王宴濱，高德利，房 軍

(中國石油大學(xué)石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249)

對(duì)于直井段套管－水泥環(huán)－地層組合系統(tǒng)的受力特性問題已做過大量的研究，為正確認(rèn)識(shí)套損問題提供了豐富的依據(jù)［1-5］，然而實(shí)際情況中存在著大量的斜直井段，理論上的直井在實(shí)際中也不可能是絕對(duì)的垂直井，總存在一定的井斜角［6］，因此將直井段得出的規(guī)律應(yīng)用在斜井段時(shí)受到了限制。筆者采用坐標(biāo)變換的方法從理論上研究斜直井條件下套管－水泥環(huán)－地層組合系統(tǒng)的受力特性，以得到斜井段下套管的外擠力分布，為正確認(rèn)識(shí)斜井段套管的損壞問題及采取合理的預(yù)防套損措施提供參考。

1 應(yīng)力張量的坐標(biāo)變換與分解

1.1 應(yīng)力張量的坐標(biāo)變換

在油田地應(yīng)力分析中，通常將地應(yīng)力用3個(gè)主應(yīng)力表示，即上覆巖層壓力σv、最大水平主應(yīng)力σH和最小水平主應(yīng)力σh。σv的方向?yàn)樨Q直向下，而σH和σh在不同的地域方向不同，且通常使用井壁崩落法、巖心差應(yīng)變?cè)囼?yàn)、水力壓裂法等方法進(jìn)行測量［7-8］。

選擇初始坐標(biāo)系(X，Y，Z)分別與主地應(yīng)力σH、σh和 σv方向相反，并建立直角坐標(biāo)系(x1，y1，z1)、(x，y，z)和(r，θ，z)，其中 oz軸對(duì)應(yīng)于井眼軸線方向，ox和oy位于與井眼垂直的平面內(nèi)，如圖1所示。

圖1 斜井-直井井軸坐標(biāo)變換圖Fig.1 Coordinate transformation of inclined-vertical well shaft

為了建立(x，y，z)坐標(biāo)系與(X，Y，Z)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將(X，Y，Z)坐標(biāo)系按以下方式［7-8］旋轉(zhuǎn):

(1)先將坐標(biāo)系(X，Y，Z)以Z為軸，按右手定則旋轉(zhuǎn)角度α，變?yōu)?x1，y1，z1)坐標(biāo)系。α為井斜方位角，指井眼軸線在水平面上的投影與正北方向的夾角。

(2)再將坐標(biāo)系(x1，y1，z1)以 y1為軸，按右手定則旋轉(zhuǎn)角度β，變?yōu)?x，y，z)坐標(biāo)系。β為井斜角，指井眼軸線與鉛垂線之間的夾角。

則坐標(biāo)系(x，y，z)與初始坐標(biāo)系(X，Y，Z)之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

則新坐標(biāo)系下的地應(yīng)力張量與原地應(yīng)力之間的關(guān)系為

1.2 應(yīng)力張量的分解

地層中一定深處的套管，其縱向變形受到限制，如不考慮外載(地應(yīng)力)沿縱向的變化可將此問題處理成平面應(yīng)變問題加以分析［3］，如圖2所示。因此可以忽略應(yīng)力張量σ沿z軸方向的分量，得新的應(yīng)力張量T，即

并將T作如下分解:

分別令

圖2 套管-水泥環(huán)-地層系統(tǒng)平面應(yīng)變分析模型Fig.2 Plane strain analysis model of casing-cement ring-formation

對(duì)于T1，分析方法與垂直井眼在水平主應(yīng)力作用下的分析相同，具體推導(dǎo)見文獻(xiàn)［3］。

對(duì)于T2，轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系下的應(yīng)力表達(dá)式為

式(6)與垂直井下的表達(dá)式不同，因此須以此應(yīng)力張量為邊界條件對(duì)系統(tǒng)受力進(jìn)行新的分析計(jì)算。

在得到T1和T2兩個(gè)應(yīng)力邊界條件下的套管的外擠特性之后，將其疊加即可得斜直井地層－水泥環(huán)－套管系統(tǒng)在原場地應(yīng)力下的套管外擠力。

2 套管外擠力響應(yīng)

2.1 系統(tǒng)在T1下的套管外擠力響應(yīng)

系統(tǒng)在T1應(yīng)力下的外擠力響應(yīng)與垂直井在兩向水平主應(yīng)力作用下的分析相同，參見文獻(xiàn)［3］。

2.2 系統(tǒng)在T2下的套管外擠力響應(yīng)

考慮到地層遠(yuǎn)場應(yīng)力的邊界條件(σr=σxysin(2θ))的形式，取應(yīng)力函數(shù)形式為

式中，φ應(yīng)滿足應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，因此待定函數(shù)f(r)應(yīng)滿足

式(8)為一個(gè)四階歐拉常微分方程，其通解為

即

將式(10)代入極坐標(biāo)系下基本方程，并分別以下標(biāo)i=1，2，3表示套管、水泥環(huán)、地層，可得到系統(tǒng)在T2下的套管外擠力表達(dá)式為

式(11)中共有12個(gè)未知參數(shù)，需要12個(gè)方程才能求解。其中應(yīng)力邊界條件和連續(xù)條件與T1類似，可得6個(gè)方程［3］，唯一不同在于地層外邊界上的應(yīng)力邊界條件:

將上述8個(gè)應(yīng)力邊界條件代入式(11)可以得到8個(gè)方程，另外4個(gè)位移連續(xù)條件需要經(jīng)過位移分析后由位移連續(xù)條件確定。經(jīng)位移分析之后，得到在T2應(yīng)力場作用下系統(tǒng)的位移方程可表述為

聯(lián)立各應(yīng)力邊界與連續(xù)條件以及位移連續(xù)條件可得到12個(gè)方程，能夠唯一確定式(11)中的12個(gè)未知量。

方程的矩陣形式為

其中

A是與系統(tǒng)各力學(xué)參數(shù)及幾何參數(shù)有關(guān)的物理量，求解式(14)得到系數(shù)X，將得到的計(jì)算系數(shù)代入式(11)即可得到系統(tǒng)在應(yīng)力場T2下的應(yīng)力分布。

3 算例分析

參考某油田1.0 km深處地層情況的計(jì)算結(jié)果［3，11］。具體參數(shù)為:套管直徑 139.7 mm，壁厚7.72 mm，水泥環(huán)厚度50 mm;地層計(jì)算厚度取3.0 m;力學(xué)參數(shù)取 E1=2.1 ×105MPa，μ1=0.25，E2=1.1 ×104MPa，μ2=0.25，E3=2.8 × 104MPa，μ3=0.30，方位角30°。計(jì)算的地層3個(gè)主應(yīng)力間的關(guān)系見表1。

表1 3種條件下地層主應(yīng)力Table 1 Three cases of formation principal stress

以井斜角30°為例，得到的地層1條件下套管－水泥環(huán)及水泥環(huán)－地層兩接觸表面的接觸應(yīng)力如圖3所示，為了計(jì)算不同井斜角對(duì)套管－水泥環(huán)表面接觸應(yīng)力的影響，在其余條件不變的情況下，將井斜角由0°逐漸增加到90°，即在井由直井逐漸變化到水平井過程中，得到的3種地層條件下套管－水泥環(huán)表面的接觸應(yīng)力與井斜角的關(guān)系分別如圖4所示。

圖3 地層1條件下兩接觸表面的應(yīng)力分布Fig.3 Stress distribution of two contact surfaces in formation 1

從圖3中可以看出，本算例中在地層1條件下套管－水泥環(huán)界面與水泥環(huán)－地層界面的接觸應(yīng)力均呈橢圓形分布，并且前者應(yīng)力分布的非均勻性要大，對(duì)套管的安全不利，兩者的應(yīng)力幅值出現(xiàn)的相位差約為50°。

從圖4可以看出，本算例中3種地層條件下的套管－水泥環(huán)界面接觸應(yīng)力分布規(guī)律各不相同，原因在于3種地層條件下地層3個(gè)主應(yīng)力間的關(guān)系不同。地層1與地層3條件下井斜角從0°變化到90°時(shí)，套管外表面徑向應(yīng)力的非均勻性逐漸減小，套管的抗外擠能力逐漸增強(qiáng)，即在這種地層條件下水平井的套管抗外擠能力要大于同等條件下直井的套管抗外擠能力;地層2條件下，井斜角從0°變化到90°時(shí)，套管外表面徑向應(yīng)力的非均勻性逐漸增大，套管的抗外擠能力逐漸降低，即在這種地層條件下水平井的套管抗外擠能力要小于同等條件下直井的套管抗外擠能力。

圖4 套管-水泥環(huán)界面應(yīng)力隨井斜角的變化Fig.4 Variation of stress distribution on casing-cement surface with inclined angle

4 結(jié)論

(1)通過坐標(biāo)變換將地層的3個(gè)主應(yīng)力變換到斜直井軸線方向與垂直于井眼軸向的平面所確定的坐標(biāo)系上，可用來分析斜井條件下套管－水泥環(huán)－地層組合系統(tǒng)的受力特性。

(2)地層3個(gè)主應(yīng)力大小關(guān)系不同時(shí)得到的斜直井下套管－水泥環(huán)界面的徑向接觸應(yīng)力隨井斜角的變化規(guī)律不同，在某些地層下水平井的套管抗外擠能力要大于同等條件下直井的套管抗外擠能力，而在另一些地層下直井的套管抗外擠能力要大于同等條件下水平井的套管抗外擠能力。

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