白爍星 韓江燕

【摘要】本文從復數(shù)理論出發(fā)，通過推廣函數(shù)、解析等數(shù)學概念，逐步建立了三元數(shù)函數(shù)與解析的理論.

【關鍵詞】數(shù)平面;數(shù)空間;平面解析;空間解析;泛解析;半解析;冪級數(shù)

【中圖分類號】O153.5 泛代數(shù)

一、引 言

三元數(shù)、多元數(shù)的研究始于曲阜師大《中學數(shù)學雜志》發(fā)表的《超越復數(shù)的三元數(shù)》《復數(shù)的多元數(shù)》，后東北師大《數(shù)學學習與研究》發(fā)表了《代數(shù)基本定理在高維數(shù)空間之證明》，多項式函數(shù)首先得到了深刻的研究.然而數(shù)空間里是否存在優(yōu)美和諧的函數(shù)與解析理論呢？本文從復數(shù)理論出發(fā)，通過推廣函數(shù)、解析等數(shù)學概念，嘗試給出了一個有趣的解答.

二、三元數(shù)基礎知識

1.三元數(shù)的代數(shù)運算與三維數(shù)空間

形如a+bi+cj（a，b，c∈R）的數(shù)叫作三元數(shù)，三元數(shù)通常用一個字母p來表示，即

p=a+bi+cj，全體三元數(shù)構(gòu)成的集合叫作三元數(shù)集，用字母A3來表示，定義：（1）i2=j2=-1（2）i·j=0，則有：（a0+a1i+a2j）±（b0+b1i+b2j）=（a0±b0）+（a1±b1）i+（a2±b2）j，

（a0+a1i+a2j）×（b0+b1i+b2j）=（a0b0-a1b1-a2b2）+（a0b1+b0a1）i+（a0b2+b0a2）j.

說明 （1）三元數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，乘法滿足交換律及對加法的分配律;

（2）除法是乘法的逆運算，兩個三元數(shù)作除法運算，可依三元數(shù)相等的定義及乘法公式求得.

建立了空間直角坐標系來表示三元數(shù)的空間叫作三維數(shù)空間，簡稱數(shù)空間，仍用A3來表示.于是：

實數(shù)一一對應實軸上的點;

復數(shù)z=a+bi一一對應復平面內(nèi)點z（a，b）;

三元數(shù)p=a+bi+cj一一對應數(shù)空間內(nèi)點p（a，b，c）.

2.三元數(shù)的幾何表示與重要性質(zhì)

三維數(shù)空間內(nèi)的點p可以表示三元數(shù)，由于三元數(shù)集A3與三維數(shù)空間內(nèi)所有以原點O為起點的向量OP所組成的集合一一對應（實數(shù)0與零向量對應），所以三元數(shù)也可以用起點在原點的向量來表示.p=a+bi+cj稱為三元數(shù)的代數(shù)形式，p=rcosθ+sinθicosφ+jsinφ稱為三元數(shù)的三角形式.

（1）三元數(shù)的模 與三元數(shù)p=a+bi+cj對應的向量OP的模（即有向線段OP的長度）r叫作三元數(shù)p=a+bi+cj的模（或絕對值），記作p或a+bi+cj，易知p=a+bi+cj=a2+b2+c2.

三元數(shù)模的幾何意義是：三元數(shù)p在數(shù)空間內(nèi)對應的點p到原點的距離.

（2）三元數(shù)的輻角與傾角 數(shù)空間可看作復平面繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，x軸與空間點p可唯一確定一個平面，該平面與復平面的夾角φ稱三元數(shù)p=a+bi+cj的傾角，φ=arctancb，平面xOp稱傾角為φ的數(shù)平面，特別地，復平面是傾角為0的數(shù)平面，無數(shù)個數(shù)平面形成了數(shù)空間.當點p落在x軸上時，傾角φ值不定，也就是說：實數(shù)的傾角φ值不定.

以x軸的正半軸為始邊，向量OP所在的射線（起點是O）為終邊的角θ叫作三元數(shù)p=a+bi+cj的輻角，記作Argp.

（3）輻角的主值 在區(qū)間0，2π內(nèi)的輻角θ的值叫作輻角的主值，記作argp，即0≤argp<2π.非0三元數(shù)的輻角有無限多個值，但輻角的主值只有一個，三元數(shù)0的輻角不定.

說明 （1）三元數(shù)的代數(shù)形式是唯一的，但三角形式不唯一;

（2）復平面是傾角為0的數(shù)平面;

（3）在復平面上成立的結(jié)論，在其他傾角的數(shù)平面上也成立;

（4）代數(shù)形式p=a+bi+cj與相對應的三角形式p=rcosθ+sinθicosφ+jsinφ的互化公式：

a=rcosθ，b=rsinθcosφ，c=rsinθsinφ，具體依下列規(guī)則進行

先求r：r=a2+b2+c2，再求θ：由點p0（a，b）的所在象限及rcosθ=a共同確定（一般取最小正角），最后求φ：一般地，取φ=arctancb，-π2<φ≤π2，b=0，c≠0時，φ=π2;b=c=0時，φ值不定.

從更高的觀點來看，可以觀察到數(shù)學在更高層次上的統(tǒng)一，復數(shù)的代數(shù)形式與極坐標的統(tǒng)一，三元數(shù)的代數(shù)形式與球坐標的統(tǒng)一，極坐標是球坐標的特例，復數(shù)是三元數(shù)的特例.

三元數(shù)的加法滿足平行四邊形法則，減法滿足三角形法則.復數(shù)是實數(shù)的擴充，三元數(shù)是復數(shù)的擴充，要特別注意三元數(shù)與復數(shù)及實數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別.

（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，復數(shù)與復平面內(nèi)的點、復平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應，三元數(shù)與數(shù)空間內(nèi)的點、數(shù)空間內(nèi)以原點為起點的向量一一對應.

（2）兩個實數(shù)可以比較大小，有關不等式的一些性質(zhì)僅限于實數(shù)集中成立.

（3）三元數(shù)的模是實數(shù)及復數(shù)絕對值的擴充，實數(shù)與復數(shù)的絕對值是三元數(shù)模的特例，因此三元數(shù)模的所有性質(zhì)對實數(shù)絕對值都成立，而實數(shù)絕對值的一些性質(zhì)對三元數(shù)模則不一定成立.

p=1，在p為實數(shù)時表示兩個點±1，在p為復數(shù)時表示單位圓，在p為三元數(shù)時表示單位球面.

（4）實數(shù)集對加、減、乘、除、乘方運算封閉，復數(shù)集與三元數(shù)集對加、減、乘、除、乘方、開方運算封閉.

（5）一般地，一元n次代數(shù)方程在復數(shù)集中有且僅有n個根，在三元數(shù)集中可以有多于n個的根，甚至有無窮多個根存在.

3.三元數(shù)三角形式的運算

（1）在傾角為φ的數(shù)平面上，設pn=rn[cosθn+sinθn（icosφ+jsinφ）]，n=1，2，3，則有

p1.p2.p3=r1.r2.r3[cos（θ1+θ2+θ3）+sin（θ1+θ2+θ3）·（icosφ+jsinφ）]，顯然，同在一個數(shù)平面上的三個數(shù)相乘，其乘積的模為模的乘積，復數(shù)乘法是其特例.

三元數(shù)的三角形式可用來直觀描述一個星體在軌道傾角為φ的平面上繞中心天體的運行情況：p=rcosωt+sinωticosφ+jsinφ，r為該星體運行的圓形軌道的半徑.

如軌道為橢圓，公式可改寫為：p=acosωt+bsinωt（icosφ+jsinφ）.

若軌道還需旋轉(zhuǎn)一個角度θ，公式可再改寫為：

p=[acosωt+bsinωt（icosφ+jsinφ）][cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）].

其中a，b表示星體運行的橢圓軌道的長半軸與短半軸，t表示時間，ω表示星體運行的角速度， T=2πω表示該星體繞中心天體運行的周期.cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）是三維數(shù)空間里的旋轉(zhuǎn)算子，該算子還可推廣至更高維數(shù)空間.

（2）三元數(shù)的乘方 三元數(shù)的n（n∈N）次冪的模等于這個三元數(shù)的模的n次冪，它的輻角等于這個三元數(shù)的輻角的n倍，而傾角不變.rcosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）n=rncosnθ+sinnθ（icosφ+jsinφ）.

特別地，當φ=0時得：r（cosθ+isinθ）n=rn（cosnθ+isinnθ）.

此即復平面上的Movire定理，在這里成了三元數(shù)乘方的一個特例.

（3）三元數(shù)的開方 三元數(shù)的n（n∈N）次方根是

nrcosθ+2kπn+sinθ+2kπn（icosφ+jsinφ）

，（k=0，1，…，n-1）.

注意：①一般地（指p不為實數(shù)時），三元數(shù)總有固定的傾角φ，這時三元數(shù)的n次方根是n個三元數(shù)，它們的模等于這個三元數(shù)的模的n次算術(shù)根，它們的輻角分別等于這個三元數(shù)的輻角與2π的0，1，2，…，n-1倍的和的n分之一，而傾角φ不變.

②p為實數(shù)時，傾角φ值不定，需解參數(shù)方程：

x=nrcosθ+2kπn，y=nrsinθ+2kπncosφ，z=nrsinθ+2kπn·sinφ），（k=0，1，…，n-1）.

易知-1的平方根是icosφ+jsinφ，它的幾何意義是數(shù)空間中以原點為圓心，垂直于復平面，在平面yOz上的單位圓，其與復平面的交點恰好是i與-i兩個點，-1在復平面上有且僅有兩個根，在數(shù)空間中卻有整整一個圓的根存在.這是給出定義i2=j2=-1，i·j=0時所完全不曾預料的事情！

需要指出的是：求一個三元數(shù)的n次方根，當n=2時，勉強可利用定義解代數(shù)方程求得，當n較大時用三元數(shù)的三角形式求解較為簡單.

三元數(shù)開方的幾何意義

一般地，三元數(shù)（指p不為實數(shù)時）p=r[cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）]開n次方的n個根在數(shù)空間內(nèi)所對應的n個點均勻地分布在以原點為圓心，nr為半徑，與復平面的傾角為φ的數(shù)空間中的一個圓上.

當然，當p為實數(shù)時，其n次方根的幾何意義依然可利用三元數(shù)的求方根公式進行討論，讀者不妨自行一試.

4.三元數(shù)的重要定義、定理與推論

4.1模律定理 兩個三元數(shù)a=a0+a1i+a2j，a0≠0，|a|=r1，x=x0+x1i+x2j，a為常量，x為變量，x=r2≠0，其積p=ax的模r，當且僅當a2x1-a1x2=0，即兩個三元數(shù)在同一個數(shù)平面上時，三元數(shù)積的模等于兩個三元數(shù)的模的積，得到最大值rmax=r1.r2;當且僅當x20a21+a22=0且a1x1+a2x2=0時，得到最小值rmin=a0r2.

依高等幾何知識，a0≠0，p=ax，本質(zhì)上表示一個仿射變換，球面x=r2≠0通過可逆線性變換繞球心（原點）旋轉(zhuǎn)、伸縮后被映射成一個橢球面，模律定理恰好揭示出了橢球面的最長半軸與最短半軸.特別地，如果a=a0+a1i+a2j=a0，此時得到一個半徑r=a0r2的球面，球面的半徑是常量，當然最大值與最小值相等.

給定三元數(shù)a=a0+a1i+a2j，|a|=r，一一對應一個矩陣A，該矩陣的行列式 A=a0r2稱為數(shù)a的基本值，限制a的基本值A≠0，A≠0a0≠0仿射變換成為可逆線性變換，商x=pa唯一可求.特別地，在復域中，復數(shù)a=a0+a1i的基本值A=a20+a21≠0r≠0a≠0，基本值的通項公式為A=an-20r2.初等數(shù)學中一般規(guī)定0不作除數(shù)正是A≠0的特例.（A=a0-a1-a2

a1a00

a20a0=a0（a20+a21+a22）=a0r2）

4.2.推論（零因子定理） 兩個三元數(shù)a=a0+a1i+a2j，x=x0+x1i+x2j，|a|=r1≠0，x=r2≠0，當且僅當x0=a0=0，且a1x1+a2x2=0時，其乘積p=ax=0.

4.3.除法定理 已知p=ax，p=p0+p1i+p2j，a=a0+a1i+a2j，求x=x0+x1i+x2j=pa.將p=ax乘出，依三元數(shù)相等的定義，得三元一次方程組，當a0≠0時，方程有唯一解：

x0=p0a0+p1a1+p2a2a20+a21+a22，

x1=a0（p1a0-p0a1）+a2（p1a2-p2a1）a0（a20+a21+a22），

x2=a0（p2a0-p0a2）+a1（p2a1-p1a2）a0（a20+a21+a22）.

當p1a2-p2a1=0，即p與a在同一個數(shù)平面上時，方程組有形式簡單的解：

x0=p0a0+p1a1+p2a2a20+a21+a22，x1=p1a0-p0a1a20+a21+a22，

x2=p2a0-p0a2a20+a21+a22.

如果p2=a2=0，數(shù)平面的傾角為0，即得出復域內(nèi)結(jié)果，顯然復數(shù)除法是三元數(shù)除法的特例.

再來研究a0=0，a≠0時的情形.將p=ax乘出，得三元一次方程組a0x0-a1x1-a2x2=p0，

a1x0+a0x1=p1，

a2x0+a0x2=p2. （1）

（2）

（3）

方程組系數(shù)矩陣的行列式A=a0-a1-a2

a1a00

a20a0=a0（a20+a21+a22）=a0r2=0a0=0.

當a1≠0，a2≠0且p1a2-p2a1=0時，得解：x0=p1a1=p2a2，a1x1+a2x2+p0=0，當p1a2-p2a1≠0時無解.

當a1≠0，a2=0且p2=0時，得解： x0=p1a1，x1=-p0a1，x2∈R，當p2≠0時無解.

當a2≠0，a1=0且p1=0時，得解： x0=p2a2，x2=-p0a2，x1∈R，當p1≠0時無解.

若在復域內(nèi)考慮p2=0，a2=0，當a1≠0時得解：x0=p1a1，x1=-p0a1，x2=0，此時得出了唯一解，復域內(nèi)情形為三元數(shù)除法的特例.

注意到在p1a2-p2a1=0商有唯一解的公式中取a0=0，將x1=-p0a1a21+a22，x2=-p0a2a21+a22代入商有直線解的公式a1x1+a2x2+p0=0，將x0=p1a1=p2a2代入x0=p1a1+p2a2a21+a22仍成立，可去間斷點必在連續(xù)直線上.在三元數(shù)函數(shù)論中，為了研究問題的方便，定義可去間斷點為三元數(shù)商的主值，與商一樣仍用x=pa來表示，以實現(xiàn)商的單值連續(xù)，x=pa在商多值時一般專指商的主值，復域內(nèi)情形為其特例，以后不再一一說明.

利用數(shù)平面的概念，上述結(jié)果可簡述為：

（1）a0≠0時，方程組有唯一解，商唯一可求.

（2）a0=0，a≠0時，如果p與a在同一個數(shù)平面上，方程組有一條直線的解，商的主值唯一可求，復域內(nèi)解為其特例.

（3）a0=0，a≠0時，如果p與a不在同一個數(shù)平面上，方程組無解，商為空集.

最后來研究a=a0+a1i+a2j=0時的情形，此時a0=a1=a2=0，如果p≠0，此時沒有任何三元數(shù)x滿足p=ax，所以解集是空集;如果p=0，此時任意一個三元數(shù)x均滿足p=ax，所以解集為A3，意即所有的三元數(shù)均為所求.

綜上所述，三元數(shù)的乘除法比加減法要更為微妙，從函數(shù)的觀點來看，三元數(shù)乘法得到的積是單值函數(shù)，三元數(shù)除法得到的商卻可以一值、多值（主值唯一）、甚至無解.其實即使在復域內(nèi)考慮，乘除法也并不完全可逆，0就是個例外，初等數(shù)學中一般規(guī)定0不作除數(shù)，以保證除法運算所得到的商總是單值.在三元數(shù)函數(shù)論中，從更一般的觀點來看，三元數(shù)除法等價于三元一次方程組的求解，任意兩個三元數(shù)總可作除法，除法運算即解方程組的過程總可以進行，只是除法運算的結(jié)果（商）可能單值、多值或無解罷了.

4.4推論（倒數(shù)定理） p=ax，p=1時，x稱為a的倒數(shù)，代入p=1，a=a0+a1i+a2j，得：

（1）a0≠0時，倒數(shù)x=x0+x1i+x2j=1a唯一可求.x0=a0a20+a21+a22，x1=-a1a20+a21+a22，x2=-a2a20+a21+a22.

（2）a0=0，a1≠0，a2≠0時，得解：x0=p1a1=p2a2=0，a1x1+a2x2+1=0，方程組有一條直線的解.

（3）a0=0，a1≠0，a2=0時，得解：x0=p1a1=0，x1=-1a1，x2∈R，方程組有一條直線的解.

（4）a0=0，a2≠0，a1=0時，得解：x0=p2a2=0，x2=-1a2，x1∈R，方程組有一條直線的解.

（5）任何數(shù)乘以0都不等于1，所以0沒有倒數(shù)，反之，任何非0三元數(shù)總有至少一個倒數(shù).

在復變函數(shù)論中，倒數(shù)函數(shù)y=1x將一個圓單值連續(xù)映照為另一個模為倒數(shù)的圓，在三元數(shù)函數(shù)論中，多值商取主值x0=0，x1=-a1a21+a22，x2=-a2a21+a22后倒數(shù)函數(shù)y=1x將一個球面單值連續(xù)映照為另一個模為倒數(shù)的球面，復數(shù)倒數(shù)是三元數(shù)倒數(shù)的特例.

4.5乘除轉(zhuǎn)化定理 一般地，pa，a0≠0，當且僅當p1a2-p2a1=0時，pa=p×1a， p除以一個三元數(shù)等于乘以這個三元數(shù)的倒數(shù).實際上，當p1a2-p2a1=0，a0=0，a≠0商為多值時乘除轉(zhuǎn)化定理仍成立，此時只需左邊商取多值或主值而右邊a的倒數(shù)也取多值或主值乘出即可.

利用數(shù)平面的概念， 乘除轉(zhuǎn)化定理可簡述為：

一般地，a≠0，當且僅當p與a在同一個數(shù)平面上時pa=p×1a，p除以一個三元數(shù)等于乘以這個三元數(shù)的倒數(shù)，復域內(nèi)情形為其特例.

4.6結(jié)合律定理 三個三元數(shù)相乘p=p1p2p3，當且僅當p2為實數(shù)或者p1，p3在同一個數(shù)平面上時，結(jié)合律成立，由于實軸是所有數(shù)平面的公共軸，任意數(shù)平面均包含實數(shù)，所以至少有一個數(shù)是實數(shù)的三個數(shù)相乘，其乘積滿足結(jié)合律.

4.7代數(shù)學基本定理 三維數(shù)空間里一般系數(shù)的一元n次代數(shù)方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0至少有一解（a0=a00+a01i+a02j，a00≠0）.

4.8推論（實系數(shù)代數(shù)學基本定理）如果實系數(shù)一元n次代數(shù)方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0（a0≠0）在復平面上有u個實根x1，x2，…， xu，t對虛根r1（cosθ1±isinθ1），…，rt（cosθt±isinθt），那么該方程在數(shù)空間里有且僅有u個實根x1，x2，…，xu和t個圓的非實數(shù)根（pm=x+yi+zj，x=rmcosθm，y2+z2=rmsinθm2，m=1，…，t），u+2t=n.

4.9推論（實根定理）如果實系數(shù)一元n次代數(shù)方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0（a0≠0）在復平面上有且僅有n個實根x1，...，xn，那么其在數(shù)空間里也有且僅有n個實根x1，...，xn

4.10推論（虛根定理）如果實系數(shù)一元n次代數(shù)方程a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an=0（a0≠0）在復平面上有且僅有n2對虛根r1（cosθ1±isinθ1），…，rn2cosθn2±isinθn2，那么其在數(shù)空間里有且僅有n2個圓的非實數(shù)根 （pm=x+yi+zj，x=rmcosθm，y2+z2=rmsinθm2，m=1，…，n2）.

三、三元數(shù)函數(shù)

通過引入定義：（1）i2=j2=-1，（2）ij=0，現(xiàn)在已能對兩個三元數(shù)作加、減、乘、除等四則運算，對單個三元數(shù)可進行乘方、開方，還可以解出數(shù)空間里形如ax=b，axn=b（n∈N，n≥2）的二項方程.

這都屬于初等數(shù)學中代數(shù)運算的范疇，下面利用冪級數(shù)理論對三元數(shù)函數(shù)進行推廣.

1.指數(shù)函數(shù)

定義：ep=1+p1！+…+pnn！+…（p∈A3，n∈N） （1）

先研究p=（icosφ+jsinφ）θ的指數(shù)函數(shù)，將p代入（1）并整理得

ep=（1-θ22！+θ44！-…）+（icosφ+jsinφ）（θ-θ33！+θ55！-…）=cosθ+（icosφ+jsinφ）sinθ （2）

可以給出嚴格的證明，ep=1+p1！+…+pnn！+…（p∈A3，n∈N）在整個數(shù)空間內(nèi)是收斂的.

令φ=0，在（2）中即可得到eiθ=cosθ+isinθ.

此即著名的Euler公式，這里可以從三元數(shù)理論中導出，從而是三元數(shù)理論中的特例.

當p=a+bi+cj=rcosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）時，代入（1）得

ep=ercosθersinθ（icosφ+jsinφ）

=ercosθcos（rsinθ）+（icosφ+jsinφ）sin（rsinθ）（3）

此即求任一三元數(shù)指數(shù)函數(shù)的公式，三元數(shù)還有指數(shù)形式p=reT3θ=re（icosφ+jsinφ）θ.

2.三角函數(shù)與雙曲函數(shù)

三元數(shù)p=rcosθ+sinθicosφ+jsinφ=r（cosθ+T3sinθ），T3=icosφ+jsinφ確定了三元數(shù)p所在的數(shù)平面在數(shù)空間中的位置，稱為三元數(shù)p的代數(shù)傾角，簡稱傾角，相應φ特指三元數(shù)p的幾何傾角.

cosp=1-p22！+p44！-…=eT3p+e-T3p2（p∈A3）

sinp=p-p33！+p55！-…（p∈A3）=eT3p-e-T3p2T3（p∈A3）

tanp=sinpcosp，cotp=cospsinp，secp=1cosp，cscp=1sinp

coshp=ep+e-p2，sinhp=ep-e-p2，tanhp=sinhpcoshp，cothp=coshpsinhp，sechp=1coshp，cschp=1sinhp.

3.對數(shù)函數(shù)

q=lnp，則eq=p，p≠0，因eq=0無解，將p以指數(shù)形式寫出：p=reT3θ=re（icosφ+jsinφ）θ，并記q=u+vi+wj，于是p=re（icosφ+jsinφ）θ=eu+vi+wj=euevi+wj，u=lnr，vi+wj=（icosφ+jsinφ）（θ+2kπ）（k∈Z），

所以： q=lnp=lnr+（icosφ+jsinφ）Argp=lnr+T3Argp=lnp+T32kπ（lnp=lnr+T3Argp），由于指數(shù)函數(shù)在傾角為φ的數(shù)平面上有周期2π（icosφ+jsinφ）=2πT3（復平面傾角為0，周期為2πi），其反函數(shù)對數(shù)函數(shù)是多值函數(shù).

現(xiàn)在研究映射p=eq，q=u+vi+wj，平面u=u0被映射成球面r=eu0，設vi+wj=ρ（icosφ+jsinφ），ρ=±v2+w2，v=ρcosφ，w=ρsinφ，φ∈-π2，π2，ρ依次取-π，π，±π，±3π，±3π，±5π，…，映射p=eq將自變量數(shù)空間內(nèi)的中心圓柱體、無窮多的半圓環(huán)柱體依次映射成了函數(shù)數(shù)空間（不含原點），復變函數(shù)論中w=ez=ex+yi將直線x=x0映射成圓r=ex0，自變量復平面帶形區(qū)域y依次取-π，π，±π，±3π，±3π，±5π，…被映射成了函數(shù)復平面（不含原點），復域內(nèi)結(jié)論是三元數(shù)函數(shù)論中的特例，實質(zhì)表述了數(shù)空間中一個剖面的情形.

4.反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)

注意到對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)其實均來源于指數(shù)函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)實質(zhì)為在整個數(shù)空間收斂的實系數(shù)的冪級數(shù)，任取一個數(shù)平面來研究，當自變量在傾角為φ的數(shù)平面上取值時，函數(shù)值亦在該數(shù)平面上變動，有

arcsinp=-（icosφ+jsinφ）ln[（icosφ+jsinφ）p+1-p2].

arccosp=-（icosφ+jsinφ）ln（p+p2-1）.

arctanp=12（icosφ+jsinφ）ln1+（icosφ+jsinφ）p1-（icosφ+jsinφ）p=12（icosφ+jsinφ）lnicosφ+jsinφ-picosφ+jsinφ+p.

arccotp=12（icosφ+jsinφ）ln1-（icosφ+jsinφ）p1+（icosφ+jsinφ）p=12（icosφ+jsinφ）lnicosφ+jsinφ+picosφ+jsinφ-p.

arcsinhp=ln（p+p2+1），arccoshp=ln（p+p2-1），arctanhp=12ln1+p1-p，arccothp=12lnp+1p-1.

5.冪函數(shù)

pa=ealnp，p≠0，其中a與p是三元數(shù)，三元數(shù)基礎理論中已討論過a=n和a=1n（n∈N）的情形，分別為p的乘方與開方，一般p的開方根函數(shù)就已是多值函數(shù)，在新的定義下得出的結(jié)論與以前的結(jié)果并無不同.當a取一般的三元數(shù)時出現(xiàn)了新的情況，盡管三元數(shù)的冪函數(shù)也是通過指數(shù)函數(shù)來定義，但由于a與p不一定在同一個數(shù)平面上，所以當自變量在傾角為φ的數(shù)平面上變動時，函數(shù)值不一定仍在這個數(shù)平面上變動.

6.多項式和有理函數(shù)

f（p）=a0+a1（p-p0）+…+an（p-p0）n（an，p∈A3，n∈N），h（p）=f（p）g（p），其中f（p），g（p）均為多項式.多項式是有理函數(shù)的特例.顯然，在整個三維數(shù)空間A3內(nèi)多項式處處收斂.

7.整函數(shù)與分式函數(shù)

在三維數(shù)空間A3內(nèi)，可表示成處處收斂的冪級數(shù)的和的三元數(shù)函數(shù)稱為整函數(shù)，多項式是最簡單的整函數(shù)，非多項式的整函數(shù)（無窮高次多項式）稱為超越整函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)都是超越整函數(shù).易知有界整函數(shù)是常數(shù).

f（p）=a0+a1（p-p0）+…+an（p-p0）n+…（an，p∈A3，n∈N），limn→∞n|an|=0，h（p）=f（p）g（p）（其中f（p），g（p）均為整函數(shù)）稱為分式函數(shù).在復變函數(shù)論中研究了收斂的實系數(shù)、復系數(shù)的冪級數(shù)，在三元數(shù)函數(shù)論中，還需進一步去研究收斂的一般三元數(shù)系數(shù)的冪級數(shù).

借助將三維數(shù)空間看作由傾角為0的數(shù)平面（復平面）繞實軸（或x軸）旋轉(zhuǎn)而成的幾何解釋，立即可以理解下列以0點為中心的冪級數(shù)的收斂性：

Sn=a+ap+…+apn-1+…=a1-p（a∈R，p∈A3，p<1，n∈N）

ep=1+p1！+…+pnn！+…，cosp=1-p22！+p44！-…， sinp=p-p33！+p55！-…（p∈A3，n∈N）

由于第一個冪級數(shù)在復平面上的單位圓內(nèi)收斂，而單位圓繞x軸在三維數(shù)空間里旋轉(zhuǎn)得到單位球面，所以級數(shù)在三維數(shù)空間里的單位球內(nèi)收斂，其他幾個冪級數(shù)由于在整個復平面內(nèi)收斂，所以它們在整個三維數(shù)空間里亦收斂.

8.一般的三元數(shù)函數(shù)

f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j，p=x+yi+zj，其中P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）均為x，y，z的三元實函數(shù)，從本質(zhì)上講，復變函數(shù)理論就是一對二元實函數(shù)的理論，而三元數(shù)函數(shù)論就是三個三元實函數(shù)的理論.

四、三元數(shù)函數(shù)的解析理論

定義4.1 設f（p）為定義在區(qū)域D內(nèi)的單值函數(shù)，f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j，自變量p=x+yi+zj，將f（p）沿傾角為φ的數(shù)平面pφ作正交分解：f（p）=f1+f2，f1=P+（Qcosφ+Rsinφ）（icosφ+jsinφ），f2=（Qsinφ-Rcosφ）（isinφ-jcosφ），當Qsinφ-Rcosφ=0時，自變量與函數(shù)值在同一個數(shù)平面pφ上變化，原式化為f（p）=u（x，ρ）+v（x，ρ）（icosφ+jsinφ），如果函數(shù)f（p）在p0處沿數(shù)平面pφ可微，則稱函數(shù)f（p）在p0處可導.此時φ為常量，有

Qsinφ-Rcosφ=0，P（x，y，z）=u（x，ρ），Q（x，y，z）=v（x，ρ）cosφ，R（x，y，z）=v（x，ρ）sinφ，y=ρcosφ，z=ρsinφ.

定義4.2 如f2=0，將函數(shù)f（p）的定義域D依數(shù)平面分開，如果函數(shù)在傾角為φ的數(shù)平面pφ上的部分處處可微，則稱函數(shù)在D內(nèi)pφ上解析，簡稱平面解析;如果函數(shù)在D內(nèi)所有數(shù)平面上處處可微，則稱函數(shù)在自變量區(qū)域D內(nèi)解析，簡稱空間解析.

從定義可看出：對于三元數(shù)函數(shù)，導數(shù)未采用比的極限的傳統(tǒng)定義，而是利用了可微即可導的原理，有f（p0+Δp）-f（p0）=f′（p0）Δp+o（Δp）（Δp→0），直接把函數(shù)的微分系數(shù)定義成了函數(shù)的導數(shù).

不難得出函數(shù)可微或可導的充要條件為：

Q（x，y，z）sinφ-R（x，y，z）cosφ=0，ux=vρ，uρ=-vx（1）

在復域內(nèi)考慮，傾角φ=0，R（x，y，z）=0，z=0，y=ρ，（1）式就變成了傳統(tǒng)的C-R條件：

ux=vy，uy=-vx，復域內(nèi)結(jié)論是三元數(shù)函數(shù)論中的特例.

定義4.3 將函數(shù)f（p）沿傾角為φ的數(shù)平面pφ作正交分解，如f2≠0，f1在傾角為φ的數(shù)平面pφ上的部分處處可微，則函數(shù)在D內(nèi)可分成兩部分，f1解析，f2不解析，稱函數(shù)f（p）為半解析函數(shù).

易知函數(shù)半解析的充要條件為： f2≠0， Px=（Qcosφ+Rsinφ）ρ=Qρcosφ+Rρsinφ，Pρ=-（Qcosφ+Rsinφ）x=-Qxcosφ+Rxsinφ（2）

定義4.4 設函數(shù)f（p）為定義在區(qū)域D內(nèi)的單值連續(xù)函數(shù)，f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j，如果f（p）可表示成一個收斂的三元數(shù)系數(shù)的冪級數(shù)，則稱函數(shù)f（p）為泛解析函數(shù).解析函數(shù)是泛解析函數(shù)的特例.

定理4.1 泛解析函數(shù)f（p）表示成處處收斂中心在原點0的冪級數(shù)的充要條件是組成函數(shù)的三個實變函數(shù)自鄰域中心點0分別作Taylor展開后的各項滿足（1），稱為泛解析Taylor條件.

f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j=a0+b0i+c0j+（a1+b1i+c1j）p+…+（an+bni+cnj）pn+…（1）

P（x，y，z）=P（0，0，0）+（xx+yy+zz）P（0，0，0）+12！xx+yy+zz2P（0，0，0）+…（2）

Q（x，y，z）=Q（0，0，0）+xx+yy+zzQ（0，0，0）+12！xx+yy+zz2Q（0，0，0）+…（3）

R（x，y，z）=R（0，0，0）+xx+yy+zzR（0，0，0）+12！xx+yy+zz2R（0，0，0）+…（4）

將p=x+yi+zj代入（1）式展開，對比各式得到無窮個偏微分方程組，依次求之得an，bn，cn等.

a0=P（0，0，0），b0=Q（0，0，0），c0=R（0，0，0），a1=P（0，0，0）x=Q（0，0，0）y=R（0，0，0）z，b1=Q（0，0，0）x=-P（0，0，0）y，

c1=R（0，0，0）x=-P（0，0，0）z，Q（0，0，0）z=R（0，0，0）y=0，……

復域內(nèi)復變函數(shù)在原點解析的條件是三元數(shù)函數(shù)在原點泛解析Taylor條件的特例.在三元數(shù)函數(shù)論中，函數(shù)可表示成收斂的冪級數(shù)與函數(shù)解析并不等價.

五、三元數(shù)函數(shù)的積分理論

三元數(shù)函數(shù)的積分主要是考慮沿數(shù)空間內(nèi)曲線的積分，曲線應為簡單光滑或逐段光滑的有向曲線，定義∫Cf（p）dp=limn→∞Sn=limn→∞∑nk=1f（ζk）Δpk，如果C為閉曲線，積分方向又為曲線的正方向，則沿此閉曲線的積分又可記作：∮Cf（p）dp，一般地，C上的連續(xù)函數(shù)f（p）在C上可積.

定理5.1（圍道積分公式） 設三元數(shù)函數(shù)f（p）在三維數(shù)空間A3的一個單連通區(qū)域D內(nèi)空間解析，p0是D內(nèi)的任意一點，則

f（p0）=12π（icosφ+jsinφ）∮Cf（p）p-p0dp，其中閉路C為圍住點p0的簡單光滑或逐段光滑的閉曲線，C在D內(nèi)傾角為φ的數(shù)平面pφ上，p0，Cpφ.

證 當點p0不在實軸上時，在傾角為φ的數(shù)平面pφ上作圍道C，據(jù)Cauchy積分公式定理得證，如果點p0恰好位于實軸上，此時通過任意一個數(shù)平面作圍道積分后亦可證得，故定理成立.復域內(nèi)情形是φ=0時的特例.特別地，如取f（p）≡1，則有2π（icosφ+jsinφ）=∮C1p-p0dp，φ=0時即得2πi=∮C1p-p0dp.

注意：如點p0不在實軸上，傾角φ∈-π2，π2，此時點p0能且只能位于唯一的一個數(shù)平面上，只有在這個數(shù)平面上作圍道積分才能求得f（p0），若點p0恰在實軸上，則通過任意一個數(shù)平面作圍道積分均可求得f（p0）.

定理5.2（積分為0定理） 設f（p）是區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如對于D內(nèi)任意一條簡單光滑閉曲線C都有∮Cf（p）dp=0，f（p）=u（x，y，z）+v（x，y，z）i+w（x，y，z）j，p=x+yi+zj，則有

ux=vy=wz，uy=-vx，uz=-wx，vz=wy.

證 ∮Cf（p）dp=∮C（u+vi+wj）（dx+idy+jdz）=∮C（udx-vdy-wdz）+（vdx+udy）i+（wdx+udz）j=0.

據(jù)Green公式與Stokes公式展開后，定理得證.

在復域內(nèi)此定理即成為Morera定理， Morera定理是此定理的特例.但在三維數(shù)空間，一般地，積分為0與函數(shù)解析并不等價.單連通區(qū)域D內(nèi)沿閉路積分為0的連續(xù)函數(shù)的積分完全由它的上下限決定，而與所沿的路徑無關，固定一點p0，另一點p在D內(nèi)變動，則變上限積分所確定的函數(shù)F（p）=∫pp0f（ζ）dζ與路徑無關，因而是p的一個單值函數(shù).

六、三元數(shù)函數(shù)的級數(shù)理論

1.三元數(shù)項級數(shù)與三元數(shù)函數(shù)項級數(shù)

定理6.1.1 給定一個三元數(shù)序列pn，其中pn=an+bni+cnj，n∈N，p0=a+bi+cj，則limn→∞pn=p0，當且僅當limn→∞an=a，limn→∞bn=b，limn→∞cn=c（各系數(shù)均為實數(shù)）.

定理6.1.2 三元數(shù)項級數(shù)∑∞n=1pn（pn=an+bni+cnj）收斂的充要條件是實數(shù)項級數(shù)∑∞n=1an，∑∞n=1bn，∑∞n=1cn同時收斂.

定理6.1.3 三元數(shù)項級數(shù)∑∞n=1pn收斂的必要條件是limn→∞pn=0.

定理6.1.4 絕對收斂的三元數(shù)項級數(shù)其本身一定收斂.

定理6.1.5 若三元數(shù)函數(shù)均定義在集合D上，并且有不等式fn（p）≤Mn，n∈N，正項級數(shù)∑∞n=1Mn收斂，則函數(shù)項級數(shù)∑∞n=1fn（p）在D上一致收斂.

定理6.1.6 若fn（p）在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，級數(shù)∑∞n=1fn（p）在D內(nèi)一致收斂于和函數(shù)s（p），則s（p）在D內(nèi)處處連續(xù).

定理6.1.7 若fn（p）均在光滑或逐段光滑的曲線C上連續(xù)，級數(shù)∑∞n=1fn（p）在C上一致收斂于函數(shù)s（p），則s（p）在C上可積，并且有∫Cs（p）dp=∑∞n=1∫Cfn（p）dp.

定理6.1.8若fn（p）均在區(qū)域D內(nèi)解析，并且∑∞n=1fn（p）在D內(nèi)一致收斂于和函數(shù)s（p），則s（p）在D內(nèi)解析，并且有s′（p）=∑∞n=1f′n（p），p∈D.

2. 冪級數(shù)

實系數(shù)處處收斂的冪級數(shù)在所有的數(shù)平面上解析，屬于空間解析，非實數(shù)的復系數(shù)的處處收斂的冪級數(shù)僅在復平面上解析，屬于平面解析，當然還存在一般三元數(shù)系數(shù)的處處收斂的冪級數(shù)，屬于泛解析.

定理6.2 給定冪級數(shù)（1），如果極限limn→∞n|an|=ρ，limn→∞n|an0|=ρ0，則當p<1ρ=R時，級數(shù)收斂;當p>1ρ0=R0時，級數(shù)發(fā)散.∑∞n=0anpn=a0+a1p+a2p2+…+anpn+…（n∈N，p∈A3） （1）.

證 據(jù)三元數(shù)的模律定理an0·pn≤anpn≤an.pn，由于p<1ρ=R時，ρp<1，級數(shù)（1）的各項取絕對值后所構(gòu)成的冪級數(shù)（2）收斂，所以級數(shù)（1）也收斂;當p>1ρ0=R0時，ρ0p>1，1

∑∞n=0an·pn=a0+a1·p+a2·p2+…+an·pn+…（n∈N，p∈A3） （2）.

在三元數(shù)理論中，一般地，anpn≠anpn0·pnpn0，所以僅根據(jù)冪級數(shù)在p0（≠0）點收斂，并不能判定級數(shù)在以原點為中心、p0為半徑的球內(nèi)收斂，此時仍需根據(jù)定理6.2來判定級數(shù)的收斂區(qū)域.當然也可能級數(shù)的一般項只有l(wèi)imn→∞n|an|=ρ成立，此時一般就只能判定級數(shù)在p<1ρ=R時收斂.

3.Laurent級數(shù)

定義6.3 在球帶區(qū)域D內(nèi)（R1

∑+∞n=-∞an（p-p0）n（1），令ζ=1p-p0把（1）分成兩部分∑+∞n=0an（p-p0）n+∑+∞n=1a-nζn，前一級數(shù)p-p0R1時收斂，如恰好R1

七、四個定義、兩個猜想與結(jié)論

定義7.1 如果泛解析三元數(shù)函數(shù)f（p）在p點的值不存在，則稱p為函數(shù)f（p）的奇點.

定義7.2 如果在點p的某一空心鄰域內(nèi)f（p）有界，則稱p為函數(shù)的可去奇點.

定義7.3 如果在點p的某一空心鄰域內(nèi)當自變量趨于點p時，f（p）趨于無窮，則稱p為函數(shù)的極點.

定義7.4 如果在點p的某一空心鄰域內(nèi)f（p）可趨于任意三元數(shù)（包括無窮），則稱p為函數(shù)的本性奇點.

猜想7.1（單位球猜想） 對于三維數(shù)空間內(nèi)任一邊界不止一點的單連通區(qū)域，必存在收斂的冪級數(shù)將其一對一映照到單位球內(nèi)部.

猜想7.2（例外值猜想） 超越整函數(shù)f（p）至多有一個點或半個圓的例外值（點是半個圓半徑趨于0時的極限），否則方程f（p）=q在三維數(shù)空間總有無窮多個根.

f（p）=a0+a1p+…+anpn+…（an，p，q∈A3，m，n∈N），limn→∞n|an|=0，an=an0+an1i+an2j，n≥m時，an0≠0.

在復變函數(shù)論中，單連通域內(nèi)連續(xù)函數(shù)沿閉路積分為0與函數(shù)解析等價，函數(shù)在圓盤區(qū)域內(nèi)或圓環(huán)區(qū)域內(nèi)存在處處收斂的冪級數(shù)表示與函數(shù)解析等價，然而在三元數(shù)函數(shù)論中，函數(shù)存在冪級數(shù)表示不一定解析，解析只是函數(shù)存在冪級數(shù)表示的特例.Weierstrass通過冪級數(shù)來構(gòu)建函數(shù)論的方法某種意義上更為基本，這種形而上學的形式化定義既適用于結(jié)合代數(shù)，也適用于非結(jié)合代數(shù)，即使在傳統(tǒng)解析與積分理論不再成立的地方，冪級數(shù)理論仍然適用.

新的三元數(shù)函數(shù)論也提供了很多有趣的問題，比如在三維數(shù)空間解析函數(shù)的零點與奇點就不一定孤立，像f（p）=p2+1（p∈A3）就有一個圓的零點p=icosφ+jsinφ，但如果固定φ值將數(shù)空間依數(shù)平面分開，則每一個數(shù)平面上函數(shù)有且僅有兩個孤立的零點.又如在復變函數(shù)中經(jīng)常提到的在單位圓內(nèi)收斂的冪級數(shù)f（p）=11+p2=1-p2+p4-p6+…（p∈A3），一般教材都是告訴讀者因為在單位圓的圓周上出現(xiàn)了兩個極點i與-i，函數(shù)在這兩點變?yōu)闊o窮，因而導致了函數(shù)的收斂域只能在單位圓內(nèi)，不過如果從三元數(shù)函數(shù)論的觀點來看，導致函數(shù)收斂區(qū)域只能在單位球內(nèi)的更深刻原因其實是因為在三維數(shù)空間內(nèi)函數(shù)有一個整圓的奇點p=icosφ+jsinφ擋住了冪級數(shù)繼續(xù)延拓的進程.

必須指出：一篇小短文遠不足以闡明三元數(shù)函數(shù)論中的所有問題與研究方向，由于新的理論更多是從連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)而得出了諸多更一般的結(jié)論，因而與拓撲學和幾何學存在著天然緊密的聯(lián)系.同時出于解方程的需要，三元數(shù)函數(shù)論與非線性代數(shù)方程組、微分積分方程理論等也密不可分.在過去幾十年中，復變函數(shù)論中的一些重要結(jié)論逐漸被用拓撲學的方法給出了更為深刻的證明，考慮到連續(xù)函數(shù)是解析函數(shù)的更一般情形，相信隨著三元數(shù)函數(shù)論與數(shù)學中其他分支聯(lián)系的日益加深，新的理論必然會隨著更多新鮮養(yǎng)分的注入而茁壯成長、日臻成熟.

最后指出，只需將三元數(shù)p=r[cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）]的傾角T3=icosφ+jsinφ換成高維數(shù)空間中的傾角Tn=∑nk=1ikcosφk，T∞=∑∞k=1ikcosφk（∑nk=1cos2φk=∑∞k=1cos2φk=1），球坐標三元數(shù)理論可自然推廣至n維數(shù)空間乃至無窮維數(shù)空間而形成廣義球坐標多元數(shù)理論.新的理論具備自我發(fā)展、自我完善的能力充分證明：好的數(shù)學對象自有其不朽的生命與靈魂.一方面Cauchy是幸運的，因為只有一種復變函數(shù)理論，恰巧被Cauchy發(fā)現(xiàn)了;另一方面我們則更加幸運，因為Cauchy的發(fā)現(xiàn)并非全部，在復變函數(shù)理論之上，實際還存在著更為優(yōu)美和諧的三元數(shù)函數(shù)論以及多元數(shù)函數(shù)論.科學研究需要敢于創(chuàng)新，創(chuàng)新是科學的本質(zhì)與靈魂.只有不斷突破前人勇于創(chuàng)新，科學才能不斷進步和發(fā)展.前人的理論固然偉大，但后人的成就終將會超越前人，立德立言、求美求真，在探索科學的道路上，總有更偉大的理論在等待著后人.

八、致 謝

2006年《超越復數(shù)的三元數(shù)》在武漢湖北大學全國第六屆初數(shù)會上公開宣讀獲二等獎，由于曲阜師大李吉寶教授慧眼識珠，球坐標三元數(shù)理論2009年首先在《中學數(shù)學雜志》公開發(fā)表，2010年哈爾濱工業(yè)大學韓彥偉在獲得國家自然科學基金資助的論文《一種三元數(shù)的新定義》中首先引用了《超越復數(shù)的三元數(shù)》， 2011年北航全國大學生數(shù)學競賽的獲獎者蔣正好將球坐標三元數(shù)編入了其參加北航第二十一屆“馮如杯”競賽的論文《幾種三元數(shù)系的比較及其代數(shù)和分析初步》，蔣正好肯定了球坐標三元數(shù)理論的價值，并作了進一步的研究.人民教育出版社課程教材研究所網(wǎng)站很快全文轉(zhuǎn)載了《超越復數(shù)的三元數(shù)》《超越復數(shù)的多元數(shù)》《代數(shù)基本定理在高維數(shù)空間之證明》，新理論借助人教網(wǎng)得到了快速傳播.2012年上海浦東教育發(fā)展研究院周寧醫(yī)主任將球坐標三元數(shù)編入了《高中數(shù)學的探究性課題》，該教輔與華東師大版高中數(shù)學教材配套使用，由上海教育出版社公開發(fā)行，自此球坐標三元數(shù)首先在上海市進入了中學課堂.2014年《三元數(shù)函數(shù)與解析》在合肥師范學院全國第九屆初數(shù)會上公開宣讀獲二等獎.華東理工大學陸元鴻教授在“數(shù)學中國”網(wǎng)站第一個承認了白韓三元數(shù)，認為球坐標三元數(shù)可以看作是復數(shù)的一種推廣，并對其他可能存在的三元數(shù)進行了一般性探討，中國海洋大學常晉德老師曾熱心提供了研究三元數(shù)的重要參考資料，河南城建學院數(shù)理學院屈鵬展教授、全國初數(shù)會常務副理事長吳康教授等多年來鼓勵、支持了新課題的研究.在此謹向所有曾關心、推動了新理論研究、發(fā)展的專家學者們致以誠摯的謝意！