高自行

安徽新課程標準實施已六年了，總體分析近幾年的高考試卷和2014年安徽省考試說明（數(shù)學），我們可以看出，其對應試者的分析問題和解決問題的能力要求逐年提高.在平時的數(shù)學教學中，通過大量較少思考量的問題的重復訓練，只能提高熟練程度，而不能提高思維能力，這種題海戰(zhàn)術(shù)對能力的提高和發(fā)展幫助不大.那么如何才能不斷提高能力呢？答案就是進行解題后的反思.解題反思是一種對解題活動的“元認知”，是對解題活動的深層次再思考.它不僅是對數(shù)學解題學習的一般性回顧或重復，更是探究數(shù)學解題活動中涉及的知識、方法、思路、策略等，具有批判性、自主性.解題反思不僅有助于加深對知識的理解，提高知識理解的層次，而且能幫助學生提高思維的變通性，提升學生做題的境界.下面談談解題后反思的幾個切入點，僅供參考.

一、反思解題過程的完整性

數(shù)學解題，其實質(zhì)就是運用學過的數(shù)學知識，借助一定的解題方法解決數(shù)學問題.解完一道題后，應作進一步思考：題目中所有的已知條件（包括隱含條件）都注意了嗎？題目所要求的問題都解決了嗎？解題中所用的公式是否是課本中已證過的結(jié)論？還有沒有需要補充和刪除的部分，等等.

例1：口袋中有2個紅球，3個白球和5個黑球，從中有放回地取20次，每次取出1個球后記下顏色，統(tǒng)計結(jié)果如下表：

則取到紅球的頻率是（ ）

A.0.2 B.0.25 C.0.3 D.0.5

錯解：A剖析：產(chǎn)生錯解的原因是將統(tǒng)計數(shù)據(jù)的頻率與事件發(fā)生的概率兩個概念混同，以為共10個球，紅球有2個，則所求為0.2.實際上這是一個理想化的數(shù)據(jù)，是概率值，而不是統(tǒng)計數(shù)據(jù)涉及的頻率.概率是頻率的穩(wěn)定值，可以從頻率方面體現(xiàn)出來，但頻率是統(tǒng)計結(jié)果，具有個性化特征，而概率具有概括性和穩(wěn)定性，具有理想化特征.

正解：所求頻率為■=0.25，故選B.

通過對典型錯題的反思，不但能達到正本清源的效果，而且能啟發(fā)學生準確理解相關(guān)概念的內(nèi)涵，養(yǎng)成驗證答案是否合理有效的習慣.

二、反思解題思路的嚴謹性

在解題的過程中，學生會受到題目中一些信息的主導和干擾，不能全面周密地考慮問題，使求解過程偏離方向，造成誤解.反思解題思路，能及時修正錯誤.

例2：是否存在實數(shù)a，使函數(shù)y=sin2x+acos x+■a-■在閉區(qū)間[0，■]上的最大值為1？若存在，求出對應的a值；若不存在，請說明理由.

錯解：假設存在實數(shù)a，

則y=sin■x+acosx+■a-■

=-cos■x+a cosx+■a-■

=-（cosx-■）■+■+■a-■

令t=cosx，則y=-（t-■）■+■+■a-■

當t=■時，y■=■+■a-■=1

解得a=-4或a=■，故存在a=-4或a=■符合題意.

正解：假設存在實數(shù)a，

則y=sin■x+acosx+■a-■

=-cos■x+acosx+■a-■

=-（cosx-■）■+■+■a-■

當0≤x≤■時，0≤cosx≤1，

令t=cosx，則0≤t≤1，

y=-（t-■a）■+■+■a-■，0≤t≤1.

（1）當0≤■≤1，即0≤a≤2時，

則當t=■，即cosx=■時，y■=■+■a-■=1，

解得a=■或a=-4（舍去），故a=■

（2）當■<0，即a<0時，則當t=0，即cosx=0時，y■=■a-■=1，

解得a=■，由于a<0，

因此這種情況下不存在滿足條件的a值.

（3）當■>1，即a>2時，則當t=1，即cosx=1時，y■=■a-■=1，

解得a=■，由于■<2，

因此這種情況下不存在滿足條件的a值.

綜上可知，存在a=■符合題意.

反思：審題不仔細，導致?lián)Q元時忽視了新元的取值范圍限制，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，新元t的取值范圍應該是[0，1]，而不是R或[-1，1].

通過反思錯解原因，學生認識到仔細審題和深挖題目的隱含條件的重要性.

三、反思解題方法的靈活性

解數(shù)學題是離不開解題方法的，而解題方法的選擇又是以數(shù)學思想方法為基礎(chǔ)的.數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，是對數(shù)學的本質(zhì)認識.解題方法的選擇與運用，往往對解題過程的繁簡起著決定性作用.一道題目解完后，引導學生反思所應用的解題方法，探索新的解題思路，對提高學生數(shù)學思維的“變通”能力頗有益處.這也是課程改革的基本要求.

例3：已知函數(shù)g（x）=x+■（x>0）.若g（x）=m有零點，求m的取值范圍.

解：方法一：因為g（x）=x+■≥2■=2e，

等號成立的條件是x=e.

故g（x）的值域是[2e，+∞），因而只需m≥2e，則 g（x）=m就有零點.

反思：本題解法思路明確，即利用基本不等式求得g（x）的值域，從而得到使g（x）=m有零點的m的取值范圍.

方法二：解方程由g（x）=m，得x■-mx+e■=0.此方程有大于零的根，

等價于m>0m≥2e或m≤-2e故■>0△=m■-4e■≥0，

故m≥2e.

反思：本題解法思路清晰，即利用方程思想求得m的取值范圍，但列式復雜，解題困難.

方法三：作出g（x）=x+■ 的圖像，如圖：

可知若使g（x）=m有零點，則只需m≥2e.

反思：本題解法利用數(shù)形結(jié)合思想，可很形象、直觀地求出m的范圍，與方法一、方法二比較，顯然輕松簡潔得多.

經(jīng)常進行這樣的反思練習，對提高學生的思維變通能力是很有好處的.

四、數(shù)學思想、反思生輝

日本數(shù)學家、教育家米三藏指出：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年可能就忘記了，唯有深深銘記頭腦中的數(shù)學精神、數(shù)學的思想、研究方法和著眼點等，這些都是隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益.”在每一次解題后，讓學生對解題過程中反映的數(shù)學思想、方法進行總結(jié)、概括，從而建立起良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).

如案例3中讓學生反思得出：

（1）求參數(shù)范圍的方法：基本不等式、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造函數(shù)法等.

（2）蘊含的數(shù)學思想方法：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.

總之，在平時的解題過程中，養(yǎng)成題后反思的習慣，引導學生在反思上下工夫，反思問題的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，在反思中獲得方法，在反思中促進思維的發(fā)展，既利于加強“雙基”的掌握，又有利于加強知識的有效遷移，是提高解題能力的重要途徑.

參考文獻：

[1]2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試安徽卷考試說明——數(shù)學（理科）.

[2]楊俊林.解題反思：培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的有效途徑[J].高等函授學報，2009（5）.

[3]王能群.解題錯誤是一種教學資源[J].教育實踐與研究（中學版），2009（12）.