許國(guó)瑞，劉曉芳，羅應(yīng)立，宋美紅

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不同功率同步電機(jī)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的對(duì)比研究

許國(guó)瑞1，劉曉芳1，羅應(yīng)立1，宋美紅2

(1. 華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，北京 102206；2. 中國(guó)·城市建設(shè)研究院，北京100120)

受電力系統(tǒng)安全生產(chǎn)要求的限制，通常采用小功率電機(jī)模擬并研究大型發(fā)電機(jī)的瞬態(tài)特性，但小功率電機(jī)定轉(zhuǎn)子電阻的標(biāo)幺值并非遠(yuǎn)小于相應(yīng)繞組漏電抗，如果直接采用忽略電阻的傳統(tǒng)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)解析法對(duì)電機(jī)瞬態(tài)特性進(jìn)行分析，必然產(chǎn)生一定誤差。為解決這一問題，本文推導(dǎo)了計(jì)及定轉(zhuǎn)子電阻的瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)改進(jìn)解析表達(dá)式，通過7.5kW模型機(jī)試驗(yàn)及時(shí)步有限元方法驗(yàn)證了該解析表達(dá)式的正確性，并將其應(yīng)用于不同功率電機(jī)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)定轉(zhuǎn)子電阻變化相同倍數(shù)時(shí)，利用改進(jìn)表達(dá)式計(jì)算瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的精度明顯高于傳統(tǒng)方法。研究結(jié)果為瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的計(jì)算和精確測(cè)量提供理論基礎(chǔ)。

小功率電機(jī)；瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)；定子電阻；轉(zhuǎn)子電阻；時(shí)步有限元

0 前言

為了保證電力系統(tǒng)的安全生產(chǎn)和運(yùn)行管理，對(duì)大型電機(jī)進(jìn)行試驗(yàn)測(cè)試和試驗(yàn)研究要慎重。實(shí)驗(yàn)室通常采用與大型電機(jī)相同結(jié)構(gòu)等比例縮放的小功率同步電機(jī)模擬和研究大型發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)特性[1-4]。然而與大型發(fā)電機(jī)相比，小功率同步電機(jī)定轉(zhuǎn)子電阻的標(biāo)幺值并非遠(yuǎn)小于相應(yīng)繞組漏電抗，如果在計(jì)算小功率電機(jī)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)時(shí)仍然采用忽略定轉(zhuǎn)子電阻的傳統(tǒng)解析方法進(jìn)行計(jì)算分析，必然會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。因此，探討傳統(tǒng)計(jì)算大型發(fā)電機(jī)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的方法能否直接用于計(jì)算小功率電機(jī)的動(dòng)態(tài)特性是十分必要的。

在研究大型電機(jī)動(dòng)態(tài)過程時(shí)，由于定轉(zhuǎn)子電阻標(biāo)幺值相對(duì)于其漏抗很小，因而直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的解析表達(dá)式中通常將定子電阻忽略，定子非周期瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的解析表達(dá)式中通常將轉(zhuǎn)子電阻忽略[5-8]。同樣，在對(duì)小功率電機(jī)進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究時(shí)，部分文獻(xiàn)也采用這種忽略電阻的方法[9]，例如突然加負(fù)載時(shí)的動(dòng)態(tài)過程[10]。而小功率電機(jī)具有定轉(zhuǎn)子電阻值偏大而漏抗值偏小的特點(diǎn)[11-12]，因此定轉(zhuǎn)子電阻對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的影響仍值得進(jìn)一步研究。

同步電機(jī)的瞬態(tài)參數(shù)是基于三相突然短路定義的，是描述電機(jī)瞬態(tài)和動(dòng)態(tài)行為的重要參數(shù)[13-14]。三相突然短路試驗(yàn)是測(cè)取同步電機(jī)瞬態(tài)參數(shù)較為理想的方法，也是國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)[15]推薦采用的方法。因此本文主要基于空載三相突然短路對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)進(jìn)行研究。

本文首先推導(dǎo)了空載三相突然短路后計(jì)及定轉(zhuǎn)子電阻的勵(lì)磁電流和瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解析表達(dá)式，然后通過7.5kW模型機(jī)試驗(yàn)及時(shí)步有限元驗(yàn)證了該改進(jìn)解析式的正確性，最后將該解析式用于不同功率電機(jī)，計(jì)算了不同定轉(zhuǎn)子電阻時(shí)電機(jī)的瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)，得出改進(jìn)解析式的計(jì)算精度明顯高于傳統(tǒng)解析式。研究結(jié)果為瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的計(jì)算和精確測(cè)量提供理論基礎(chǔ)。

1 瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的研究方法

1.1 傳統(tǒng)解析表達(dá)式

電力系統(tǒng)分析以及電機(jī)瞬態(tài)理論中對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)定義如下[11]：

傳統(tǒng)的直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)如式（1）所示：

式中：f'為當(dāng)轉(zhuǎn)子僅有勵(lì)磁繞組，且電樞繞組短路時(shí)從轉(zhuǎn)子繞組端看的瞬態(tài)電抗，f為勵(lì)磁繞組的電阻。

傳統(tǒng)的定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)如式（2）所示：

式中：d'為軸的瞬態(tài)電抗，q為交軸同步電抗，s為定子電阻。

空載三相突然短路勵(lì)磁電流的傳統(tǒng)表達(dá)式為：

電力系統(tǒng)常用的2到6階實(shí)用模型[16]均采用傳統(tǒng)方法得到的dc'，ac。

1.2 改進(jìn)解析表達(dá)式

為了研究瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)與定轉(zhuǎn)子電阻的關(guān)系，在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了計(jì)及定、轉(zhuǎn)子電阻的勵(lì)磁電流改進(jìn)表達(dá)式，得出了改進(jìn)的直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)和定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)的表達(dá)式。推導(dǎo)過程中忽略阻尼繞組。推導(dǎo)過程中采用運(yùn)算電抗求解，直軸運(yùn)算電抗與電機(jī)轉(zhuǎn)速無(wú)關(guān)，因而可以用來(lái)研究任何轉(zhuǎn)速時(shí)電機(jī)的各種運(yùn)行工況，其表達(dá)式如下：

式中：d為直軸同步電抗，ad為直軸電樞反應(yīng)電抗，f為勵(lì)磁繞組的電阻。

同樣，在忽略阻尼作用的情況下，交軸運(yùn)算電抗可表示為：

同步電機(jī)三相突然短路后軸電流的拉普拉斯變換式[11,17]為：

式中：m為空載電動(dòng)勢(shì)的幅值。

勵(lì)磁電流的拉普拉斯變換式與軸電流的拉普拉斯變換式之間滿足如下關(guān)系：

因此，勵(lì)磁電流的拉普拉斯表達(dá)式可變?yōu)椋?/p>

為對(duì)式（9）進(jìn)行拉普拉斯反變換，需將分母因式分解，即令：

據(jù)卡丹公式[18]令(3)代入式（10）消去二次方得：

其中：

將勵(lì)磁電流進(jìn)行拉普拉斯反變換后可以得到兩種勵(lì)磁電流的時(shí)域表達(dá)式：

對(duì)比式（14）和式（15）可知，式（14）中既有交流衰減分量，又有直流衰減分量，而式（15）中只存在直流衰減分量。因此式（14）和（15）的直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)可表示為：

式（14）中存在定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)，而式（15）沒有，因此式（14）中的定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)可表示為：

通過上述分析發(fā)現(xiàn)，計(jì)及定轉(zhuǎn)子電阻的勵(lì)磁電流改進(jìn)表達(dá)式存在兩種形式，由此可知隨著定轉(zhuǎn)子電阻的不同，改進(jìn)的瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)也會(huì)發(fā)生變化。

1.3 時(shí)步有限元方法

1.3.1 時(shí)步有限元方法簡(jiǎn)介

發(fā)電機(jī)的時(shí)步有限元模型(T-S FEM)能夠充分考慮發(fā)電機(jī)磁路飽和、磁場(chǎng)畸變、諧波磁場(chǎng)和集膚效應(yīng)等作用，可為發(fā)電機(jī)動(dòng)態(tài)運(yùn)行工況提供標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)[19]。時(shí)步有限元模型結(jié)合磁場(chǎng)方程與繞組回路方程得到[20]，根據(jù)勵(lì)磁繞組各點(diǎn)電流密度的積分表達(dá)式，對(duì)各勵(lì)磁導(dǎo)體直線部分單獨(dú)列寫方程，再利用整個(gè)回路的電壓方程將其聯(lián)系起來(lái)，同時(shí)考慮電流的串聯(lián)約束條件，從而在計(jì)及勵(lì)磁繞組中渦流分布的情況下，準(zhǔn)確計(jì)算發(fā)電機(jī)過渡過程中定子電流和勵(lì)磁電流的瞬態(tài)變化情況，為研究瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)提供理論基礎(chǔ)。

1.3.2 時(shí)步有限元模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該時(shí)步有限元模型的精確性，對(duì)一臺(tái)7.5kW模型機(jī)進(jìn)行時(shí)步有限元仿真計(jì)算并與試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，如圖1所示。

從圖1可以看出，7.5kW電機(jī)空載三相突然短路的時(shí)步有限元仿真與實(shí)測(cè)曲線非常吻合。時(shí)步有限元很好地計(jì)及電機(jī)內(nèi)部的復(fù)雜非線性、磁場(chǎng)畸變等因素，它能有效地反映發(fā)電機(jī)穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)等運(yùn)行行為，是一種比較精確的仿真工具。

圖1 空載突然短路時(shí)時(shí)步有限元仿真與試驗(yàn)對(duì)比

2 瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的對(duì)比分析

2.1 7.5kW同步發(fā)電機(jī)模型機(jī)

本文采用一臺(tái)兩極7.5kW同步發(fā)電機(jī)模型機(jī)對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)進(jìn)行理論和試驗(yàn)研究。模型機(jī)結(jié)構(gòu)和樣機(jī)如圖2所示，表1為7.5kW模型機(jī)的參數(shù)。

表1 7.5kW模型機(jī)基本數(shù)據(jù)

（a） 結(jié)構(gòu)

（b） 樣機(jī)

圖2 7.5kW模型機(jī)

2.2 不同方法所計(jì)算瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的對(duì)比分析

采用時(shí)步有限元、改進(jìn)解析表達(dá)式和傳統(tǒng)解析表達(dá)式計(jì)算7.5kW電機(jī)端電壓為110V時(shí)突然三相短路后的勵(lì)磁電流，結(jié)果如圖3所示。7.5kW電機(jī)的參數(shù)通過試驗(yàn)測(cè)得[12]，如表1所示。

圖3 不同方法得到的勵(lì)磁電流對(duì)比

根據(jù)改進(jìn)解析表達(dá)式和傳統(tǒng)解析表達(dá)式計(jì)算出空載三相突然短路勵(lì)磁電流，如式（18）和（19）所示。

從上述兩式可以得出瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解析解和傳統(tǒng)解析解，如表2所示。而從時(shí)步有限元計(jì)算的勵(lì)磁電流中無(wú)法直接獲得瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的大小，因此本文采用Prony方法[21]對(duì)時(shí)步有限元計(jì)算的勵(lì)磁電流曲線進(jìn)行擬合，從而得出直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)和定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)的數(shù)值。

對(duì)比圖3中的勵(lì)磁電流曲線和表2中的瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)，得出改進(jìn)解析表達(dá)式計(jì)算的勵(lì)磁電流曲線和瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)與時(shí)步有限元結(jié)果更加接近，而傳統(tǒng)解析解與時(shí)步有限元相差較大。

表2 不同方法得到的瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)對(duì)比

2.3 定轉(zhuǎn)子電阻對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的影響

為了研究定轉(zhuǎn)子電阻對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的影響，在7.5kW電機(jī)定子三相繞組中串入阻值為4.286W的電阻，進(jìn)行時(shí)步有限元仿真并與改進(jìn)解析解和傳統(tǒng)解析解對(duì)比，得到勵(lì)磁電流響應(yīng)曲線對(duì)比如圖4所示。

從圖4中可以看出，改進(jìn)解析表達(dá)式計(jì)算的勵(lì)磁電流曲線與時(shí)步有限元結(jié)果更加接近。對(duì)時(shí)步有限元的勵(lì)磁電流曲線進(jìn)行Prony擬合，得到直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)與改進(jìn)解析解一致，約為0.12s，而傳統(tǒng)表達(dá)式計(jì)算的直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)不隨定子電阻的變化而變化，仍為表2所示的0.0435s。因此說明定子電阻的變化會(huì)影響直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的大小，而傳統(tǒng)解析表達(dá)式不能計(jì)及這種影響。

圖4 定子串電阻后的勵(lì)磁電流曲線

圖5 轉(zhuǎn)子串電阻后的勵(lì)磁電流

同樣，在轉(zhuǎn)子繞組中串入12.7W電阻后，采用時(shí)步有限元、改進(jìn)解析表達(dá)式和傳統(tǒng)解析表達(dá)式計(jì)算的勵(lì)磁電流曲線如圖5所示。對(duì)時(shí)步有限元計(jì)算的勵(lì)磁電流曲線進(jìn)行Prony擬合，得出定子非周期時(shí)間常數(shù)與改進(jìn)解基本一致，約為0.023s，而傳統(tǒng)表達(dá)式計(jì)算的定子非周期時(shí)間常數(shù)不隨轉(zhuǎn)子電阻的變化而變化，仍為表2所示的0.0192s。因此說明轉(zhuǎn)子電阻的變化會(huì)影響定子非周期時(shí)間常數(shù)的大小，而傳統(tǒng)解析表達(dá)式不能計(jì)及這種影響。

2.4 瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的偏差分析

2.4.1 7.5kW同步電機(jī)

從文獻(xiàn)[11,12]可以得出，不同功率同步電機(jī)的定轉(zhuǎn)子電阻標(biāo)幺值相差接近10倍。為了分析不同定轉(zhuǎn)子電阻大小情況下，瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解與傳統(tǒng)解的差別，將7.5kW同步電機(jī)定轉(zhuǎn)子電阻在實(shí)際值的0.1~10倍范圍內(nèi)進(jìn)行變化，計(jì)算不同定轉(zhuǎn)子組合時(shí)直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)和定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的偏差。改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的偏差和如式（20）和（21）所示。計(jì)算結(jié)果如圖6，7所示，圖中，軸為定轉(zhuǎn)子電阻的變化倍數(shù)，軸相對(duì)偏差，單位為%。

從圖6中可以看出，隨著定子電阻的增大，的絕對(duì)值在不斷增大。實(shí)際定轉(zhuǎn)子電阻下，值為2.5%，當(dāng)定轉(zhuǎn)子電阻增大10倍時(shí)，變?yōu)?3%。同樣，從圖7中可以看出，實(shí)際定轉(zhuǎn)子電阻下，值為0.6%，而當(dāng)定轉(zhuǎn)子電阻增大10倍時(shí)，則變?yōu)?81%。可見，對(duì)于小功率電機(jī)來(lái)說，瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的傳統(tǒng)解與改進(jìn)解具有很大差別。

圖6 不同定轉(zhuǎn)子電阻時(shí)，Tdj'相對(duì)于Tdc'的偏差

圖7 不同定轉(zhuǎn)子電阻時(shí)，Taj相對(duì)于Tac的偏差

2.4.2 300MW同步電機(jī)

采用與2.4.1節(jié)相同的方法，計(jì)算了300MW同步電機(jī)的定轉(zhuǎn)子電阻在10倍范圍內(nèi)變化時(shí)，直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)和定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的偏差。300MW同步電機(jī)的參數(shù)見文獻(xiàn)[11]，通過計(jì)算得出，在10倍的定轉(zhuǎn)子電阻變化范圍內(nèi)，直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的最大偏差為0.13%，而定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的最大偏差僅為0.09%。因此，傳統(tǒng)法對(duì)大功率同步電機(jī)適用，但在小功率同步電機(jī)上會(huì)有一定偏差。此時(shí)采用改進(jìn)解，更具有明顯精度優(yōu)勢(shì)。

3 結(jié)論

本文通過理論推導(dǎo)和仿真對(duì)比的方法研究了定轉(zhuǎn)子電阻對(duì)小功率電機(jī)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的影響，得出如下結(jié)論：

（1）采用改進(jìn)表達(dá)式和傳統(tǒng)表達(dá)式計(jì)算了7.5kW電機(jī)的直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)和定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)，并與時(shí)步有限元進(jìn)行對(duì)比，得出改進(jìn)解與時(shí)步有限元結(jié)果更接近，而傳統(tǒng)解則與時(shí)步有限元結(jié)果相差較大。

（2）通過計(jì)算不同定轉(zhuǎn)子電阻時(shí)，7.5kW電機(jī)與300MW電機(jī)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的偏差，得出傳統(tǒng)方法對(duì)大型同步電機(jī)適用，但在計(jì)算小功率同步電機(jī)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)時(shí)與改進(jìn)解具有明顯差異。此時(shí)采用改進(jìn)解析表達(dá)式計(jì)算小功率同步電機(jī)具有明顯的精度優(yōu)勢(shì)。

（3）在進(jìn)行小功率電機(jī)的動(dòng)態(tài)仿真和參數(shù)辨識(shí)時(shí)，必須考慮到定、轉(zhuǎn)子電阻的大小對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的影響，這樣才能選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛷亩玫礁_的結(jié)果。

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Study on the Transient Time Constant of the Synchronous Generator with Different Capacity

XU Guorui1,LIU Xiaofang1, LUO Yingli1, SONG Meihong2

(1. North China Electric Power University, Beijing 102206, China;2. China Urban Construction Design &Research Institute, Beijing100120, China)

The small power synchronous generators are commonly used to simulate and study the transient response of the large generators, due to the restriction of the safety production in power system. However, the stator and rotor resistance in per unit of small power synchronous generator is much less than their leakage reactance; some error will be produced, if the traditional transient time constants which neglect the stator and rotor resistance are adopted. In order to solve this problem, this paper deduces the improved analytical expression of exciting current in the no-load and three-phase short circuit situation with the resistance of stator and rotor considered. The test and Time Step Finite Element Method (T-S FEM) of 7.5 kW model machine verify the correctness and validity of this model. The precision of the improved solution is higher than traditional solution with different value of the stator and rotor resistance. The result provides theoretical basis to calculate and test transient time constant accurately.

model machine; transient time constant; stator resistance; rotor resistance; time step finite element method

TM341

A

1000-3983(2014)01-0001-05

“十一五”國(guó)家科技支撐項(xiàng)目（2008BAA13B02）。

2013-10-13

許國(guó)瑞(1986-)，華北電力大學(xué)電機(jī)與電器專業(yè)，研究方向?yàn)橥桨l(fā)電機(jī)模型及參數(shù)，博士研究生。

審稿人：李桂芬