王 堯，李 敏，任艷麗

(1.南京信息工程大學數學與統計學院，江蘇 南京 210044；2.南京曉莊學院信息工程學院，江蘇 南京 211171)

冪級數π-Armendariz環(huán)

王 堯1，李 敏1，任艷麗2

(1.南京信息工程大學數學與統計學院，江蘇 南京 210044；2.南京曉莊學院信息工程學院，江蘇 南京 211171)

引入冪級數π-Armendariz環(huán)的概念，研究了冪級數π-Armendariz環(huán)的擴張，證明了如果環(huán)R是具有冪零有界指數的NI環(huán)，且為α-容許環(huán)，則R[x；α]是冪級數π-Armendariz環(huán).同時討論了冪級數環(huán)的冪零p.p.性和弱zip性.

冪級數環(huán)；冪級數π-Armendariz環(huán)；NI環(huán)；弱zip環(huán)

1 預備知識

本文假定所研究的環(huán)R都是有單位元1的結合環(huán).以R[x]，R[[x]]分別表示R上的多項式環(huán)和R上的冪級數環(huán)；以nil(R)，P(R)，Nil*(R)，L(R)分別表示環(huán)R中所有冪零元的集合、素根、上詣零根和Levitzki根；以Vn(R)表示Dn(R)中矩陣滿足ast=a(s+1)a(t+1)(s=1，…，n-2，t=2，…，n-1)的矩陣子環(huán).一個環(huán)R稱為2-素環(huán)，如果P(R)=nil(R).環(huán)R是2-素環(huán)，當且僅當R/P(R)是約化環(huán).

一個環(huán)R稱為弱2-素環(huán)，如果L(R)=nil(R).一個環(huán)R稱為NI環(huán)，如果Nil*(R)=nil(R).這幾個環(huán)之間的關系是：2-素環(huán)?弱2-素環(huán)?NI環(huán)?詣零冪級數Armendariz.

2 冪級數π-Armendariz環(huán)

顯然冪級數π-Armendariz環(huán)是冪級數弱Armendariz環(huán).

引理2.1[2]如果R是一個詣零冪級數Armendariz環(huán)，則nil(R[[x]])?nil(R)[[x]].

命題2.1 (1) 詣零冪級數Armendariz環(huán)是冪級數π-Armendariz環(huán)；(2) 冪級數π-Armendariz環(huán)的子環(huán)是冪級數π-Armendariz環(huán).

(2) 由冪級數π-Armendariz環(huán)定義知結論成立.

命題2.2 如果R是一個具有冪零有界指數的環(huán)，那么對任意的n≥2，Tn(R)是冪級數π-Armendariz環(huán)，當且僅當環(huán)R是冪級數π-Armendariz環(huán).

證明 因為R是Tn(R)的子環(huán)，所以根據命題2.1(2)知必要性成立.下證充分性.容易驗證Φ：Tn(R)[[x]]→Tn(R[[x]])是典范環(huán)同構.

由F(x)G(x)∈nil(Tn(R)[[x]])可得Φ(F(x))Φ(G(x))∈nil(Tn(R)[[x]]).注意到

推論2.1 設R是一個具有冪零有界指數的冪級數π-Armendariz環(huán)，則對n≥2，下列結論成立：

(1)Dn(R)是冪級數π-Armendariz環(huán)；

(2)Vn(R)是冪級數π-Armendariz環(huán)；

(3)R(x)/(xn)是冪級數π-Armendariz環(huán).

證明Dn(R)是Tn(R)的子環(huán)，Vn(R)是Dn(R)的子環(huán)，且R(x)/(xn)?Vn(R)環(huán)，由命題2.1(2)知結論成立.

根據命題2.2不禁猜測：環(huán)R上的n階全矩陣環(huán)Mn(R)是冪級數π-Armendariz環(huán)(n≥2).但是下面的例子給出了否定回答.

命題2.3 如果R是一個具有冪零有界指數的冪級數π-Armendariz環(huán)，則T(R，R)是冪級數π-Armendariz環(huán).

一個環(huán)稱為詣零半交換環(huán)[7]，如果對a，b∈R，由ab∈nil(R)可以推出aRb∈nil(R).

命題2.4 冪級數π-Armendariz環(huán)是詣零半交換環(huán).

3 冪級數π-Armendariz環(huán)更多的例子

命題3.1 設R是一個環(huán)，I是R的一個詣零理想.如果R/I是冪級數π-Armendariz環(huán)，則R是冪級數π-Armendariz環(huán).

定理3.1中的“所有Rα的冪零有界指數有上界N”的條件是不能去掉的，文獻[8]的例2.7給出了去掉該條件時的反例.

推論3.1 設R是一個環(huán)，e∈R是中心冪等元.如果eR和(1-e)R是冪級數π-Armendariz環(huán)，則R是冪級數π-Armendariz環(huán).

證明 因為e∈R是中心冪等元，并且R=eR?(1-e)R，所以由定理3.1知結論成立.

定理3.2 設Δ是有限環(huán)R中的由中心正則元構成的乘法封閉子集，則Δ-1R是冪級數π-Armendariz環(huán)，當且僅當R是冪級數π-Armendariz環(huán).

故f(x)g(x)∈nil(R[[x]]).

由于R是冪級數π-Armendariz環(huán)，所以aibj∈nil(R)(?i，j)，從而αiβj=(uv)-1aibj∈nil(Δ-1R)，Δ-1R是冪級數π-Armendariz環(huán).

必要性.因為R是Δ-1R的子環(huán)，據命題2.1(2)知結論成立.

引理3.1 如果R是一個具有冪零有界指數的NI環(huán)，則nil(R[[x]])=nil(R)[[x]].

證明 如果環(huán)R是一個具有冪零有界指數的NI環(huán)，則nil(R)是一個具有冪零有界指數的詣零環(huán).根據文獻[3]知nil(R)[[x]]是詣零的，因此nil(R[[x]])?nil(R)[[x]].又由引理2.1知nil(R[[x]])?nil(R)[[x]]，故nil(R[[x]])=nil(R)[[x]].

命題3.2 如果R是一個具有冪零有界指數的NI環(huán)，則R[[x]]是詣零半交換環(huán).

命題3.3 如果R是有限環(huán)，則R[x]是冪級數π-Armendariz環(huán)，當且僅當R[x；x-1]是冪級數π-Armendariz環(huán).

證明 令Δ={1，x，x2，…}，則Δ是環(huán)R[x]中的乘法封閉子集.因為R[x；x-1]=Δ-1R[x]，所以根據定理3.2知結論成立.

引理3.2 如果環(huán)R是α-容許環(huán)，則對任意的a，b∈R，ab∈nil(R)當且僅當aαk(b)∈nil(R)，其中k為任意正整數.

證明 由文獻[9]之引理2.8即知充分性成立.

必要性.只需證明aα(b)∈nil(R)即可.因為ab∈nil(R)，所以存在正整數n使得(ab)n=0.因為環(huán)R是α-容許環(huán)，所以aα(bab…ab)=0，aα(b)α(ab…ab)=0，從而aα(b)ab…ab=0.由aα(b)aα(b…ab)=0可得aα(b)aα(b)ab…ab=0.重復利用R是α-容許環(huán)的性質可得(aα(b))n=0，故有aα(b)∈nil(R)，aαk(b)∈nil(R).

定理3.3 設R是α-容許環(huán)的NI環(huán).如果環(huán)R是具有冪零有界指數的NI環(huán)，則R[x；α]是冪級數π-Armendariz環(huán).

U(x)=f0+f1xk1+f2xk2+…+fnxkn+…∈R[[x；α]]，

V(x)=g0+g1xk1+g2xk2+…+gnxkn+…∈R[[x；α]].

從而

U(x)=a00+a01x+a02x2+…+a0txt+a10xk1+a11xk1+1+a12xk1+2+…+
a1txk1+t+…+an0xkn+an1xkn+1+an2xkn+2+…+antxkn+t+…∈R[[x；α]]，

V(x)=b00+b01x+b02x2+…+b0hxh+b10xh1+b11xk1+1+b12xk1+2+…+
b1hxk1+h+…+bn0xkn+bn1xkn+1+bn2xkn+2+…+anhxkn+h+…∈R[[x；α]].

由kn的取法知U(x)是包含所有fi系數的冪級數，V(x)是包含gi系數的冪級數.因為F(y)G(y)∈nil(R[x；α][[y]])，所以U(x)V(x)∈nil(R[x；α]).R是α-容許環(huán)和NI環(huán)，從而由文獻[2]和命題3.4知aisαis∈nil(R).又由引理3.3知fi(x)gi(x)∈nil(R[x；α])，所以R[x；α]是冪級數π-Armendariz環(huán).

推論3.2 如果環(huán)R是一個具有冪零有界指數的NI環(huán)，則R[x]是冪級數π-Armendariz環(huán).

4 冪級數環(huán)的冪零p.p.性和弱zip性

對于環(huán)R的任一非空子集X，稱NrR(X)={r∈R|Xr∈nil(R)}為X在環(huán)R中的弱零化子.稱一個環(huán)R為冪零p.p.環(huán)，對任意的p?nil(R)，如果NrR(p)(作為右理想)是由一個冪零元生成的.稱一個環(huán)R是弱zip環(huán)，對于環(huán)R的任一非空子集X?R，如果NrR(X)?nil(R)，則一定存在一個有限子集Y?X，使得NrR(Y)?nil(R).稱一個環(huán)R是左弱zip環(huán)，對于環(huán)R的任一非空子集L?R，如果NrR(L)?nil(R)，則一定存在一個有限子集H?L，使得NrR(H)?nil(R).如果環(huán)R既是右弱zip環(huán)又是左弱zip環(huán)，則稱環(huán)R為弱zip環(huán).

命題4.1 設R是具有冪零有界指數的NI環(huán).如果環(huán)R是一個冪零p.p.環(huán)，則R[[x]]是一個冪零p.p.環(huán).

證明 任取F=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…?nil(R[[x]])，對任意的G=b0+b1x+b2x2+…+bmxm+…∈NrR[[x]](F)，則有FG?nil(R[[x]]).由引理3.1知FG?nil(R)[[x]]且環(huán)R為NI環(huán)，故由文獻[2]之定理1，對任意的i，j，aibj∈nil(R).因為F?nil(R[[x]])=nil(R)[[x]]，所以存在i使得ai?nil(R).再由環(huán)R是p.p.環(huán)，存在c∈nil(R)使得NrR(ai)=cR.下面證明NrR[[x]](F)=cR[[x]].任取H=c0+c1x+c2x2+…+cpxp+…?R[[x]]，因為c∈nil(R)且NI環(huán)的nil(R)是環(huán)R的一個理想，故對任意的i，j，aiccj∈nil(R)，即FcH∈nil(R)[[x]]=nil(R[[x]])，從而證明了cR[[x]]∈NrR[[x]](F).另一方面，因為bj∈NrR(ai)=cR，存在rj∈R使得bj=crj.又由G=b0+b1x+b2x2+…+bmxm+…∈NrR[[x]](F)，所以G=cr0+cr1x+cr2x2+…+crmxm+…=c(r0+r1x+r2x2+…+rmxm+…)∈cR[[x]]，即NrR[[x]](F)?cR[[x]].故NrR[[x]](F)=cR[[x]]，其中c∈nil([[R]]).

命題4.2 設R是具有冪零有界指數的NI環(huán)，則環(huán)R是一個弱zip環(huán)，當且僅當R[[x]]是一個弱zip環(huán).

證明 必要性.假設環(huán)R是一個zip環(huán)，任取R[[x]]的一個非空子集X且滿足NrR[[x]](F)?nil(R[[x]])，令Y表示X中所有元素的系數構成的集合.如果r∈NrR(Y)，則對任意的y∈Y，都有yr∈nil(R)，從而對任意的F=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…∈X，air∈nil(R).由引理3.1知Fr∈nil(R[[x]])，r∈NrR[[x]](X)?nil(R[[x]]).這就證明了r∈nil(R)，從而NrR(Y)?nil(R).因為環(huán)R是一個弱zip環(huán)，存在一個有限子集Y0?Y使得NrR(Y0)?nil(R).?a∈Y0，存在Fa∈X使得Fa的某個系數為a.令X0是對任意的a∈Y0且滿足Fa∈X0的X的極小子集，則X0是X的一個有限子集.設Y1表示X0中所有元素系數構成的集合，則Y0?Y1，進而NrR(Y1)?NrR(Y0)?nil(R).如果G=b0+b1x+b2x2+…+bmxm+…∈NrR[[x]](X0)，則對任意的F=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…∈X，FG∈nil(R[[x]])，再由引理3.1知FG∈nil(R)[[x]].因為環(huán)R為NI環(huán)，由文獻[2]之定理1知aibj∈nil(R)，?i，j.對任意的j，bj∈NrR(Y1)?nil(R)，從而由引理3.1知nil(R)[[x]]=nil(R[[x]])，故G∈nil(R[[x]])，即NrR[[x]](X0)?nil(R[[x]]).因此R[[x]]是一個弱zip環(huán).

充分性.假設R[[x]]是一個弱zip環(huán)，任取環(huán)R的非空子集Y?R并滿足NrR(Y)∈nil(R).如果F=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…∈NrR[[x]](Y)，則對任意的y∈Y，yF=ya0+ya1x+ya2x2+…+yanxn+…∈nil(R[[x]])，再由引理3.1知yF∈nil(R)[[x]].因為環(huán)R為NI環(huán)，由文獻[2]知yai∈nil(R)，即ai∈NrR(Y).因此對任意的i，ai∈nil(R)，故F∈nil(R[[x]])，從而NrR[[x]](Y)?nil(R[[x]]).因為R[[x]]是一個弱zip環(huán)，存在一個有限子集Y0?Y1使得NrR[[x]](Y0)∈nil(R[[x]])，從而NrR(Y0)=NrR[[x]](Y0)∩R?nil(R)，故R是一個弱zip環(huán).

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[10] SZASA F A.Radicals of rings [M].New York：John Wiley and Sons，1981：18-193.

(責任編輯：李亞軍)

Power seriesπ-Armendariz rings

WANG Yao1，LI Min1，REN Yan-li2

(1.School of Mathematics and Statistics，Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing 210044，China；2.School of Information Engineering，Nanjing Xiaozhuang University，Nanjing 211171，China)

The concept of a power seriesπ-Armendariz ring is proposed.The extensions ofπ-Armendariz rings are studied which shows that ifRis of bounded index，an NI ring andα-compatible，thenR[x；α] isπ-Armendariz.Meanwhile，the nilpotent p.p. property and weak zip property of a power series ring are given.

power series ring；power seriesπ-Armendariz ring；NI ring；weak zip ring

1000-1832(2017)02-0015-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.004

2015-12-11

國家自然科學基金資助項目(11071097)；江蘇省自然科學基金資助項目(BK20141476).

王堯(1962—)，男，博士，教授，主要從事環(huán)論研究；通信作者：任艷麗(1965—)，女，碩士，教授，主要從事環(huán)論研究.

O 153.3 [學科代碼] 110·2104

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