劉敘含， 申曉紅， 姚海洋， 鄧 欣

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安 710000；2.湛江南海西部石油勘察設(shè)計(jì)有限公司，廣東 湛江 524057)

0 引 言

傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理要求信號(hào)的采樣速率必須達(dá)到信號(hào)最高頻率的2倍或2倍以上才能夠精確重構(gòu)原始信號(hào)。2004年,Donoho D L和Candès Emmanuel等人提出的壓縮感知(compressed sensing，CS)理論突破了奈奎斯特定理的局限，是近年來信息處理領(lǐng)域的一個(gè)重大突破[1～3]。

壓縮感知包括以下三方面內(nèi)容：信號(hào)的稀疏表示、觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)和信號(hào)的重構(gòu)。觀測(cè)矩陣在信號(hào)采樣和數(shù)據(jù)重建環(huán)節(jié)發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。常用的觀測(cè)矩陣分為三類。第一類包括高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣、貝努利隨機(jī)觀測(cè)矩陣等，這類隨機(jī)觀測(cè)矩陣需要大存儲(chǔ)空間、高計(jì)算復(fù)雜度；第二類包括部分傅里葉矩陣、部分哈達(dá)瑪矩陣等，這類觀測(cè)矩陣只與時(shí)域、頻域稀疏的信號(hào)不相關(guān)，不具有普適性；第三類包括托普利茲矩陣、二進(jìn)制稀疏矩陣等，這類觀測(cè)矩陣是針對(duì)某一特定信號(hào)而設(shè)計(jì)的，應(yīng)用范圍存在很大的局限性。目前，各文獻(xiàn)中最常用的觀測(cè)矩陣為高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣。

針對(duì)目前常用的三類觀測(cè)矩陣存在的缺陷，本文提出了一種基于帳篷混沌序列的觀測(cè)矩陣的構(gòu)造方法。與典型的隨機(jī)觀測(cè)矩陣相比，帳篷混沌觀測(cè)矩陣具備了混沌系統(tǒng)優(yōu)異的偽隨機(jī)性，易于產(chǎn)生和實(shí)現(xiàn)。通過對(duì)二維圖像信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明:所設(shè)計(jì)的帳篷混沌觀測(cè)矩陣不僅在信號(hào)重構(gòu)時(shí)的性能優(yōu)于隨機(jī)觀測(cè)矩陣，并且在硬件實(shí)現(xiàn)、存儲(chǔ)方面的優(yōu)勢(shì)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于隨機(jī)高斯觀測(cè)矩陣。

1 壓縮感知理論

壓縮感知理論的核心思想是將壓縮與采樣合并進(jìn)行。該理論指出，只要信號(hào)是可壓縮的或在某個(gè)變換域是稀疏的，那么就可以用一個(gè)與變換基不相干的觀測(cè)矩陣將高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，然后通過求解優(yōu)化問題即可從這些少量的投影中以高概率重構(gòu)原始信號(hào)，可以證明這些少量的投影包含了重構(gòu)信號(hào)所需的足夠信息。

設(shè)X為實(shí)值有限的一維離散信號(hào)，長度為N，它可以看作是RN空間的N×1維列向量。若信號(hào)X在一個(gè)正交變換基組成的變換矩陣ψ∈RN×N下能表示為

X=ψΘ.

其中,Θ=[θ1,θ2,…,θN]T稱為信號(hào)X在基矩陣ψ下的投影系數(shù)向量。理想情況下，若Θ中非零值的個(gè)數(shù)K?N，則認(rèn)為X在ψ域中是K稀疏的。在實(shí)際中，對(duì)于由少量幅度較大的值和大量幅度較小的值組成的信號(hào)，Cande E J和Tao T在研究信號(hào)的稀疏表示時(shí)提出可以通過變換系數(shù)的衰減速度來衡量變換基的稀疏表示能力，并指出信號(hào)如果在某域的變換系數(shù)滿足具有冪次(power-law)速度衰減，就可以用壓縮感知理論得到恢復(fù)[4]。

利用一個(gè)與ψ不相關(guān)的觀測(cè)矩陣Φ∈RM×N對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)，從而獲得觀測(cè)值Y

Y=ΦΘ=ΦΨ-1X=ACSX.

其中,Y是包含M個(gè)線性觀測(cè)值的一維列向量，而這些少量的觀測(cè)值包含了重構(gòu)原始信號(hào)X的足夠信息。理論上，觀測(cè)矩陣和稀疏信號(hào)之間應(yīng)滿足有限等距性質(zhì)(restricted isometry property，RIP)[5]。

信號(hào)的重構(gòu)是指，在已知ψ,Φ,Y的條件下，選擇合適的重構(gòu)算法恢復(fù)原始信號(hào)X。由于M?N，即方程的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，因此,從Y中恢復(fù)X是一個(gè)欠定問題，其解不唯一。然而，由于X是K稀疏的，可在滿足一定條件下通過求解一個(gè)非線性優(yōu)化問題,從ψ,Φ,Y中近乎完美地重建信號(hào)[6]。

2 基于混沌觀測(cè)矩陣的壓縮感知

高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣之所以能夠作為最常用的觀測(cè)矩陣，主要在于它與絕大多數(shù)正交矩陣不相關(guān)，并且當(dāng)M≥cKlg(N/K)時(shí)隨機(jī)高斯矩陣便以極高的概率滿足RIP性質(zhì)，其中,c是一個(gè)很小的常數(shù)，K為稀疏度[7]。

雖然隨機(jī)觀測(cè)矩陣具有以上優(yōu)點(diǎn)被普遍地作為觀測(cè)矩陣，但所有的隨機(jī)觀測(cè)矩陣都存在以下不足：1)隨機(jī)矩陣的產(chǎn)生具有不確定性，需要通過大量的實(shí)驗(yàn)求均值的方法來降低不確定性對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來的影響；2)在實(shí)際應(yīng)用中，該類觀測(cè)矩陣計(jì)算復(fù)雜度高，占用存儲(chǔ)空間大，而且硬件難以實(shí)驗(yàn)。

混沌理論揭示了確定性與隨機(jī)性的統(tǒng)一，由混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的序列具有優(yōu)異的偽隨機(jī)性[8]，易于產(chǎn)生和重現(xiàn)。與隨機(jī)系統(tǒng)相比，混沌系統(tǒng)的參數(shù)和初始值一旦確定，混沌系統(tǒng)每一時(shí)刻的狀態(tài)是可以完全重現(xiàn)的，存儲(chǔ)和傳輸?shù)膮?shù)較少，可大大減少存儲(chǔ)空間和傳輸帶寬的壓力。由于混沌序列可以克服隨機(jī)觀測(cè)矩陣的不足，可以考慮將其應(yīng)用在壓縮感知觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)中。

帳篷映射[9]是一種應(yīng)用相當(dāng)廣泛的離散混沌系統(tǒng)，其映射方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

xn+1=a-(1+a)|xn|.

其中,a∈(0,1)。本文仿真實(shí)驗(yàn)中令a=0.999，迭代初值x0=0.01。當(dāng)?shù)螖?shù)n=10 000時(shí)，迭代點(diǎn)空間分布圖如圖1所示。

圖1 帳篷映射迭代點(diǎn)空間分布圖

整體來看，所有迭代點(diǎn)均勻地分布在(-1,1)的區(qū)間內(nèi)，遍布了整個(gè)有界區(qū)域，但各個(gè)點(diǎn)卻又是雜亂分布，沒有規(guī)律，這正體現(xiàn)了混沌序列的偽隨機(jī)性。利用迭代產(chǎn)生的序列{x1,x2,…，xn}設(shè)計(jì)帳篷混沌觀測(cè)矩陣如下

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)利用3種典型的隨機(jī)觀測(cè)矩陣，即高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣、貝努力觀測(cè)矩陣、離散余弦觀測(cè)矩陣與所設(shè)計(jì)的帳篷混沌觀測(cè)矩陣進(jìn)行對(duì)比，分別對(duì)數(shù)據(jù)量不同的二維圖像信號(hào)進(jìn)行壓縮和重構(gòu)。

分別以40×40的二值紫荊花圖像和70×70的二值字母圖像為例，原始圖像如圖2(a),(b)所示。對(duì)2個(gè)圖像進(jìn)行離散余弦變換(DCT)，得到頻域稀疏信號(hào)，如圖3、圖4所示；再分別采用帳篷混沌觀測(cè)矩陣和3種典型的隨機(jī)觀測(cè)矩陣對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)，得到壓縮信號(hào)；最后采用匹配追蹤(MP)算法[10]進(jìn)行重構(gòu)。

圖2 原始圖像

圖3 二值紫荊花圖像的DCT波形

圖4 二值字母圖像的DCT波形

利用不同觀測(cè)矩陣對(duì)紫荊花圖像進(jìn)行觀測(cè)，當(dāng)觀測(cè)值M=1000時(shí)，重構(gòu)結(jié)果如圖5所示。

圖5 M=1 000時(shí)不同觀測(cè)矩陣的重構(gòu)結(jié)果

利用不同觀測(cè)矩陣對(duì)字母圖像進(jìn)行觀測(cè)，當(dāng)觀測(cè)值M=3 000時(shí)，重構(gòu)結(jié)果如圖6所示。

圖6 M=3 000時(shí)不同觀測(cè)矩陣的重構(gòu)結(jié)果

可以直觀地看出:采用帳篷混沌觀測(cè)矩陣進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，紫荊花圖像和字母圖像的重構(gòu)效果更佳。當(dāng)觀測(cè)值不同時(shí)，對(duì)2幅圖像采用不同觀測(cè)矩陣得到的重構(gòu)誤碼率分別如圖7、圖8所示。

圖7 二值紫荊花圖像重構(gòu)結(jié)果對(duì)比

圖8 二值字母圖像重構(gòu)結(jié)果對(duì)比

圖7、圖8表明:采用帳篷混沌觀測(cè)矩陣，其重構(gòu)的誤碼率性能也是優(yōu)于隨機(jī)觀測(cè)矩陣的。由于隨機(jī)觀測(cè)矩陣的每一次產(chǎn)生都具有不確定性，為了減小不確定性對(duì)仿真結(jié)果的誤差影響，其誤碼率是1000次蒙特—卡洛仿真求平均的結(jié)果。而帳篷混沌觀測(cè)矩陣具有確定性，只需一次仿真即可得到結(jié)果，這是帳篷混沌觀測(cè)矩陣的優(yōu)勢(shì)之一。

通過仿真驗(yàn)證了帳篷混沌觀測(cè)矩陣的確克服了隨機(jī)觀測(cè)矩陣的不足：1)帳篷混沌觀測(cè)矩陣的參數(shù)和初始值一旦確定，可以在任何時(shí)刻完全重現(xiàn)，克服了隨機(jī)觀測(cè)矩陣需要大量實(shí)驗(yàn)求均值來降低不確定性對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響的缺陷；2)隨機(jī)觀測(cè)矩陣在仿真實(shí)驗(yàn)中需要存儲(chǔ)和傳輸整個(gè)巨大的

觀測(cè)矩陣中的所有元素。例如:二值字母圖像的仿真實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)M=3000時(shí)，高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣需要存儲(chǔ)M×N=3 000×70×70=1.47×107個(gè)數(shù)據(jù)。而帳篷混沌觀測(cè)矩陣只需要存儲(chǔ)和傳輸一個(gè)帳篷序列表達(dá)式xn+1=a-(1+a)|xn|和2個(gè)參數(shù)初始值a=0.999,x0=0.01即可，大大節(jié)省了存儲(chǔ)空間和傳輸帶寬、降低了計(jì)算復(fù)雜度。當(dāng)數(shù)據(jù)量更大時(shí)，帳篷混沌觀測(cè)矩陣的優(yōu)勢(shì)會(huì)更加明顯。

4 結(jié) 論

通過對(duì)二維圖像信號(hào)的仿真實(shí)驗(yàn)表明:本文所設(shè)計(jì)的帳篷混沌觀測(cè)矩陣能夠以高概率重構(gòu)信號(hào),其重構(gòu)性能不但優(yōu)于目前常用的隨機(jī)觀測(cè)矩陣，而且克服了隨機(jī)觀測(cè)矩陣在不確定性、硬件實(shí)現(xiàn)、存儲(chǔ)方面的缺陷。

雖然壓縮感知理論具有廣闊的應(yīng)用前景，一經(jīng)提出就受到了廣泛關(guān)注，但其理論還不夠完善。關(guān)于稀疏性、有限等距約束原則在實(shí)際中的驗(yàn)證是一個(gè)組合復(fù)雜度問題，極為復(fù)雜，尋求一種嚴(yán)密并且在實(shí)際中易于驗(yàn)證的準(zhǔn)則是有必要的。

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