陳仕洲

（韓山師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學系，廣東潮州 521041）

1 引言及引理

p-Laplacian 方程作為一物理模型，在非牛頓流體力學、非線性彈性理論和工程技術(shù)等許多重要領(lǐng)域中有廣泛的應用[1-6]．在這些應用中，重要的是要知道p-Laplacian 方程周期解的存在性．文獻[2]、文獻[3]分別研究了一類具偏差變元的二階p-Laplacian方程

周期解的存在問題．文獻[4]、文獻[5]分別研究了

周期解的存在性和唯一性()p ≥2 ．文獻[6]研究了

周期解的存在性，其中pi＞1()i=1,2,3 ,p1＞p2,p3＜2.本文將利用重合度Mawhin連續(xù)定理，研究

且當β=0 時實質(zhì)上推廣和改進了文獻[5]的結(jié)果．

為證明本文的主要結(jié)果，需要以下引理．

引理1[1]設為有界開集，是Caratheodory函數(shù)．如果

在?Ω 上無解．

（ii）方程

在?Ω ?R 上無解．

（iii）Brouwer度deg{F,Ω ?R,0}≠0．

2 主要結(jié)果

定理1 設

(H3) p1＞α；或p1=α,d ?r ＜1.則方程（6）存在一個T-周期解．

證明 考慮方程（6）的同倫方程

設x ∈C1T是方程（8）的任一解，t1,t2∈分別是x(t)在[0 ,T]上的最大值點和最小值點，則x'(ti)=0,i=1,2,則可以斷言：

由方程（8）得

由（10）和（H2）即得

由（11）即得 ||x∞≤d.

方程（8）兩邊同乘以x()t ，并應用（H1）和（12）得

并注意到（14），可得

因此引理1的條件（ii）被滿足．作變換

由（H2）有

故H(x,μ)為同倫變換且

因此引理1的條件（iii）也被滿足．由引理1，方程（6）有一個T-周期解x(t)．

定理2 設

(H4)

則方程（6）至多存在一個T-周期解．

證 設x1(t),x2(t)為方程（6）的兩個T周期解，則

由（19）、（20）和（H3），得

注意到

即得

由于函數(shù)φp1(v)+βφp2(v)是嚴格遞增的，故

即方程（6）至多有一個T-周期解．

由定理1-2立即得到．

定理3 設(H1) 、(H2)、(H3) 、(H4)都被滿足，則方程（6）有且僅有一個T- 周期解．

3 注記和例子

注記1 將定理2、定理3中條件()H4 替換為

(H4)*?t ∈[0 ,T],u,v ∈R,u ≠v,(g(t,u)-g(t,v))(u -v)＞0

其余條件不變，定理2、定理3結(jié)論仍然成立．

注記2 令β=0，f()t,u =cu，則由定理3即得文獻[4]的主要結(jié)果．

注記3 令β=0，則容易看出定理3推廣和改進文獻[5]的主要結(jié)果．

例 考慮方程

容易驗證定理3的條件都被滿足，故方程（26）有唯一2π 周期解．

[1]MANáSEVICH R, MAWHIN J.Periodic solutions for nonlinear systems with p-Laplacian-like operator [J].J.Differ.Equ,1998,145:367-393.

[2]魯世平，葛渭高.具偏差變元的二階Laplacian方程周期解存在性問題[J].數(shù)學學報，2005，48（5）：841-850.

[3]CHEUNG W S, REN J.On the existence of periodic solutions for p-Laplacian generalized Liénard equation[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods&Applications，2005，60（1）：65-75.

[4]HE Zhan-bing，WANG Wen-tao，YI Xue-jun．Existence and uniqueness of periodic solutions for Rayleigh type Laplacian equation[J]．Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，232（2）：558-564.

[5]YANG X,KIM Y I,LO K.Periodic solutions for a generalized p-Laplacian equation[J].Applied Mathematics Letters，2012，25：586-589.

[6]ZHOU Zong-fu,ZENG Li,JIA Bao-rui,et al.Periodic Solutions to Duffing Type p-Laplacian equation with several p-Laplacian operations[J].Ann.of Diff.Eqs,2013，29（1）：121-126.