李興

摘 要 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，是自然科學(xué)最偉大的成就之一。本文從實(shí)際例子出發(fā)，總結(jié)了萬有引力定律在實(shí)際應(yīng)用中的幾種類型和解決這些問題的基本方法，闡述了“化整為零”等物理思想。

關(guān)鍵詞 質(zhì)心間距 軌道半徑 星球半徑 自轉(zhuǎn)周期

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

High School Physics Related to "Celestial Movement"

Problem-solving Analysis

LI Xing

（Lanzhou No.58 Middle School， Lanzhou， Gansu 730000）

Abstract Discovery of the law of gravity is one of the greatest achievements of natural science. In this paper， starting from the practical examples， summarized the law of gravity several types and basic methods to solve these problems in practical application， describes the "piecemeal" and other physical ideas.

Key words centroid spacing； orbital radius； planet radius； rotation period

萬有引力定律揭示了天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，在天文學(xué)上和宇宙航行的計(jì)算方面有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)生在這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中，由于公式較為繁雜，解法靈活多變，對(duì)一些相近的概念容易混淆，從而出現(xiàn)解題失誤。在多年從事高中物理一線教學(xué)的過程中，筆者整理總結(jié)了兩類相近的物理量，加以對(duì)比剖析，以求能幫助學(xué)生走出誤區(qū)，正確地掌握解題方法。

1 三個(gè)距離的聯(lián)系與區(qū)別

在這一章中，很多題目要求根據(jù)一些環(huán)繞天體（如人造衛(wèi)星等）來解決中心天體的某些參數(shù)。在這一類問題中，有關(guān)星球半徑、軌道半徑和質(zhì)心間距這三個(gè)長(zhǎng)度物理量的處理，往往成為了一些學(xué)生解題中的困惑之處。不能正確處理這三個(gè)長(zhǎng)度關(guān)系，是學(xué)生在解決這類問題中常常出現(xiàn)的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)。

首先我們來對(duì)三種長(zhǎng)度物理量來進(jìn)行區(qū)分。

（1）質(zhì)心間距：萬有引力定律告訴我們：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的大小與物體質(zhì)量乘積成正比，與它們距離的二次方成反比。從公式 = 可看出，這里的指的是兩物體質(zhì)心間的間距。

（2）軌道半徑：本章內(nèi)容有很多問題就是讓環(huán)繞天體僅在中心天體的萬有引力下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由向心力公式 = 可看出，這里的是指物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。

（3）星球半徑：在求解某一未知天體的密度問題中，由球體體積公式 = 引出第三個(gè)長(zhǎng)度，此處的是指星球半徑。同時(shí)，在有些問題中由于已知條件里包含了某一星球表面的重力加速度，往往要利用黃金代換 = （注：該等式并非一級(jí)公式，應(yīng)用時(shí)應(yīng)寫出原始公式）將未知量用已知量表示，也就要求引入星球半徑。

綜上，只有正確理解了這三個(gè)距離的關(guān)系，才不會(huì)在解題時(shí)出現(xiàn)約分錯(cuò)誤。

應(yīng)注意到：雙星問題模型中，三者皆不相等；環(huán)繞天體繞中心天體在高軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑等于環(huán)繞天體和中心天體質(zhì)心間距；在近地衛(wèi)星模型中，三者相等。下面我們通過幾個(gè)具體事例來分析。

例1：（2010年全國(guó)卷Ⅰ）如圖1，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間的距離為L(zhǎng)。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。

圖1

（1）求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；

（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T1。但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期記為T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98？024 kg和7.35？022 kg。求T2與T1兩者平方之比（結(jié)果保留3位小數(shù)）。

【解析】：（1）這是一道典型的雙星問題。該類問題的特點(diǎn)是兩星球的周期相等，并在彼此之間的萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故而向心力也相等。但解題易錯(cuò)點(diǎn)在于兩星球的質(zhì)心間距并不等于各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。即上文提到的 ≠ 。

設(shè)星球A、B各自做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為、，周期為T，則根據(jù)萬有引力定律對(duì)A衛(wèi)星分析可知： = ，式中 = （ + ）；又∵ = ，聯(lián)立解得： = 。

（2）T2的求解方法中，就涉及到了環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)這類模型，其中兩星球的質(zhì)心間距等于環(huán)繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，即上文提到的 = 。

設(shè)地球和月球的球心間距為，地球和月球質(zhì)量分別為、則由第一問可知： = ；當(dāng)月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，地球?qū)υ虑虻娜f有引力提供了月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即有： = ，解得： = ；代入數(shù)據(jù)解得：（）2 = 1.012。

【點(diǎn)評(píng)】：通過比對(duì)不難發(fā)現(xiàn)，該題涉及的問題即為上文中提到的質(zhì)心間距以及軌道半徑這兩種不同的距離之間的差別。在解題時(shí)應(yīng)格外謹(jǐn)慎，不能盲目套用公式。

例2：在某行星上以初速度自地面豎直向上彈射一個(gè)小球，用秒表測(cè)得小球經(jīng)時(shí)間落回地面，已知該行星的半徑為，如果在該行星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，則衛(wèi)星在該行星表面附近環(huán)繞的周期為多少？（行星表面無空氣）

【解析】：分析題目可知，該衛(wèi)星是近地衛(wèi)星模型。在上文中提到過，對(duì)近地衛(wèi)星模型而言，衛(wèi)星和星球的質(zhì)心間距等于該衛(wèi)星的軌道半徑，也等于該星球的半徑。即 = = 。

設(shè)該行星表面的重力加速度為，質(zhì)量為，衛(wèi)星質(zhì)量為。則由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律： = ；在星球表面，有： = ；衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由行星對(duì)其的萬有引力提供，故有： = ；又由題意： = = ，聯(lián)立解得： = = = 。

【點(diǎn)評(píng)】：在這道題中，所涉及的長(zhǎng)度關(guān)系是上文中提到的質(zhì)心間距、星球半徑、軌道半徑三者相等的情況。這類問題的解決過程中，要特別注意黃金代換式的合理應(yīng)用。

2 兩個(gè)周期的區(qū)別

（1）公轉(zhuǎn)周期：公轉(zhuǎn)周期是行星繞恒星或是衛(wèi)星繞行星轉(zhuǎn)動(dòng)一周所用的時(shí)間。衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期一般都由萬有引力提供向心力這條思路求解，即由 = 解得，又由于公轉(zhuǎn)周期一般比較容易測(cè)得，有時(shí)候也可通過反向代入，解出有關(guān)中心天體的一些具體參數(shù)。

（2）自轉(zhuǎn)周期：自轉(zhuǎn)周期是一個(gè)天體沿自轉(zhuǎn)軸自轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間。

要注意到二者一般并不相等，比如地球的公轉(zhuǎn)周期約為365天，但自轉(zhuǎn)周期僅有24小時(shí)。某星球自轉(zhuǎn)周期求解是學(xué)生的一大難點(diǎn)，很多學(xué)生在解題過程中也容易混淆二者。以下面為例：

例3：已知地球質(zhì)量為，半徑為，地球表面赤道處重力加速度為，萬有引力常量為。試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出地球自轉(zhuǎn)周期。

【解析】：很多同學(xué)會(huì)直接由 = 得出錯(cuò)解 = ；實(shí)際上這里解出的T并非地球自轉(zhuǎn)周期，而是近地衛(wèi)星貼著地球表面在飛行時(shí)的公轉(zhuǎn)周期。事實(shí)上，題目中給的條件“赤道處的重力加速度”是解決本題的關(guān)鍵。我們知道，在地球表面，萬有引力分為了兩個(gè)分力，其一是重力，其二是物體隨地球自轉(zhuǎn)的自轉(zhuǎn)向心力。應(yīng)有，僅僅在地球的赤道處，由于這三個(gè)力都指向地心，所以可以將該矢量式寫成標(biāo)量式。其中，利用自轉(zhuǎn)向心力可以求解地球自轉(zhuǎn)周期。

設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為，赤道處有一質(zhì)量為的物體正隨地球自轉(zhuǎn)，則應(yīng)有 = + ，即 = + ，解得： = 。

【點(diǎn)評(píng)】：這道題目是一道典型的自轉(zhuǎn)周期的求法的題目。通過這道題目的講解，力求能讓學(xué)生對(duì)兩種不同的運(yùn)動(dòng)周期加以區(qū)分，在解題時(shí)能夠選擇正確合理的方法進(jìn)行求解。

練習(xí)：質(zhì)量為的物體在某星球“赤道”的重力比“兩極”小10%，該星球的自轉(zhuǎn)周期為，則當(dāng)該行星的自轉(zhuǎn)角速度為多少時(shí)，物體能在“赤道”上飄起來？

【解析】：在星球上，兩極處的萬有引力完全等于重力，赤道處的萬有引力等于重力和自轉(zhuǎn)向心力的代數(shù)和。已知自轉(zhuǎn)周期，即可以表示出自轉(zhuǎn)向心力，從而解出近地軌道上的萬有引力，由該萬有引力提供向心力，即可解出需要飄起來所對(duì)應(yīng)的角速度了。

= + ，∴ = 10 ，又∵物體漂浮，即有 = ； = ，即10 = ，解得： = 。

【點(diǎn)評(píng)】：這道題目很充分地利用了自轉(zhuǎn)周期的特點(diǎn)，注意到赤道和兩極處的自轉(zhuǎn)向心力的不同，從而引出了萬有引力和自轉(zhuǎn)向心力的聯(lián)系，進(jìn)而解出了自轉(zhuǎn)角速度。

總之，解物理習(xí)題的關(guān)鍵是弄清定律、公式中關(guān)鍵物理量的含義，尋找正確的解題思路，即看懂題意，就是要明確找準(zhǔn)適合的定律，并注意題目中所敘述的物理現(xiàn)象，挖掘“隱含條件”，弄清物理量適用范圍，若條件較多，涉及量較多，就應(yīng)“化整為零”，逐項(xiàng)分析每一過程所遵循的物理規(guī)律，然后一一列出方程。（不要急于代入數(shù)據(jù)）搞清相近物理量之間的區(qū)別與聯(lián)系，恰當(dāng)運(yùn)用物理公式和數(shù)學(xué)方法就每一過程組成的方程聯(lián)立求解，問題便迎刃而解。

參考文獻(xiàn)

[1] 王成洋，王正標(biāo).萬有引力教學(xué)中應(yīng)分清的幾個(gè)概念[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，1999（Z1）.