張增平，張福學，張 偉，劉 宇，張 寧

（北京信息科技大學 傳感技術研究中心，北京 100101）

無驅(qū)動微機械陀螺敏感元件模態(tài)分析

張增平，張福學，張 偉，劉 宇，張 寧

（北京信息科技大學 傳感技術研究中心，北京 100101）

鑒于常規(guī)微機械陀螺的驅(qū)動結(jié)構(gòu)和檢測結(jié)構(gòu)往往需要進行頻率匹配，造成帶寬較窄，工藝復雜的問題，設計了一種新的微機械陀螺，安裝于旋轉(zhuǎn)飛行器上，利用飛行器的旋轉(zhuǎn)獲得角動量，敏感飛行器的偏航和俯仰橫向角速度。由于沒有驅(qū)動結(jié)構(gòu)，所以結(jié)構(gòu)簡單，帶寬較寬。首先基于這種巧妙的結(jié)構(gòu)建立了敏感元件的振動方程。根據(jù)振動方程，扭轉(zhuǎn)梁是影響質(zhì)量振動模態(tài)和模態(tài)頻率的關鍵，同時考慮到應力、殘余應力的釋放以及工作能力，扭轉(zhuǎn)梁設計成橫截面積為矩形的弧形梁，并對其抗扭剛度進行了解析推導和計算，從而確定了敏感元件的固有頻率。接著利用有限元分析的方法，對其振動模態(tài)進行了仿真，仿真結(jié)果表明，敏感元件的第一模態(tài)是扭轉(zhuǎn)振動，固有頻率相對于解析結(jié)果的誤差為9.86%。為了進一步驗證，設計了靜電驅(qū)動電容檢測的方法，實驗測試得到的諧振頻率和解析值的相對誤差為5.21%。仿真和實驗結(jié)果與理論計算一致，表明扭轉(zhuǎn)梁的設計是合理的，模態(tài)分析是正確的，而且為動態(tài)性能評估和結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了理論依據(jù)。

敏感元件；扭轉(zhuǎn)梁；扭轉(zhuǎn)剛度；固有頻率

目前，微機械（MEMS）陀螺一般都是利用科氏效應敏感載體角速度的振動式陀螺。它們的工作原理都是由彈性掛件將檢測質(zhì)量塊懸掛在基座上，產(chǎn)生振動，敏感輸入角速度[1-4]。通常為了獲得最大位移，設計中往往通過匹配驅(qū)動結(jié)構(gòu)和敏感結(jié)構(gòu)的諧振頻率，使得陀螺工作在諧振點處。結(jié)果，系統(tǒng)中引起頻移的各種變量，很容易被陀螺敏感，引入誤差。在高品質(zhì)因子條件下，靈敏度較高，但是帶寬較窄。為了避免目前微機械陀螺的這種局限性，文中設計了一種新型的無驅(qū)動微機械陀螺，它沒有驅(qū)動結(jié)構(gòu)，所以具有加工工藝簡單、成本較低、重復性好、抗沖擊性能可靠等優(yōu)點[5-8]。

另外，以模態(tài)分析為基礎的結(jié)構(gòu)動態(tài)設計，是近年來振動工程界開展的最廣泛的研究領域之一。眾所周知，傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設計，在考慮動態(tài)因素的結(jié)構(gòu)修改時，是以經(jīng)驗和反復實測為主要手段，這大大減緩了設計速度，設計質(zhì)量也難以達到最優(yōu)。有限元法(FEM)為結(jié)構(gòu)動態(tài)設計提供了重要的途徑[9-11]。無驅(qū)動微機械陀螺的敏感元件的設計，要求各階模態(tài)頻率遠離工作頻率，應使其不影響結(jié)構(gòu)正常工作為佳。

1 動力學模型

1.1 結(jié)構(gòu)原理

圖1是無驅(qū)動微機械陀螺的結(jié)構(gòu)原理圖，它采用體微深刻蝕工藝技術加工制作而成。

圖1 陀螺結(jié)構(gòu)原理圖Fig.1 Schematic diagram of gyro structure

圖1顯示，中間部分是單晶硅材料的敏感元件塊，我們稱為敏感元件。敏感元件的上下兩端是彈性扭轉(zhuǎn)梁，它與陀螺的外框固連，敏感元件繞著這一約束中心可以產(chǎn)生振動，因此敏感元件只有一個自由度。陀螺安裝在旋轉(zhuǎn)飛行器上，選擇坐標系oxyz固定于敏感元件上，原點位于敏感元件的質(zhì)心；z軸與載體飛行器的縱軸重合，稱為驅(qū)動軸；y軸位于敏感元件的約束中心稱為輸出軸；x軸位于飛行器橫截面內(nèi)，稱為輸入軸；α˙是敏感元件繞輸出軸振動的角速度，φ˙是飛行器繞驅(qū)動軸旋轉(zhuǎn)的角速度，Ω是飛行器轉(zhuǎn)動的橫向角速度。當陀螺隨著飛行器以φ˙的角速度旋轉(zhuǎn)時，飛行器同時發(fā)生橫向角速度Ω的轉(zhuǎn)動，敏感元件受到周期性變化的科里奧利力的作用，使敏感元件繞著輸出軸振動，振動角速度為α˙。

敏感元件兩側(cè)是陶瓷片，通過濺射工藝在陶瓷片對稱軸線的兩側(cè)濺射銅，形成四個對稱的檢測電極，檢測電極和敏感元件構(gòu)成差動電容，通過電容拾取電路輸出一個幅值和被測角速度成比例的電信號。

1.2 敏感元件角振動方程

這種運動屬于剛體繞定點的運動，可以用歐拉動力學方程來推導其運動方程式。為了研究運動，選擇四個坐標系。如圖2所示，oξη?是慣性坐標系，o x1y1z1是偏航或俯仰坐標系， ox2y2z2是飛行器自旋坐標系，oxyz是與敏感元件相固連的動坐標系。

圖2 坐標變換Fig.2 Transformation of coordinates

式中， Jx、Jy、Jz是敏感元件相對于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量，KT是敏感元件扭轉(zhuǎn)梁的抗扭剛度系數(shù)，D是阻尼系數(shù)。

圖3是敏感元件的幾何結(jié)構(gòu)，敏感元件利用扭轉(zhuǎn)梁與外框架固定連接。

圖3 敏感元件結(jié)構(gòu)Fig.3 Si pendulum structure

1.3 角振動方程的解

令

將式(1)化簡為：

式(5)是一個二階常微分方程，它的穩(wěn)態(tài)解為：

將式(2)(3)(4)代入式(6)可得：

則角振動振幅為：

式(8)表明，角振動振幅和被測角速度成正比例，剛度系數(shù) KT不僅影響比例系數(shù)，而且是決定角振動模態(tài)的關鍵。所以，接下來，圍繞剛度系數(shù)對扭轉(zhuǎn)梁進行分析，并就剛度系數(shù)解析推導和對振動模態(tài)參數(shù)固有頻率進行分析和計算。

2 扭轉(zhuǎn)梁

圖4是扭轉(zhuǎn)梁的結(jié)構(gòu)示意圖，設曲率半徑為R，y軸的原點選在梁的質(zhì)量中心，方向平行于圓弧的直徑。

圖4 梁結(jié)構(gòu)Fig.4 Beam structure

為了便于推導敏感元件扭轉(zhuǎn)梁的扭轉(zhuǎn)剛度，根據(jù)圖4作合理的假定：扭轉(zhuǎn)振動的扭轉(zhuǎn)角大小與扭轉(zhuǎn)梁長度成正比，扭轉(zhuǎn)梁所有橫截面的翹曲都相同，扭轉(zhuǎn)梁兩端連接處的扭轉(zhuǎn)力矩大小相等，方向相反。

2.1 扭轉(zhuǎn)剛度

在上述假定條件下，由彈性力學可知矩形截面扭轉(zhuǎn)梁的扭轉(zhuǎn)剛度為：

式中，w是坐標y點處的梁寬，是關于y的函數(shù)。

由圖4可知：

又根據(jù)材料力學可知，矩形梁的柔度為作用于軸兩端上單位力矩所扭轉(zhuǎn)的角度，并且等于扭轉(zhuǎn)剛度的倒數(shù)，則有：

將CEUS分為兩個過程，即增強期與消退期，以周圍肌壁為參照物，若病灶達峰時間早于周圍子宮肌壁，為早增強；反之，為晚增強；消退期同理判斷。增強強度高于肌壁為高增強；反之為低增強。

式中，e為柔度，α為扭轉(zhuǎn)角，M為扭矩。

采用微分的方法，對式(12)兩邊取關于y的微分，有：

取式(14)倒數(shù)，計算后可得扭轉(zhuǎn)剛度為：

則兩端總的扭轉(zhuǎn)剛度為：

2.2 固有頻率

3 模態(tài)分析

根據(jù)敏感元件的結(jié)構(gòu)尺寸和單晶硅相應的材料常數(shù)，定義單元類型為SOLID45。選擇國際單位制，彈性模量 EX= 130.2GPa，泊松比 PRXY= 0.279，材料密度 DENS= 2.34g/cm3。建模后的幾何圖形如圖 5，兩端是彈性扭轉(zhuǎn)梁，中間是帶阻尼條的振動硅片。

圖5 敏感元件實體模型Fig.5 Entity model of Si pendulum

3.2 有限元求解

網(wǎng)格劃分之后，在敏感元件的外框上施加全方位位移約束。分析類型選擇模態(tài)分析，經(jīng)過求解和后處理，得到如圖6的主振型。圖6顯示，敏感元件的第一模態(tài)的振型為振動質(zhì)量繞著兩端梁形成的約束中心做扭轉(zhuǎn)振動，振動的固有頻率為329 Hz，相對于理論計算結(jié)果365 Hz的相對誤差為9.86%。

圖6 主振型Fig.6 The main modal

4 實驗驗證

4.1 實驗原理

實驗原理是利用靜電力模擬敏感元件所受到的科里奧利力，使敏感元件發(fā)生振動，通過掃頻檢測，測量輸出信號最大幅值所對應的頻率，即為諧振頻率。

圖7是實驗原理示意圖，在一側(cè)銅電極上加載電壓信號Vd1和Vd2作為靜電力模擬。另一側(cè)m和n作為差動電容檢測電極。

Vd1和Vd2是一對推挽電壓信號，記為：

圖7 實驗原理示意圖Fig.7 Experimental schematic diagram

式中，VDC是直流偏置電壓，VAC是幅值，ω是角頻率。

敏感元件在靜電力作用下，轉(zhuǎn)動角度為α，則靜電力矩為：

進而推挽信號產(chǎn)生總的扭轉(zhuǎn)力矩為：

式(22)表明，加載的推挽驅(qū)動電壓信號，在敏感元件上形成的靜電驅(qū)動力矩是一個交變力矩，幅值由陀螺尺寸參數(shù)和電壓的直流偏置以及幅度決定，是一個常數(shù)。頻率與驅(qū)動電壓信號相同，所以滿足實驗測試的輸入激勵要求，可以很方便地改變驅(qū)動信號的頻率來調(diào)節(jié)輸入激勵的頻率，來測量敏感元件振動的幅頻特性，從而確定諧振頻率。

驅(qū)動力矩使敏感元件振動質(zhì)量塊繞著扭轉(zhuǎn)梁偏轉(zhuǎn)α角度時，檢測電容m和n形成了差動電容，計算可得形如

式(23)表明，差動電容和轉(zhuǎn)角成正比，再經(jīng)過電容電壓轉(zhuǎn)換，就可輸出和轉(zhuǎn)角成比例的電壓信號。

4.2 實驗系統(tǒng)及測量結(jié)果

實驗系統(tǒng)如圖8所示，Agilent 81150A信號發(fā)生器，用于產(chǎn)生推挽電壓信號。

測試時，設置信號發(fā)生器為掃頻方式，輸出信號的頻率范圍為0~800 Hz。與此同時，進行陀螺輸出信號有效值的自動采集與記錄。數(shù)據(jù)經(jīng)過擬合，得到如圖9所示的檢測信號有效值隨頻率變化的關系曲線。

圖9顯示，被測陀螺的諧振頻率為384 Hz。解析值為365 Hz，它們的絕對誤差為19 Hz，相對誤差為5.21% 。

圖8 實驗平臺Fig.8 Experimental platform

圖9 測試曲線Fig.9 Testing curve

5 結(jié) 論

無驅(qū)動微機械陀螺是一種新型MEMS陀螺，彈性剛度系數(shù)是一個重要的動力參數(shù)，它決定了振動的固有頻率和振型。敏感元件的扭轉(zhuǎn)梁被設計成了橫截面為矩形的圓弧形結(jié)構(gòu)。經(jīng)過數(shù)學推導，得出了扭轉(zhuǎn)梁剛度系數(shù)和固有頻率的解析式。同時，結(jié)合扭轉(zhuǎn)梁和振動質(zhì)量的幾何尺寸，有限元模態(tài)分析和仿真結(jié)果表明了主振型是繞彈性扭轉(zhuǎn)梁的扭轉(zhuǎn)振動，符合運動方程的描述。通過設計的靜電力驅(qū)動電容檢測的實驗方法，測得的諧振頻率為384 Hz，和解析值的相對誤差為 5.21%。對解析值，仿真和實驗結(jié)果的比較發(fā)現(xiàn)，它們是接近的和相互能夠印證，證明了扭轉(zhuǎn)梁的設計是合理的，也說明剛度系數(shù)和固有頻率的解析式是正確的，這為今后此種新型陀螺性能的優(yōu)化提供了理論基礎和有效的測試方法。

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Modal analysis on sensing element of no-driven micromechanical gyro

ZHANG Zeng-ping, ZHANG Fu-xue, ZHANG Wei, LIU Yu, ZHANG Ning
(Sensing Technique Research Center, Beijing Information Science and Technology University, Beijing 100101, China)

The driving structure and detecting structure of traditional micromechanical gyroscope usually require frequency matching, causing narrow bandwidth and complex process. To solve this problem, a novel micromechanical gyroscope was designed, which is mounted on rotating aircraft, obtains angular momentum by using aircraft spin, and senses yawing and pitching angular velocity. Being without driven structure, the gyro’s structure is simple and with large bandwidth. Based on this new structure, the motion equation was established. According to the vibration equation, the torsional beam is the key to vibrating modal and modal frequency of sensing element. Meanwhile, considering the stress, the residual stress’s release and the working ability, the torsional beam was designed to be a circular beam with rectangular cross-section, and the torsional stiffness is analytically derived and calculated to determine the natural frequency. Then the vibrating modal is simulated by using finite element analysis (FEA) method. Simulation results show that the first mode is torsional vibrating, in which the relative error between natural frequency and analytical solution is 9.86%. In order to make further validation, an experimental method using the electrostatic driving and capacitance detection was designed, and the experimental results show that the relative error between natural frequency and analytical solution is 5.21%. Both simulation and experimental results demonstrate that the design is reasonable, and the modal analysis about torsional beam is correct. And it can be applied to the dynamic performance evaluation and the structure optimization.

sensing element; torsional beam; torsion stiffness; natural frequency

聯(lián) 系 人：張福學（1939—），男，教授，博士生導師。E-mail：zhangfuxue@263.net

1005-6734(2014)05-0655-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.05.019

U666.1

A

2014-05-02；

2014-08-26

國家自然科學基金委員會資助項目（61372016）；北京市傳感器重點實驗室開放課題（KF20141077203)；內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學基金項目（2011MS0910）；北京市教育委員會科技計劃資助項目（KM201411232021）

張增平（1969—），男，博士研究生，從事微機械慣性器件技術研究。E-mail：zhangzp2007@qq.com