y0,z0)，則 點M關于平面的對稱點為鏡像對稱點，如M(x0,y0,z0)關于平面z=0的對稱點為M(x0,y0,-z0).設點P關于平面Ax+By+Cz=-D的對稱點為M1(x1,y1,z1)，則有[5]

x1=-2A(Ax0+By0+Cz0+D)+x0,

y1=-2B(Ax0+By0+Cz0+D)+y0,

z1=-2C(Ax0+By0+Cz0+D)+z0.

2.2 球對稱點

球對稱點指以一個特定的球面為基礎，球心O為中心, 球半徑為常數k，點P和對稱點P′滿足

OP·OP′=k2.

利用幾何對稱法求取某些區(qū)域的格林函數，就是結合區(qū)域的特點，給出區(qū)域內任意點關于邊界曲面的對稱點，借助于幾何意義，構造相應的格林函數.如果空間區(qū)域的邊界曲面為平面，則利用關于平面的對稱點；如果空間區(qū)域的邊界曲面為球面，則利用球對稱點.

下面利用幾何對稱法求取某些區(qū)域的格林函數.

3 半空間的格林函數

3.1 半空間區(qū)域Ω:z≥0

該區(qū)域上的狄利克雷問題對應的格林函數為

其中v為調和函數，同時v滿足

圖1

根據幾何知識知，

代表的是MM0兩點的距離，若M取在Ω:z≥0的邊界Γ:z=0時，MM0兩點的距離顯然與M到M0關于邊界z=0的對稱點M1(x0,y0,-z0)的距離相等 (圖1)，所以選取

.

,

則原拉普拉斯方程或者泊松方程的狄利克雷問題

的解可表示為

3.2 半空間區(qū)域Ω:Ax+By+Cz+D≥0

圖2

所以選取

設M0關于邊界平面Γ:Ax+By+Cz+D=0的對稱點M1(x1,y1,z1)[5]，則通過求解有

x1=-2A(Ax0+By0+Cz0+D)+x0,

y1=-2B(Ax0+By0+Cz0+D)+y0,

z1=-2C(Ax0+By0+Cz0+D)+z0，

從而

推論如果區(qū)域為平面區(qū)域Π，即Π:y≥0，邊界為Γ:y=0，則平面域Π上的狄利克雷問題

因為

注意到v為調和函數且v滿足

G

M

，

其中

4 球域的格林函數

如果區(qū)域Ω為x2+y2+z2≤R2(圖3),此區(qū)域上的狄利克雷問題為

圖3

因為G(M,，且v滿足

首先選取M0的球對稱點為M1(x1,y1,z1)(圖3).

所謂球對稱點滿足

R2=OM0·OM1.

當M∈Γ時，

ΔOM0M～ΔOMM1.

選取

其中a為待定的常數，且滿足

易見v為x2+y2+z2≤R2上的解析函數.

設∠M0OM=γ，rOM=ρ，則

格林函數

則原拉普拉斯方程或者泊松方程的狄利克雷問題

的解可表示為

因為G的邊界為x2+y2+z2=R2，故

其中n為OM的方向.從而有

或者寫成球面坐標形式

本文利用幾何對稱法求取特殊區(qū)域狄利克雷問題中的格林函數.對于空間區(qū)域Ω，若點P為該區(qū)域Ω的任意一點，通過點P尋找該區(qū)域上的格林函數，關鍵是尋找點P關于該區(qū)域邊界的對稱點.一般而言，如果區(qū)域是規(guī)則區(qū)域，區(qū)域內的點P關于規(guī)則區(qū)域邊界的對稱點需要根據區(qū)域的邊界特點，如果空間區(qū)域Ω的邊界曲面為平面，一般取點關于平面的對稱點；如果區(qū)域Ω的邊界曲面為球面，一般取點關于球面的球對稱點；如果區(qū)域Ω的邊界為直線，一般取點關于直線的對稱點.針對不同的區(qū)域，根據幾何意義，選取相應的格林函數形式，該方法與利用物理知識獲得格林函數是殊途同歸，這將在數學物理的學習和科研中有著很好的參考價值.

[參 考 文 獻]

[1] 王元明. 數學物理方程與特殊函數[M]. 4版.北京：高等教育出版社，2012.

[2] 閆桂峰. 數學物理方法[M].北京：北京理工大學出版社，2009.

[3] 邵惠民. 數學物理方法[M].北京：科學出版社，2004.

[4] 王元明. 數學物理方程與特殊函數學習指導與習題解答[M].北京：高等教育出版社，2012.

[5] 徐沈新.三維空間中的對稱問題[J].吉首大學學報( 自然科學)，1991，12(5)：23-26.

[6] 楊紀華，楊志鑫. 二維調和方程Dirichlet問題格林函數的求解[J].寧夏師范學院學報(自然科學)， 2012，33(3)：15-18.

[7] 趙天玉，劉慶.反演變換在調和函數研究中的應用[J].長江大學學報( 自然科學版)，2009，6(3):1-4.