張逢春，馬全喜

（1.中國地質(zhì)大學(xué)長城學(xué)院，河北保定 071000；2.河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北保定 071002）

亥姆霍茲線圈是由2個完全相同的線圈同軸放置而組成的，通常認(rèn)為其中心間距L等于線圈的半徑R，即L／R為1時，2個線圈通以完全相同的電流，在2線圈之間的區(qū)域形成的磁場是均勻的［1，6］.有沒有使磁場均勻度更好一些的L和R的比值呢？通過理論分析和實驗驗證得出的結(jié)論是肯定的.

1 理論分析

一個匝數(shù)為N半徑為R的圓線圈通有電流I，用畢奧－薩伐爾定律可以得到其軸線上離圓心為X處的磁感應(yīng)強度大小可表示為［2－3］

設(shè)X＝KR，則可得是K＝0處的Bx值，是Bx的最大值.若將其記作

對于一個通電圓線圈對軸線上任何位置都可以利用公式（2）求出相應(yīng)的Bx值.

設(shè)有2個完全相同的通電圓線圈同軸放置，2圓心間距為L，通以相同的電流，軸線上任一點處磁感應(yīng)強度應(yīng)是2線圈單獨存在時該點磁感應(yīng)強度的矢量和［4］.如圖1所示，以左線圈圓心為坐標(biāo)原點沿共同軸線建立一維坐標(biāo)系，以Bx表示左線圈在X處激發(fā)的磁感應(yīng)強度，以BL－X表示左線圈在L－X處激發(fā)的磁感應(yīng)強度.由于2線圈磁場具有完全相同的分布規(guī)律，使左線圈在L－X處的磁場與右線圈在X處的磁場完全相同，都是BL－X，或者說2線圈在X處產(chǎn)生的磁場矢量和B（X）可統(tǒng)一地用左線圈在X處和L－X處產(chǎn)生的磁場

圖1 2線圈示意Fig.1 Schematic of two coi

利用公式（3）可得到2個同軸通電圓線圈在X處激發(fā)的磁感應(yīng)強度為

或

對于確定的匝數(shù)N、電流I、半徑R，針對任意線圈間距L，在公共軸線上任意一點處都可以利用公式（4）來求出對應(yīng)的磁感應(yīng)強度B（X）值.

每對應(yīng)一個確定L值，在2線圈之間從理論上計算出諸多點位處的磁感應(yīng)強度，以位置X／R為橫坐標(biāo)，以B（X）／BO為縱坐標(biāo)，對于不同的L／R，作出一系列曲線，如圖2，可以直觀地比較各L／R值對應(yīng)的曲線起伏情況.

由圖2可以看出L為1.0R，1.1R，1.2R時曲線都較平坦.以磁感應(yīng)強度平均值為參考利用標(biāo)準(zhǔn)偏差公

表1 2線圈之間距離L從0.5R到1.5R標(biāo)準(zhǔn)偏差（理論計算值）Tab.1 Standard deviation of distance Lbetween the two coils from 0.5Rto 1.5R（theoretical value）

可見在L為1.2R附近，曲線具有最小值.若在L為1.2R附近加大理論計算密度，結(jié)果表明與L為1.17R，1.18R和1.19R對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為0.004 19，0.003 65和0.003 85，即L為1.18R時標(biāo)準(zhǔn)偏差最小磁場均勻性最好.

圖2 L／R從0.5到1.5磁場起伏情況的理論分析結(jié)果Fig.2 Theoretical analysis results of magnetic fluctuation situation L／Rfrom 0.5to 1.5

2 實驗驗證

以上理論結(jié)果通過實驗得到了驗證.為了確定L／R取何值時磁場更均勻一些，筆者對西安交通大學(xué)制造的磁場描繪儀進(jìn)行了改造.原勵磁線圈定位孔為0.5R，1.0R，1.5R3檔，探測線圈定位孔為每1cm一點.保留探測線圈定位孔密度不變，勵磁線圈定位孔加大密度，改為每1cm改變1次L值，使L由3檔變?yōu)?.5R，0.6R，…，1.4R，1.5R共計11檔，對每一檔重復(fù)多輪實驗，每一輪都在2線圈之間每隔1cm測1次探測線圈最大輸出電壓Umax，以Umax為縱坐標(biāo)，以軸線上位置為橫坐標(biāo)，作出一簇起伏曲線，如圖4，比對各曲線可見，L為1.0R，1.1R，1.2R時起伏較小，這與理論分析結(jié)果一致.再以Umax的平均值為參考，利用標(biāo)準(zhǔn)偏差公式求出對應(yīng)σU的值，如表2.最后做出隨L／R變化曲線，如圖5.

圖4 實驗測量的L／R從0.5到1.5磁場起伏情況Fig.4 Experimental measurements results of magnetic fluctuation situation L／Rfrom 0.5to 1.5

圖5 實驗測量的σ值隨L／R變化曲線Fig.5 Experimental measurement diagram ofσvalues change with the L／R

表2 2線圈距離L從0.5R到1.5R標(biāo)準(zhǔn)偏差（實驗測量值）Tab.2 Standard deviation of distance Lbetween the two coil from 0.5R to 1.5R（experimental measurements）

仔細(xì)比較圖3和圖5不難發(fā)現(xiàn)與標(biāo)準(zhǔn)偏差最小值對應(yīng)的L／R并不完全相同，圖3為1.18，圖5為1.11.之所以產(chǎn)生這種差異可能與兩者采用的線圈半徑略有不同直接相關(guān).理論計算時采用的是磁場描繪儀生產(chǎn)廠家給出的標(biāo)稱半徑10cm，而實驗測量時應(yīng)采用等效半徑.由實際勵磁線圈的內(nèi)半徑R1和外半徑R2利用公式，計算出的等效半徑為9.4cm，而定位孔相鄰2檔間隔為1cm.L／R為1.11即實驗中與σ最小值對應(yīng)的L值原則上為11.1cm，考慮到線圈等效半徑為9.4cm，實驗得到的L／R值應(yīng)是11.1／9.4，即1.18，這正好與理論計算出的σ最小值位置重合.

3 結(jié)論

從理論和實驗測量相結(jié)合的角度得出了完全一致的結(jié)論：圓形通電雙線圈在2線圈間距為1.18R時2線圈之間的磁場均勻性會更好一些，與L＝R相比，可用磁場空間也略大一些，這在實際中都是有利因素.當(dāng)然與L＝R相比，L＝1.18R時磁感應(yīng)強度平均值會略小一些，對提高投入產(chǎn)出比略有損失，在實際應(yīng)用中可以根據(jù)需要權(quán)衡利弊，選取合適的線圈間距L.

［1] 王東，李慶民，張小兵.亥姆霍茲線圈磁場均勻性的研究［J］.海軍工程學(xué)院學(xué)報，1999（2）：61－64.WANG Dong，LI Qingmin，ZHANG Xiaobing.Research on evenness of magnetic field generated by helmboltz coils［J］.Journal of Naval Academy of Engineering，1992（2）：61－64.

［2] 程守洙，江之永.普通物理學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

［3] （美）哈里德·D，瑞斯尼克·R.物理學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1979.

［4] 曾令宏，張之翔.圓環(huán)電流的磁場及兩共軸圓環(huán)電流之間的相互作用力［J］.大學(xué)物理，2002，21（9）：14－16.ZENG Linghong，ZHANG Zhixiang.The magnetic field of a circular current loop and the interaction betweentwo circular current loops［J］.College Physics，2002，21（9）：14－16.

［5] 張歡，馬全喜.多層圓線圈在電磁計算中的等效半徑［J］.物理通報，2010（10）：17－18.

［6] 朱曄明，王思慧，周進(jìn).磁場及磁矩的測量實驗［J］.大學(xué)物理，2006，25（4）：58－59，63.ZHU Yeming，WANG Sihui，ZHOU Jin.Measurement of magnetic induction and magnetic moment［J］.College Physics，2006，25（4）：58－59，63.