趙金洲 李勇明 王松 江有適 張烈輝

“油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程”國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·西南石油大學(xué)

常規(guī)水力壓裂裂縫模擬，一般是假設(shè)均質(zhì)地層中不考慮天然縫存在，井眼兩側(cè)形成垂直于最小主應(yīng)力方向的對(duì)稱雙翼平面縫［1］。但從直接的礦井壓裂測(cè)試［2］到間接的微地震監(jiān)測(cè)［3］，都表明在天然裂縫發(fā)育的頁(yè)巖氣儲(chǔ)層，會(huì)形成不對(duì)稱、不規(guī)則的復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)。

開啟和擴(kuò)展天然裂縫是形成縫網(wǎng)的基礎(chǔ)。眾多學(xué)者通過實(shí)驗(yàn)和理論分析，研究了人工裂縫與天然縫相交后的物理現(xiàn)象，并建立了裂縫延伸的判定準(zhǔn)則［4－5］；Warpinski［6］采用線摩擦理論考慮作用在裂縫面的剪應(yīng)力引起的剪切滑移破壞，并以摩爾庫(kù)倫準(zhǔn)則分析作用在裂縫面的正應(yīng)力引起的張性破壞。Beugelsdijk等［7］通過實(shí)驗(yàn)分析了水平應(yīng)力差、排量和黏度對(duì)分支縫延伸的影響。研究表明，與天然縫相交后形成的裂縫網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜程度不僅與地應(yīng)力相關(guān)，而且受到巖石力學(xué)參數(shù)、天然縫參數(shù)、壓裂施工參數(shù)以及工作液物性所影響［8－10］。

壓裂過程中人工縫與天然縫相交后，分支縫的起裂與延伸機(jī)理對(duì)形成復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)的幾何尺寸和復(fù)雜程度有重要影響。筆者以斷裂力學(xué)理論為基礎(chǔ)，引入起裂與延伸判定計(jì)算準(zhǔn)則；在此基礎(chǔ)上，考慮附加應(yīng)力場(chǎng)影響，建立頁(yè)巖氣壓裂復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)模型，在求解過程中以等壓力梯度值劃分裂縫延伸方向上的計(jì)算節(jié)點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)壓力作為關(guān)鍵變量顯式求解裂縫網(wǎng)絡(luò)幾何尺寸參數(shù)；并將起裂與延伸準(zhǔn)則作為分支縫擴(kuò)展依據(jù)，避免常規(guī)擬三維裂縫模擬中對(duì)縫長(zhǎng)延伸的復(fù)雜擬合過程。與線網(wǎng)模型［11］，該模型能夠充分考慮儲(chǔ)層中任意分布的天然縫對(duì)整個(gè)裂縫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響，井眼兩側(cè)的縫網(wǎng)整體形態(tài)是非對(duì)稱且內(nèi)部的分支縫非均勻間距，更符合微地震測(cè)試結(jié)果。與非常規(guī)裂縫模型相比［12］，建立的起裂與延伸判斷準(zhǔn)則時(shí)考慮了剪應(yīng)力與正應(yīng)力共同作用下的裂縫尖端周向應(yīng)力，能夠合理解釋延伸過程中裂縫轉(zhuǎn)向的物理現(xiàn)象并能計(jì)算分支縫擴(kuò)展延伸中的角度變化；并且通過改進(jìn)數(shù)值求解方法能有效提高計(jì)算速度。

1 裂縫起裂與延伸條件分析

1.1 剪應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)力強(qiáng)度因子

在地應(yīng)力作用下橢圓形天然縫表面的剪應(yīng)力所產(chǎn)生的Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

式中K（κ）和E（κ）分別為第一、二類橢圓完整積分；τ為剪應(yīng)力，MPa；υ為泊松比；ω為剪應(yīng)力方向與橢圓長(zhǎng)軸夾角；θ為橢圓裂縫邊緣任意點(diǎn)與長(zhǎng)軸夾角；a和b分別為裂縫長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)度，m。

1.2 正應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)力強(qiáng)度因子

在水力裂縫延伸過程中，不斷擴(kuò)展的裂縫長(zhǎng)度和縫內(nèi)壓力重新分布將導(dǎo)致由正應(yīng)力引起的裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子動(dòng)態(tài)變化。根據(jù)初始起裂位置沿著裂縫延伸方向上按照等壓力梯度劃分節(jié)點(diǎn)，再使用疊加原理得到在不同節(jié)點(diǎn)壓力作用下的裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的值。壓力節(jié)點(diǎn)劃分如圖1所示。

圖1 裂縫壓力節(jié)點(diǎn)劃分圖

由不同節(jié)點(diǎn)壓力所形成的應(yīng)力強(qiáng)度因子為［13］：

式中l(wèi)（i）為第i個(gè)壓力節(jié)點(diǎn)與初始位置的間距；l為人工裂縫長(zhǎng)度；pnet（i）為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)處凈壓力。

在此基礎(chǔ)上可得到正應(yīng)力作用下的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

式中n為劃分的壓力節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

1.3 附加應(yīng)力場(chǎng)

多條分支裂縫在延伸的同時(shí)，相互之間會(huì)受到作用在臨近裂縫的正、剪應(yīng)力影響，而形成附加應(yīng)力場(chǎng)。按照Crouch等人提出的一種解析計(jì)算公式，并經(jīng)Olson［14］改進(jìn)后，其表達(dá)式為：

式中Cijns、Cijnn分別為平面應(yīng)變彈性影響系數(shù)；Djs和Djn分別是各個(gè)微段上剪應(yīng)力和正應(yīng)力引起的不連續(xù)位移（即基于流固耦合計(jì)算而得到的裂縫寬度）；Gij為Olson提出的三維修正系數(shù)，引入縫高和裂縫間距對(duì)附加應(yīng)力場(chǎng)影響。

在數(shù)值計(jì)算中的每一時(shí)步都需計(jì)算該附加應(yīng)力場(chǎng)，然后將其作用在地應(yīng)力場(chǎng)上，用于進(jìn)行延伸和起裂壓力計(jì)算公式和迭代求解不同節(jié)點(diǎn)處的裂縫幾何參數(shù)。

2 裂縫起裂與延伸判定準(zhǔn)則

當(dāng)壓裂液進(jìn)入天然縫，只要縫內(nèi)壓力大于裂縫面正應(yīng)力及巖石抗張強(qiáng)度，將會(huì)開啟天然縫并形成具有一定寬度的分支裂縫。根據(jù)裂縫面上正應(yīng)力計(jì)算公式：式中T0為巖石抗張強(qiáng)度，MPa；σ為裂縫面正應(yīng)力，MPa；σ2為垂向應(yīng)力，MPa；σ1、σ3分別為水平應(yīng)力，MPa；α、β、γ分別為裂縫面法線與主應(yīng)力方向夾角。

可得到不同節(jié)點(diǎn)處的凈壓力為：

將不同節(jié)點(diǎn)處的凈壓力帶入式（3）可得到裂縫起裂判定計(jì)算方程：

式中m為裂縫開啟時(shí)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，m≤n。

基于Erdogan提出的最大周向應(yīng)力理論［15］，可推導(dǎo)Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫延伸角度方程：以及Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫延伸判定計(jì)算方程：

3 復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)模型

模型假設(shè)條件：①天然裂縫都是垂直分布；②在無天然裂縫區(qū)域設(shè)定地層是均質(zhì)、各向同性的連續(xù)線彈性體；③儲(chǔ)層厚度較大，不發(fā)生穿層現(xiàn)象；④裂縫在垂直方向上的延伸速度小于在長(zhǎng)度方向上的延伸速度。復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)模型包含以下控制方程。

1）起裂與延伸判定公式：見式（7）、（9）。

2）縫寬方程

假設(shè)產(chǎn)層足夠厚，縫內(nèi)凈壓pnet＝pf（x，t）－σ′，σ′＝σ＋σin，得到裂縫橫截面上任意z位置的縫寬方程為：

3）壓降方程

根據(jù)Nolte平板間壓降公式，并引入管道形狀j（n）因子的方法，可得到縫內(nèi)壓降方程：

4）高度方程

5）連續(xù)性方程

模型初、邊值條件與擬三維模型類似，但在裂縫相交后，交點(diǎn)處流量需重新平均分配。

式中xj為裂縫長(zhǎng)度，m；wj（x，z，t）為縫寬，m；hj（x，t）為裂縫高度，m；pnet（x，t）為縫內(nèi)壓力，MPa；qj（x，t）為流量，m3／min；E 為楊氏模量，GPa；n為流態(tài)指數(shù)，無因次；K為稠度系數(shù)，Pa·sn；Ct為濾失系數(shù)，m·min－0.5；Aj為裂縫橫切面積，m2；t為施工時(shí)間，min；τ（x）為t時(shí)刻液體到達(dá)縫內(nèi)x處的時(shí)間，min；下標(biāo)j代表縫網(wǎng)中某條分支縫。

改進(jìn)的復(fù)雜裂縫模型求解方法如下所述。

1）先以二維PKN模型的縫長(zhǎng)公式計(jì)算在不同時(shí)步下的初始裂縫長(zhǎng)度：并根據(jù)井底或交點(diǎn)壓力作為初始條件在縫長(zhǎng)方向上以等壓 降 值 劃 分 計(jì) 算 節(jié) 點(diǎn)： （pnet＋ Δp）（i）＝，將得到的節(jié)點(diǎn)壓力帶入起裂判定方程計(jì)算實(shí)際能夠開啟的裂縫長(zhǎng)度。

2）根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的壓力值，帶入縫高方程求出不同節(jié)點(diǎn)處的縫高。

3）將得到的縫高和該節(jié)點(diǎn)處的壓力帶入縫寬方程可求解不同節(jié)點(diǎn)處的縫寬。

4）將前面求得的幾何尺寸和初始流量分布帶入壓降方程，可得到節(jié)點(diǎn)處的新的壓力值，此時(shí)需要對(duì)比前面等壓降節(jié)點(diǎn)處的差值，并調(diào)整和擬合初始節(jié)點(diǎn)壓力，使其滿足｜p′net（i）－pnet（i）｜≤ε。

5）進(jìn)一步將一維流動(dòng)的連續(xù)性方程按照不同節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值帶入相應(yīng)的縫寬、縫高值，以求出不同節(jié)點(diǎn)處的流量分布，將該流量值與初始假設(shè)的節(jié)點(diǎn)流量分布比較。若不一致，則改變初始流量分布關(guān)系式，重復(fù)第1步至第5步，最終實(shí)現(xiàn)流量擬合｜q′（i）－q（i）｜≤η。

6）在時(shí)步更新之前，需要考慮裂縫延伸判定條件，用該時(shí)刻的裂縫尖端方位、縫內(nèi)壓力值和附加應(yīng)力場(chǎng)為已知條件判定裂縫是否會(huì)在下一個(gè)時(shí)刻繼續(xù)擴(kuò)展，并計(jì)算動(dòng)態(tài)變化的延伸角。若滿足條件則進(jìn)入下一時(shí)步，重復(fù)步驟第1步至第6步，直至裂縫停止擴(kuò)展。

針對(duì)頁(yè)巖氣壓裂實(shí)際過程提出裂縫網(wǎng)絡(luò)模擬程序流程如圖2所示。

圖2 復(fù)雜裂縫模擬流程圖

4 模擬結(jié)果分析

4.1 裂縫延伸角度

根據(jù)延伸角計(jì)算公式，可分析水平地應(yīng)力差、縫內(nèi)凈壓和夾角對(duì)分支縫延伸軌跡的影響（圖3）。

當(dāng)水平應(yīng)力差不變、縫內(nèi)凈壓力的增大，延伸角度減小，分支縫延伸軌跡的曲率半徑增大，不僅能有效擴(kuò)大縫網(wǎng)寬度，也易于在空間上與其他縫相遇。而當(dāng)凈壓力不變、水平應(yīng)力差逐步增大時(shí)，延伸角變化越大，延伸軌跡的曲率半徑減小，裂縫面在較小的范圍內(nèi)迅速垂直于最小主應(yīng)力方向，使得縫內(nèi)壓力遞減迅速，延伸或起裂難度加大。為提高壓裂改造效果，應(yīng)選取天然縫較為發(fā)育或者水平地應(yīng)力差較小的適宜體積壓裂的有利區(qū)塊或?qū)游?，并通過優(yōu)化施工參數(shù)和改進(jìn)壓裂材料，提高縫內(nèi)凈壓力。

圖3 裂縫延伸角變化關(guān)系圖

4.2 裂縫延伸壓力

根據(jù)裂縫延伸判斷準(zhǔn)則，定量分析水平應(yīng)力差、裂縫半徑、夾角、巖石斷裂韌性對(duì)延伸所需壓力的影響（圖4）。

模擬結(jié)果表明：決定天然縫能否延伸的關(guān)鍵因素是自身長(zhǎng)度和方位角，而巖石斷裂韌性的變化對(duì)裂縫延伸壓力的影響不明顯。因此對(duì)于頁(yè)巖氣長(zhǎng)水平井段壓裂應(yīng)選擇天然縫發(fā)育程度較高，密度較大的區(qū)域射孔；在布井時(shí)不一定完全按照最小主應(yīng)力方向，要充分考慮天然縫的走向?qū)φ麄€(gè)裂網(wǎng)形態(tài)影響。

4.3 復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)

根據(jù)頁(yè)巖氣壓裂的“大液量、大排量、低黏度、低濾失”等特點(diǎn)，結(jié)合某海相頁(yè)巖氣井地質(zhì)、施工參數(shù)，模擬了復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)形成過程和各分支裂縫幾何尺寸，具體輸入?yún)?shù)如下：水平最大主應(yīng)力為37.5MPa，水平最小主應(yīng)力為34.5MPa，楊氏模量為23.37GPa，泊松比為0.25，巖石抗張強(qiáng)度為3MPa，壓裂液黏度為30mPa·s（施工／模擬可控關(guān)鍵變量），壓裂液密度為1.02g／cm3，綜合濾失系數(shù)為0.000 9m·min－0.5（施工／模擬可控關(guān)鍵變量），巖石斷裂韌性為1.21MPa·m0.5，平均施工排量為8.5m3（施工／模擬可控關(guān)鍵變量），井底壓力為55MPa（施工／模擬可控關(guān)鍵變量），計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)為2min。天然縫參數(shù)位置隨機(jī)分布，手動(dòng)輸入，與最小水平主應(yīng)力方向夾角為±0°～40°，傾角為90°。

將整個(gè)縫網(wǎng)與微地震解釋結(jié)果比較，幾何尺寸能夠?qū)崿F(xiàn)與微震數(shù)據(jù)點(diǎn)分布范圍的較好擬合，而且能夠以裂縫復(fù)雜程度的差異形態(tài)解釋數(shù)據(jù)點(diǎn)分布密度的變化（圖5）。對(duì)比驗(yàn)證了模型計(jì)算結(jié)果，并能初步用于壓裂設(shè)計(jì)優(yōu)化。

圖4 裂縫延伸壓力變化關(guān)系圖

圖5 天然縫影響下裂縫延伸變化模擬圖

5 結(jié)論

1）通過引入起裂與延伸判斷準(zhǔn)則、建立復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)模型、改進(jìn)數(shù)值計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)含有大量天然縫的頁(yè)巖氣藏壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)的模擬研究，并結(jié)合微地震測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。

2）該模型實(shí)現(xiàn)了對(duì)頁(yè)巖氣體積壓裂中非對(duì)稱、不規(guī)則的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)裂縫幾何尺寸的計(jì)算，其成果可用于頁(yè)巖氣井壓裂設(shè)計(jì)優(yōu)化。

3）優(yōu)選頁(yè)巖氣地質(zhì)“甜點(diǎn)”應(yīng)注重對(duì)天然裂縫長(zhǎng)度、方位角、傾角、密度等物性參數(shù)的識(shí)別及描述，不僅是保證模擬結(jié)果可靠性的關(guān)鍵輸入?yún)⒘?，而且是影響縫網(wǎng)幾何尺寸及復(fù)雜性的物質(zhì)基礎(chǔ)。

4）對(duì)復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)模擬的最大難點(diǎn)就在于同時(shí)兼顧縫網(wǎng)復(fù)雜形態(tài)的分析和分支縫尺寸的計(jì)算，需要進(jìn)一步在理論模型和數(shù)值解法上尋求新的突破。

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