王 洋，張四保

(1.四川交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部，四川 成都 611130；2.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844008)

一個(gè)帶有復(fù)合Euler函數(shù)方程的正整數(shù)解

王 洋1，張四保2

(1.四川交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部，四川 成都 611130；2.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844008)

設(shè)φ(n)為Euler函數(shù)，探討了帶有復(fù)合歐拉函數(shù)的方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=2正整數(shù)解的問題，利用初等方法給出了其所有的正整數(shù)解.

Euler函數(shù)；正整數(shù)解；初等方法

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)n為正整數(shù)，φ(n)為Euler函數(shù)[1]，φ(n)在正整數(shù)n上的值為不超過n且與n互素的正整數(shù)個(gè)數(shù).Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論中的一個(gè)重要函數(shù)，它與著名的Smarandache函數(shù)有著莫大的關(guān)系，眾多學(xué)者對(duì)與之相關(guān)的方程進(jìn)行了大量研究.[2-7]

對(duì)于帶有復(fù)合歐拉函數(shù)方程正整數(shù)解的研究可參見文獻(xiàn)[8-11].本文討論帶有復(fù)合歐拉函數(shù)的方程

φ(φ(n-φ(φ(n))))=2

(1)

的正整數(shù)解問題，并通過初等方法給出其所有的正整數(shù)解.

引理1[12]方程φ(x)=2P的正整數(shù)解x為：當(dāng)P=1時(shí)，x=3，4，6；當(dāng)P=2時(shí)，x=5，8，10，12；當(dāng)P=3時(shí)，x=7，9，14，18.

引理2[13]若n為大于等于2的整數(shù)，則φ(n)

2 主要結(jié)論及證明

定理1 方程(1)的所有正整數(shù)解為n=6，7，9，10，11，12，13，14，16，17，22.

證明 由引理1可知φ(x)=2的所有正整數(shù)解為x=3，4，6，從而方程(1)為φ(n-φ(φ(n)))=3，4，6.再由引理2可知，φ(n-φ(φ(n)))=4，6.

由引理1可知：當(dāng)φ(n-φ(φ(n)))=4時(shí)，n-φ(φ(n))=5，8，10，12；當(dāng)φ(n-φ(φ(n)))=6時(shí)，n-φ(φ(n))=7，9，14，18.由此可將n-φ(φ(n))的值分為n-φ(φ(n))=5，7，9與n-φ(φ(n))=8，10，12，14，18這兩種情形.

情形1n-φ(φ(n))=5，7，9.

即

情形1.1β1≠0，βi=0，i=2，3，…，t.

情形1.1.1β1=1.

當(dāng)αj=0(j=1，2，…，k)時(shí)，q1-1=2γ，從而 2γ-φ(2γ)=4，6，8.因而2γ-1=4，6，8，γ=3，4.此時(shí)，n=9，17是方程(1)的二個(gè)正整數(shù)解.

當(dāng)αj(j=1，2，…，k)中至少有1個(gè)滿足αj≠0時(shí)，有

(2)

此時(shí)，α1=1，αj=0，j=2，3，…，k；p1=3；q1-1=6.從而n=7是方程(1)的正整數(shù)解.

有

由于2p1p2…pk-(p1-1)(p2-1)…(pk-1)>(p1-1)(p2-1)…(pk-1)≥2，因而方程(1)無正整數(shù)解.

情形1.1.2β1≥2.

情形1.2β1≠0，β2≠0，βi=0，i=3，4，…，t.

情形1.2.1β1=1，β2=1.

此時(shí)，q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=5，7，9.注意到

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>8，

因而只討論q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=9的情形.

事實(shí)上，當(dāng)q1=3，q2=5時(shí)，q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=9不成立；當(dāng)q1=3，q2>5時(shí)，

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>9；

當(dāng)q1≥5，q2≥7時(shí)，

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>9.

故此時(shí)方程(1)無正整數(shù)解.

情形1.2.2β1，β2中至少有一個(gè)大于等于2.

類似于情形1.2.1的討論可知此時(shí)方程(1)無正整數(shù)解.

情形1.3βi中有三個(gè)或者三個(gè)以上不等于0.

類似于情形1.2.1的討論可知此時(shí)方程(1)無正整數(shù)解.

情形2n-φ(φ(n))=8，10，12，14，18.

當(dāng)βi=0(i=1，2，…，t)時(shí)，2δ-φ(2δ-1)=8，10，12，14，18.顯然此時(shí)δ≥4，進(jìn)而有2δ-2×3=8，10，12，14，18.此時(shí)只有2δ-2×3=12有正整數(shù)解δ=4，故n=24=16是方程(1)的正整數(shù)解.同時(shí)可知當(dāng)δ≥5時(shí)，方程(1)無正整數(shù)解.因而，在討論至少存在某個(gè)βi≠0時(shí)δ的情形時(shí)，只需考慮1≤δ≤4.

情形2.1δ=1.

此時(shí)，

(3)

情形2.1.1β1≠0，βi=0，i=2，3，…，t.

此時(shí)，由(3)式有

(4)

當(dāng)β1=1時(shí)，由(4)式可知 2q1-φ(q1-1)=8，10，12，14，18.當(dāng)q1=5時(shí)，2q1-φ(q1-1)=8，即n=2×5=10是方程(1)的正整數(shù)解；當(dāng)q1=7時(shí)，2q1-φ(q1-1)=12，即n=2×7=14是方程(1)的正整數(shù)解；當(dāng)q1=11時(shí)，2q1-φ(q1-1)=18，即n=2×11=22是方程(1)的正整數(shù)解；當(dāng)q1=13時(shí)，2q1-φ(q1-1)=8，10，12，14，18均不成立；當(dāng)q1≥17時(shí)，2q1-φ(q1-1)=(q1-1)-φ(q1-1)+(q1+1)>18，因而此時(shí)方程(1)無正整數(shù)解.

情形2.1.2β1≠0，β2≠0，βi=0，i=3，4，…，t.

此時(shí)，

(5)

當(dāng)β1=1，β2=1時(shí)，由(5)式有 2q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=8，10，12，14，18.由于

2q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=2(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+2q1+2q2-2=

(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+2q1+2q2-2+(q1-1)(q2-1)>18，

因而此時(shí)方程(1)無正整數(shù)解.并由該情形的討論可知，當(dāng)βi(i=1，2，…，t)中有多于兩個(gè)不等于0時(shí)，方程(1)亦無正整數(shù)解.

故此時(shí)方程(1)無正整數(shù)解.并由該情形的討論可知，當(dāng)β1，β2中至少有一個(gè)大于等于2時(shí)，方程(1)亦無正整數(shù)解.

仿照t=1情形的討論可得：當(dāng)t=2時(shí)，n=22×3=12是方程(1)的正整數(shù)解；當(dāng)t=3與t=4時(shí)，方程(1)無正整數(shù)解.

綜合以上討論，即得定理1結(jié)論.

[1] 閔嗣鶴，嚴(yán)仕健.初等數(shù)論[M].第三版.北京：高等教育出版社，2003：58.

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[12] 姜友誼.關(guān)于Euler 函數(shù)方程φ(x)=m的解[J].重慶工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報(bào)，1998，12(5)：91-94.

[13] ROSEN K H.Elementary number theory and its applications[M].5th ed.London：Addison Wesley，2005：225.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Positive integer solutions of an equation involving compound Euler function

WANG Yang1，ZHANG Si-bao2

(1.Department of Public Teaching，Sichuan Vocational and Technical College of Communications，Chengdu 611130，China；2.School of Mathematics and Statistics，Kashgar University，Kashgar 844008，China)

Letφ(n) be Euler function.The problem of positive integer solutions of an equation involving compound Euler functionφ(φ(n-φ(φ(n))))=2 is studied.All the positive integer solutions of it are given by using elementary method.

Euler function；positive integer solutions；elementary method

1000-1832(2017)02-0021-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.005

2015-09-27

新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016D01A014).

王洋(1985—)，男，博士，講師，主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)研究；通信作者：張四保(1978—)，男，碩士，副教授，主要從事數(shù)論研究.

O 156 [學(xué)科代碼] 110·17

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