明亞東，安存斌，陳慧琴

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同037009）

一類常系數(shù)非線性時(shí)滯差分方程的有界性和振動(dòng)性

明亞東，安存斌，陳慧琴

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同037009）

研究了一類常系數(shù)非線性時(shí)滯差分方程，利用迭代算法和數(shù)學(xué)歸納法,論證了初值問題的解的存在唯一性及有界性，利用差分方程的比較定理證明了方程的非振動(dòng)解的存在性。

時(shí)滯；平衡解；存在性；有界性；振動(dòng)性

非線性時(shí)滯微分方程

是S.K.Saker[1]作為一個(gè)造血模型提出的,這里p(t)是血液循環(huán)時(shí)成熟細(xì)胞的密度,τ是骨髓中未成熟細(xì)胞的生成與成熟釋放之間的時(shí)間。關(guān)于它的振動(dòng)性和全局吸引性可參考文獻(xiàn)[1-2]。

考慮具有逐段常數(shù)變?cè)姆匠?/p>

這里[x]表示不超過x的最大整數(shù),τ為正整數(shù)。對(duì)于n≤t＜n+1時(shí),(2)可寫成

或

對(duì)(3)兩邊從n到t積分并整理得

令t→(n+1)-,得

按照生物學(xué)的解釋,方程(5)有正初值

定義1一個(gè)解pn=p叫做方程(5)的正平衡解,如果

定義2差分方程的一個(gè)解{pn}關(guān)于平衡點(diǎn) p是振動(dòng)的,如果{pn-}既不是最終正的,也不是最終負(fù)的。

引理1方程(5)的平衡解有下列三種情形:

引理2非線性差分方程

這里 β＞0,γ∈(0,1),α,m∈N,1＜α＜m,且設(shè) pn是方程(8)的滿足初始條件p0的解,那么

先證明方程(5)及(7)的每個(gè)解是正的且有界,再證明(5)一定存在關(guān)于p的非振動(dòng)解。

定理1假設(shè)(6)成立,則初值問題(5)及(7)存在唯一解pn,且pn有界。

證明 考慮(6)，(7)和

由迭代運(yùn)算[4],即知pn唯一存在,由數(shù)學(xué)歸納法知pn＞0,n=1,2,…。

由數(shù)學(xué)歸納法可證

定理得證。

下面證明方程(5)一定存在關(guān)于平衡解p非振動(dòng)的解。

定理2假設(shè)1＜α＜m,那么方程(5)一定存在一個(gè)解pn,滿足

證明因?yàn)?/p>

下面說明存在初始條件:p-τ,p-τ+1,…,p-1,p0,使對(duì)應(yīng)的(5),(7)的解滿足

i=-τ,-τ+1,…,-1,0,那么

對(duì)上式兩邊從0到τ求和,得

因此,

下面證明

注意到 f(x)在[0,ω1]上單調(diào)增加及z0＜ω＜ω1,由方程(5)可知當(dāng)n∈[τ,n1],

設(shè)zn是下列初值問題的解

根據(jù)比較定理[5],

故 有 zτ+1＜zτ＜z0。若 存 在 n2＞τ,使 zn2≥z0,且當(dāng)n∈[τ,n2),zn＜z0。由方程（15）,當(dāng)n∈[τ,n2),

說明 zn在[τ,n2)上單調(diào)遞減,從而與矛盾。故對(duì)所有n＞0,有zn＜z0。因此

[1]S H Saker.Oscillation and global attractivity in hematopoiesis model with delay time[J].Applied Mathematics and Computation,2003，136（2∕3）:27-36.

[2]M C Mackey,L Glass.Oscillation and chaos in physiological control system[J].Science,1977(197):287-289.

[3]明亞東，安存斌.一類非線性差分方程的平衡解及解的漸近性和有界性[J]．山西大同大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，26(4)：3-5．

[4]李有法，李曉勤.數(shù)值計(jì)算方法[M].2版，北京：高等教育出版社，2005．

[5]王聯(lián)，王慕秋.常差分方程[M].烏魯木齊：新疆大學(xué)出版社，1991．

Bound Behavior and Oscillation of a Nonlinear Delay Difference Equation with Constant Coefficients

MING Ya-dong,AN Cun-bin，CHEN Hui-qin
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

In this paper,a nonlinear delay difference equation with constant coefficients is considered.Existence and bound be?havior of the solution of initial value problem are demonstrated by iterate algorithm and mathematical induction.The existence of nonoscillate solution is discussed by comparison theorem of difference equation.

delay;steady solution;existence;bound behavior;oscillation

O175.7

A

1674-0874(2014)04-0004-03

2014-02-12

明亞東（1966-）,女,遼寧綏中人,碩士,副教授,研究方向:差分方程。

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>