華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 尹淑芬

三次多項式的對稱點及其應用
——從廣州一模的一道選擇題談起

華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 尹淑芬

處理這道題的關鍵一步是要找到這個三次函數(shù)所對應的三次多項式的對稱點,接著利用三次多項式對稱點的定義與性質進行計算.其實三次多項式的對稱點在高中解題中有比較大的應用.因此筆者就寫下本文了.筆者將在本文先證明三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱點的存在性,接著給出三次多項式關于對稱點的性質,最后舉例說明這些性質在解題中的應用.

三次多項式的對稱點的概念界定

對于三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0),如果存在某一實數(shù)x0,對任意x都有成立,就稱x0為此三次多項式的對稱點.例如,三次多項式x3?3x2+2x+1,實數(shù)1滿足(1?x)3?3(1?x)2+2(1?x)+ (1+x)3?3(1+x)2+2(1+x)=2×13+2×(?3)×12+2×1×1,那么實數(shù)1就是三次多項式x3?3x2+2x+1的對稱點.

附注如果實數(shù)x0是三次多項式的對稱點,那么有

三次多項式的對稱點的存在性

證明3 不難發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)的對稱中心的橫坐標就是三次函數(shù)所對應的三次多項式的對稱點,觀察三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)所對應的三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖像,可以知道函數(shù)圖像在對稱中心左右兩邊的凹凸性是相反的,如果a＞0,函數(shù)在對稱中心的左邊是凸函數(shù),隨著自變量x的增大,切線的斜率在減小,三次函數(shù)的二階導數(shù)小于0,而在對稱中心的右邊是凹函數(shù),隨著自變量的增大,切線的斜率在增大,三次函數(shù)的二階導數(shù)大于0;如果a＜0,函數(shù)在對稱中心的左邊是凹函數(shù),隨著自變量x的增大,切線的斜率在增大,三次函數(shù)的二階導數(shù)大于0,而在對稱中心的右邊是凸函數(shù),隨著自變量x的增大,切線的斜率在減小,三次函數(shù)的二階導數(shù)f′′(x)小于0.不難發(fā)現(xiàn),三次函數(shù)的二階導數(shù)在對稱中心處等于0.因此要求三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱點可以求出三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的二階導數(shù)f′′(x)的零點,該零點就是三次多項式的對稱點.

從上述證明過程,可以得知任何三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)存在唯一對稱點

三次多項式的對稱點的性質

從上述證明過程,可以獲得三次多項式的對稱點的如下性質:

性質一三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱點是三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)二階導數(shù)f′′(x)=6ax+2b的零點.

性質二三次多項式ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱點是三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)一階導數(shù)f′(x)=3ax2+2bx+c的對稱軸

三次多項式的對稱點在解題中的應用

例1(2013年高考全國2卷文科、理科數(shù)學第10題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結論錯誤的是( )

A.?x0∈R,f(x0)=0

B.函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對稱圖形

C.若x0是f(x)的極小值點,則f(x)在區(qū)間(?∞,x0)上單調遞減

D.若x0是f(x)的極小值點,則f′(x0)=0

例3(湖北省八校2016屆高三聯(lián)考第12題)已知直線x?9y?8=0與曲線C:y=x3?px2+3x相交于點A,B,且曲線C在A,B處的切線平行,則實數(shù)p的值為( )

A.4 B. 4或?3 C.?3或?1 D.?3

解析(常規(guī)方法)由y=x3?px2+3x,得y′= 3x2?2px+3.設A(x1,y1),B(x2,y2),則曲線C在A,B處的切線的斜率分別為

因為曲線C在A,B處的切線平行,所以

新方法因為曲線C在A,B處的切線平行,所以直線過曲線C的對稱中心所以p=?3或p=?1或p=4.當p=?1,y′=3x2+2x+3＞0,曲線C單調遞增,與直線x?9y?8=0相交于一點,因此p≠1.經檢驗,p=?1與p=4符合題意.

評注顯然,常規(guī)方法計算量大,運算繁瑣.然而利用三次多項式的對稱點的性質就能簡單快捷地解答本道題,而且也容易理解.

例4 (2004年高考重慶理科數(shù)學卷第20題)設函數(shù)f(x)=x(x?1)(x?a),(a＞1)

(1)求f′(x);并證明f(x)有兩不同的極值點x1,x2;

(2)若不等式f(x1)+f(x2)≤0成立,求a的取值范圍.

評注利用三次多項式的對稱點的性質進行解答問題(2),解答過程簡短,思路清晰.也省去了常規(guī)方法中的繁瑣的運算.

從上述例題,可以發(fā)現(xiàn)三次多項式的對稱點在高考中還是比較常見的,而且利用其性質解題能夠簡化計算,也更加便捷,因此考生應給予必要的重視,將它的性質應用于解題中.