劉晶磊，葉慶志，宋緒國，羅 強，呂文強

(1.西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室， 成都 610031；2.鐵道第三勘察設計院集團有限公司，天津 300251)

基于傳遞矩陣法的重載鐵路路基基床應力及變形分析方法研究

劉晶磊1，2，葉慶志1，宋緒國2，羅 強1，呂文強1

(1.西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室， 成都 610031；2.鐵道第三勘察設計院集團有限公司，天津 300251)

目前現行規(guī)范對層狀體系的鐵路路基基床結構的應力應變計算采用等效厚度法，按Boussinesq公式進行計算，等效厚度法采用Odemark模量與厚度當量假定，將路基上不同模量的厚度土層折算成與路基下部填料同模量的等效層厚，該方法并沒有很好反映不同土層材料性質之間的差異，對高模量的道砟層、基床表層、基床底層在路基應力場分布中的作用，缺乏嚴密的理論依據。針對重載鐵路路基4層結構體系，采用基于傳遞矩陣的層狀理論分析方法針對其不同深度處的應力變形求解。通過均質土層的計算結果與Boussinesq公式的理論結果的比較，驗證了傳遞矩陣法及其計算程序可行性，最后為了進一步說明該方法的合理性，對比有限元和傳遞矩陣法的計算結果，結果表明，二者吻合較好。

重載鐵路路基；傳遞矩陣法；層狀體系；Boussinesq公式

1 概述

客運高速、貨運重載是當今世界各國鐵路發(fā)展的兩大趨勢，重載鐵路運送能力大，經濟和社會效益顯著，發(fā)展鐵路重載運輸，已成為世界各國鐵路運輸發(fā)展的方向，也是我國加速提高鐵路運輸能力的主要途徑。

在現有鐵路路基設計的規(guī)范[1-3]中，動應力沿路基深度的分布，采用理論計算辦法，根據采用Odemark的模量與厚度當量假定，將不同模量(模量E)的厚度h折算成與底層(模量E0)同模量的等效層厚he

進行等效厚度轉換后，再根據Boussinesq公式的應力解可得矩形荷載中心點處的垂直應力，見式(2)

式中σz為矩形均布荷載中心點下z深度處的垂直應力；m=a/b，n=Z/b，2a為荷載長邊，2b為荷載短邊；P0為荷載強度。

對于基床結構的變形計算，首先采用上述的方法計算應力，再根據實際空間內的應力和各層的計算模量，計算各點應變，再由應變計算路基面變形。

可見，目前現行的鐵路路基設計規(guī)范建議的應力、變形的計算方法均不能很好地反映實際土層間材料性質的差異。針對傳統(tǒng)方法存在的問題，長期以來一直希望找到一種合理的簡化算法，通過解析方法明確基床結構的動應力和動變形。因此，研究找出一種合理、簡便、準確，適用于工程設計的方法是具有重要的工程意義的。層狀土體結構以及傳遞矩陣法的研究[4-5]，為重載鐵路路基基床結構的應力、變形計算提供了一個新的思路，可以使計算更貼近實際基床結構復雜的多層條件。

2 層狀路基傳遞矩陣法求解應力變形

2.1 傳遞矩陣法基本思想

在相當廣泛的一類工程問題中，比如在連續(xù)梁、傳動軸系統(tǒng)、電路等體系中，往往存在這樣的系統(tǒng)，這些系統(tǒng)可以是或可以化成由一系列具有同類性質的“元素”先后連接而成的鏈式系統(tǒng)[4]。在這個鏈式系統(tǒng)中，描寫每個元素性質的一組物理量，或稱為該元素的狀態(tài)參量，組成該元素的狀態(tài)矢量。由于各個元素之間的相互作用，因而前一個元素狀態(tài)矢量的變化將影響和它相連的下一個元素的狀態(tài)矢量，下一個元素狀態(tài)矢量的變化又將影響下下一個元素的狀態(tài)矢量，這樣，初始端元素狀態(tài)矢量的變化就會一直傳到末端元素。設第i個元素的狀態(tài)矢量是Zi，Zi是一個列向量，而第i+1個元素和第i個元素之間的相互作用往往可以用一個方陣Ti來表示，見式(3)

式中，Ti列數等于Zi的行數，而Zi的行數等于元素的狀態(tài)參量的個數。如果系統(tǒng)由n個元素組成，則有式(4)

式中，Ti稱作第i個子傳遞矩陣。而T稱作總傳遞矩陣。如果把層狀土體系看作一個系統(tǒng)，把深度z作為自變量，也就是說，初始狀態(tài)向量沿深度方向傳播。

這里通過傳遞矩陣將上下兩層接觸面的應力分量、位移分量聯系起來，再考慮接觸面的連續(xù)條件及邊界條件，最終可以利用傳遞矩陣表示出地基表面的初始狀態(tài)分量與所求深度處的應力、位移狀態(tài)分量的物理關系。

2.2 4層基床結構應力及變形

針對重載路基的結構，上部荷載作用于鋼軌，并通過鋼軌、軌枕傳遞至道床表面，每根軌枕上的荷載分擔比按照文獻[6]的計算結果進行分配，不同輪軸作用下軌枕荷載分擔比見圖1。

圖1 軌枕上荷載分擔比

施加荷載的值根據文獻[3]中建議的式(5)確定，這里行車速度v取120 km/h。

式中，Pd為動軸載，kN；Ps為靜軸重，kN；α為動力沖擊系數或稱速度影響系數，貨車取0.004；v為行車速度。

進一步，設作用于道床表面的矩形荷載為p0，矩形荷載的長度和寬度分別為l和b，道床和路基共分為4層，第i層的層底埋深為zi，其層厚為hi，彈性力學參數為Ei、νi，見圖2和圖3。

圖2 4層路基結構體系受矩形荷載作用簡圖

圖3 上部矩形荷載分布簡圖

各層傳遞矩陣T=T(E，ν，z，α)為對應層的彈性模量E、泊松比ν和深度z的函數，其元素為[7]：

T33=T22；T34=-T12；T42=-T31；

T43=-T21；T44=T11。

4層路基結構體系總傳遞矩陣G，見式(6)。頂層至第k層任意深度z處的傳遞矩陣G′，見式(7)

(1)第1層(道床)內任意深度z(z1≥z>0)的豎向應力和豎向位移。

傳遞矩陣關系式，見式(8)

故矩形荷載角點下第1層(道床)內任意深度z下的豎向應力，見式(9)

矩形荷載角點下第1層(道床)內任意深度z下的豎向位移，見式(10)

(2)第2層(基床表層)內任意深度z(z2≥z>z1)的豎向應力和豎向位移。

傳遞矩陣關系式，見式(11)

T2(E2，ν2，z-z1，α)×

故矩形荷載角點下第2層(基床表層)內任意深度z下的豎向應力，見式(12)

矩形荷載角點下第2層(基床表層)內任意深度z下的豎向位移，見式(13)

(3)第3層(基床底層)內任意深度z(z3≥z>z2)的豎向應力和豎向位移。

傳遞矩陣關系式，見式(14)

T3(E3，ν3，z-z2，α)·T2(E2，ν2，h2，α)·

故矩形荷載角點下第3層(基床底層)內任意深度z下的豎向應力，見式(15)

矩形荷載角點下第3層(基床底層)內任意深度z下的豎向位移，見式(16)

(4)第4層(基床以下土體)內任意深度z(z>z3)的豎向應力和豎向位移。

傳遞矩陣關系式，見式(17)

T4(E4，ν4，z-z3，α)·T3(E3，ν3，h3，α)·

故矩形荷載角點下第4層(基床以下土體)內任意深度z下的豎向應力，見式(18)

矩形荷載角點下第4層(基床以下土體)內任意深度z下的豎向位移，見式(19)

綜上所述，用積分的方法求得了4層路基結構體系在矩形荷載面角點下的豎向附加應力σz(z)和豎向變形ω(z)，進一步，可以運用角點法求得矩形荷載下任意點的豎向附加應力σz(z)和豎向變形ω(z)。

3 傳遞矩陣法程序可行性分析

由于在計算公式中涉及到矩陣的乘法和貝塞爾函數的積分[8]，需要編制相應的計算程序計算，采用辛普森復合積分公式，利用Matlab軟件編寫求4層彈性半空間路基中任意一深度處矩形荷載角點下的附加應力系數和變形的程序。程序流程見圖4。

圖4 計算流程

為了驗證上述計算程序的合理性，選擇單輪軸作用、軸重25t條件下，均質土路基結構的豎向動應力進行計算，并與Boussinesq公式[9]的計算結果進行比較。這里計算所采用的幾何尺寸參照文獻[3]中建議的基床結構設計尺寸，道床厚0.5 m，基床表層0.6 m，基床底層1.9 m。

對于傳遞矩陣法的計算程序，計算參數如下：

工況①：1～4層的彈性模量E1=E2=E3=E4=180 MPa(按A組填料的彈性模量取值)[10，11]，泊松比為ν1=ν2=ν3=ν4=0.25，矩形荷載長l=1.09 m，寬b=0.32 m，任意兩軌枕間中心線距0.6 m，分別計算0.5、1.1、3 m和6 m處的豎向動應力值；

工況②：1～4層的彈性模量E1=E2=E3=E4=300 MPa(按道砟的彈性模量取值)[10-11]，泊松比為ν1=ν2=ν3=ν4=0.25，矩形荷載長l=1.09 m，寬b=0.32 m，任意兩軌枕間中心線距0.6 m，分別計算0.5、1.1、3 m和6 m處的豎向動應力值。

對于Boussinesq公式，計算參數主要有：矩形荷載長l=1.09 m，寬b=0.32，任意兩軌枕間中心線距0.6 m，分別計算0.5、1.1、3 m和6 m處的豎向動應力值。

計算結果見表1。可見，采用傳遞矩陣法計算均質土路基結構時，與Boussinesq公式的計算結果吻合較好，該計算方法和計算程序是可行的。

表1 均質土路基結構豎向動應力計算結果

4 傳遞矩陣法和有限元計算結果比較

進一步，為了驗證傳遞矩陣法計算結果的合理性，采用有限元法進行驗證，基床結構采用線彈性材料進行模擬。有限元計算工況為：①基床表層為A組填料，軸重25 t、單輪軸作用和軸重30 t、四輪軸作用，道床(厚0.5 m)、基床表層(軸重25 t，厚0.6 m；軸重30 t，厚0.7 m)、基床底層(軸重25 t，厚1.9 m；軸重30 t，厚2.3 m)[3]以及路基以下土體彈性模量分別取300、180、110 MPa和60 MPa[10，11]，泊松比取0.25。②基床表層為級配碎石，軸重27 t、雙輪軸作用和軸重35 t、四輪軸作用，道床(軸重27 t，厚0.35 m；軸重35t，厚0.4 m)、基床表層(軸重27 t，厚0.6 m；軸重35 t，厚0.7 m)、基床底層(軸重27 t，厚1.9 m；軸重35 t，厚2.3 m)[3]以及路基以下土體彈性模量分別取300、240、110 MPa和60 MPa[10-11]，泊松比取0.25。有限元分析模型見圖5。

圖5 有限元計算模型

將有限元計算結果與傳遞矩陣法的計算結果進行比較，應力比較的結果見表2和表3，路基面變形的比較見表4。由表2、表3及表4可以看出，無論是應力的絕對值、相對值，還是路基面的變形值，兩種方法的計算結果相比存在一些細微的差異，主要是由于兩種方法的邊界條件存在一些差異，對于傳遞矩陣法，在線路縱向是無限的，不存在邊界，而有限元法在線路縱向是有邊界限定的。但是從整體上來看，兩種方法的計算結果基本吻合較好。

表2 計算結果(應力)的比較(基床表層為A組填料)

表3 計算結果(應力)的比較(基床表層為級配碎石)

進一步，將傳遞矩陣法和有限元法的計算結果與鐵科院在朔黃鐵路的測試結果[12](該測試進行了軸重25、27 t以及30 t的實車試驗)進行比較。現場實測路基面的動應力值為40～120 kPa，計算結果在測試范圍之內。對于路基面的動變形，測試結果為1.5～2 mm，兩種計算方法的結果與測試結果相近。

表4 計算結果(路基面的變形)的比較 mm

5 結論

建議了一種基于傳遞矩陣法的4層路基結構體系計算方法，該方法力學、數學思路明確，計算方法簡便，適合于工程實際應用，易于推廣。通過對均質土路基結構進行計算，并與Boussinesq公式的計算結果進行比較，結果吻合較好。進一步，采用該方法對重載鐵路路基結構進行計算，并與有限元法的計算結果進行比較，結果吻合較好，計算精度符合工程實際需求。

[1] 鐵道第三勘察設計院集團有限公司， 中鐵第四勘察設計院集團有限公司，中國鐵道科學研究院.BT10621—2009 高速鐵路設計規(guī)范[S].北京:中國鐵道出版社，2009.

[2] 鐵道第一勘察設計院.TB10001—2005 鐵路路基設計規(guī)范[S].北京:中國鐵道出版社，2005.

[3] 鐵道第三勘察設計院集團有限公司.重載鐵路設計規(guī)范(報批稿)[S].天津:鐵道第三勘察設計院集團有限公司，2011.

[4] 王凱.層狀彈性體系的力學分析與計算[M].北京:科學出版社，2009.

[5] 姚炳卿.多層彈性體系力學分析中積分常數計算的矩陣分析方法[J].計算結構力學及其應用，1992(2):163-170.

[6] 西南交通大學.軸重30 t黃泛區(qū)重載鐵路路基動力特性分析和施工技術研究[R].成都:西南交通大學，2013.

[7] 羅世毅.水平層狀地基中附加應力與沉降計算分析[D].西安:長安大學，2003.

[8] 徐常偉，于凱，朱峰.基于李群方法的貝塞爾函數數學實現[J].純粹數學與應用數學,2013，29(3):275-281.

[9] 陳仲頤.土力學[M].北京:清華大學出版社，2007.

[10] 董亮，張千里，蔡德鉤.高速重載有砟軌道路基動變形特性的數值分析[J].中國鐵道科學,2010，31(2):6-11．

[11] 董亮，趙成剛.高速鐵路路基的動力響應分析方法[J].工程力學,2008，25(11):231-236.

[12] 中國鐵道科學研究院.軸重30 t以上煤炭運輸重載鐵路關鍵技術與核心裝備研制——重載線路基礎設施強化措施研發(fā)[R].北京：中國鐵道科學研究院，2013.

Study on Stress and Deformation Analytic Method of Heavy Haul Railway Subgrade Based on Transfer-matrix

LIU Jing-lei1，2， YE Qing-zhi1， SONG Xu-guo2， LUO Qiang1， LU Wen-qiang1

(1.MOE Key Laboratory of High-speed Railway Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China; 2.The Third Railway Survey and Design Institute Group Corporation， Tianjin 300251， China)

The stress and strain of railway subgrade of layered system are calculated with Boussinesq formula in equivalent thickness method as per the current standard. Odemark modulus and thickness equivalent assumption are applied in the equivalent thickness method， the thickness of the soil layer with different moduli above the subgrade is converted into equivalent thickness of the same modulus of the subgrade filler， but this method can not truly reflect the difference between the properties of different soil materials， and the functions in the stress field distributions contributed by the ballast layer with high modulus， the bedding surface layer and the bedding bottom layer are not supported by rigorous theoretical basis. For four layers structure system of the heavy haul railway， the layered analytic method theory is used to calculate the stress and deformation at different depth based on transfer-matrix. The comparison of the theoretical results of the Boussinesq formula with the calculation results of homogeneous soil layer verifies the feasibility of the transfer-matrix method and its calculation program. Finally in order to illustrate the rationality of this method， the result of the finite element are compared with that of the transfer-matrix method， and the two methods prove to be in good agreement with each other．

Heavy haul railway subgrade; Transfer-matrix method; Layered system; Boussinesq formula

2014-07-01

國家科技支撐計劃項目(2013BAG20B00)，國家973計劃課題(2013CB036204)

劉晶磊(1981—)，男，博士后，E-mail:kingbest_1118@163.com。

1004-2954(2014)09-0014-06

TU47

：A

10.13238/j.issn.1004-2954.2014.09.004