揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225002) 茆福星 濮安山

構(gòu)造圖形解決高考中不等式問題的例析*

揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225002) 茆福星(1)濮安山(2)

不等式是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,它幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域,一直都是歷年高考的熱點(diǎn).通過研究近幾年全國的高考題,一些具有幾何背景的不等式出現(xiàn)在全國各地的高考題中.而這些具有幾何背景的不等式,通過構(gòu)造圖形來解決,更加簡便快捷,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.對這類問題的分析與總結(jié),為學(xué)生解決不等式問題增添了新途徑.其巧妙靈活的方法也有利于培養(yǎng)學(xué)生的解決綜合題目的能力和創(chuàng)新的思維.本文以近三年的高考題為例,分析構(gòu)造圖形的方法來解決某些不等式的解題策略.

一、構(gòu)造平面幾何圖形

當(dāng)不等式滿足多邊形的邊或角之間的數(shù)量關(guān)系時,比如:三角形的任意一邊大于兩邊之差小于兩邊之和;正方形的四邊相等;三角形內(nèi)角和180°;正方形四個角都是直角;三角形正余弦定理;勾股定理等,可以通過構(gòu)造滿足邊或角數(shù)量關(guān)系的多邊形,利用圖形本身的性質(zhì)解答不等式.

例1(2015,新課標(biāo)全國卷II)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:

(I)若ab＞cd,則(II)略.

解當(dāng)兩個正數(shù)和為定值時,若兩數(shù)之間的差值越小,則其乘積越大.因?yàn)閍b＞cd,所有四個字母中c和d必是一個最大一個最小,不妨設(shè)c最大d最小,同理設(shè)a＞b.則有c＞a＞b＞d.由a+b=c+d知c?a=b?d,聯(lián)想到勾股定理,因此作以為斜邊、以為直角邊的Rt△ADC,同理作以為直角邊,斜邊的Rt△BDC,拼成如圖1的△ABC.由d＜a知AD＞BD,則在AD上取點(diǎn)B′,使得B′D=BD.又根據(jù)三角形三邊關(guān)系得AB′+B′C＞AC,即

評析此題代數(shù)方法也可以解答,但題目給出的a+b=c+d能夠聯(lián)想到勾股定理,等式滿足三角形邊之間的數(shù)量關(guān)系,通過構(gòu)造符合數(shù)量關(guān)系的三角形,從三角形的幾何性質(zhì)解答不等式.

二、構(gòu)造兩點(diǎn)間的距離

例2(2016,江蘇)已知實(shí)數(shù)x,y滿足則x2+y2的取值范圍是____.

解不等式組所表示的平面區(qū)域是以點(diǎn)(0,2),(1,0),(2,3)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,如圖2陰影部分.x2+y2容易聯(lián)想到點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)距離的平方,因此以原點(diǎn)為起點(diǎn),三角形及其內(nèi)部任意一點(diǎn)為終點(diǎn),構(gòu)造線段.容易從圖中得出,當(dāng)(x,y)取點(diǎn)(2,3)時,兩點(diǎn)距離最大為而兩點(diǎn)最短距離即為原點(diǎn)到直線2x+y?2=0的距離,其是則x2+y2的取值范圍為

圖2

評析此題先根據(jù)不等式組在直角坐標(biāo)系中畫出平面區(qū)域,然后由x2+y2聯(lián)想到兩點(diǎn)之間的距離公式,構(gòu)造線段,并根據(jù)線段的長短來得出結(jié)果.

三、構(gòu)造直線的斜率

例3(2015,新課標(biāo)全國卷I)若x,y滿足約束條件則的最大值為____.

圖3

解作出可行域如圖3的陰影部分所示,把看成陰影部分內(nèi)部及邊上的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率.當(dāng)這條連線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn),斜率值的大小也隨之改變.構(gòu)造如圖3的直線,旋轉(zhuǎn)直線,容易得到當(dāng)直線過點(diǎn)(1,3)時,斜率最大為3,故的最大值為3.

評析本題中可以看出直線的斜率,根據(jù)斜率的幾何性質(zhì),旋轉(zhuǎn)構(gòu)造的直線,得到斜率的取值范圍,進(jìn)而能得出斜率的最大值,得出不等式結(jié)果.

四、構(gòu)造向量模型及其相關(guān)圖形

向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份,當(dāng)不等式中能轉(zhuǎn)換成向量知識來解決或者在向量知識包含不等式知識時,可以嘗試構(gòu)造向量模型及其相關(guān)圖形,借助向量的模型和相關(guān)圖形的性質(zhì),求出不等式的結(jié)果.

例4(2014,安徽,理)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,點(diǎn)Q滿足曲線區(qū)域若C∩?為兩段分離的曲線,則( )

A. 1＜r＜R＜3 B. 1＜r＜3≤R

C.r≤1＜R＜3 D. 1＜r＜3＜R

圖4

解由已知可設(shè)a=(1,0),b=(0,1),P(x,y),則曲線C={(cosθ,sinθ)|0≤θ＜2π},聯(lián)想到圓,構(gòu)造以原點(diǎn)為圓心的單位圓,即C:x2+y2=1.區(qū)域聯(lián)想到圓環(huán),構(gòu)造如圖4的陰影部分的圓環(huán).如圖4所示,要使C∩?為兩段分離的曲線,只有1＜r＜R＜3.

評析根據(jù)向量關(guān)系,構(gòu)造向量模型,進(jìn)而構(gòu)造出單位圓和圓環(huán),從圖形的位置關(guān)系得出不等式的結(jié)果.

五、構(gòu)造數(shù)軸

絕對值是高中數(shù)學(xué)常見的知識點(diǎn),在歷年的高考中也頻繁出現(xiàn),當(dāng)絕對值出現(xiàn)在不等式中,可以應(yīng)用絕對值的幾何意義,構(gòu)造數(shù)軸等圖形解答.構(gòu)造數(shù)軸適合含有以下三種絕對值的不等式.

①|(zhì)x?a|,其幾何意義是數(shù)軸到點(diǎn)a的距離.②|x?a|+|x?b|,其幾何意義是數(shù)軸到點(diǎn)a和點(diǎn)b的距離之和.③|x?a|?|x?b|,其幾何意義是數(shù)軸到點(diǎn)a的距離比到點(diǎn)b的距離長多少或短多少.

例5(2015,山東,理)不等式|x?1|?|x?5|＜2的解集是( )

A.(?∞,4) B.(?∞,1) C.(1,4) D.(1,5)

圖5

解不等式的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)到1的距離與到5的距離之差小于2,構(gòu)造如圖5的數(shù)軸,觀察數(shù)軸有4到1的距離正好比到5的距離長2.那么比4的小的數(shù)都成立,因此不等式的解集為(?∞,4).

點(diǎn)評先分析含有絕對值不等式的幾何意義,在數(shù)軸上準(zhǔn)確畫出圖形,然后結(jié)合數(shù)軸分析解答出不等式的結(jié)果.

此外還可以構(gòu)造直線、圓、立體幾何等圖形來解決不等式問題,但因?yàn)槿鄙俳鼛啄甑母呖碱}來論證,在這里無法討論.美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說:如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形,那么思想就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.構(gòu)造圖形能夠巧妙簡便地解決高中數(shù)學(xué)中某些不等式問題,對解決其它問題(例如:數(shù)列、函數(shù))也同樣適用.

[1]王亞雄,周國明.圖形構(gòu)造法證明不等式[J].科技信息,2011(34): 154-155

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(1)全日制教育碩士研究生教育實(shí)習(xí)的研究—以學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))為例(JGLX15_160).(2)江蘇高校品牌專業(yè)建設(shè)工程資助項(xiàng)目(PPZY2015B109)