張建軍 紀祥鯤

摘 要：該文分析了泰勒公式教學中可能面臨的困難及其根本原因，從課前準備、問題引入、證明方法及例題選講等環(huán)節(jié)探討其教學設計，通過新穎的教學過程，幫助學生較輕松地學好這一重要知識點并掌握其數(shù)學思想。

關鍵詞：泰勒中值定理 泰勒公式 柯西中值定理 近似計算

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（a）-0164-02

泰勒中值定理是高等數(shù)學微分學的教學重點和難點，由泰勒公式進行描述，其教學方法一直吸引著廣大數(shù)學教學工作者進行研究，可謂百花齊放、百家爭鳴。究其根本原因，首先是由于泰勒公式及其相關理論是進行數(shù)學理論研究和計算的重要工具，它在級數(shù)、解析函數(shù)和函數(shù)的近似計算等理論方面有著舉足輕重的地位。因此，每一個理工科的學生必須掌握其數(shù)學思想、理解其本質(zhì)及基本應用；其次，同樣作為導數(shù)應用的基礎，羅爾中值定理等具有幾何意義鮮明的結(jié)論，而泰勒中值定理及泰勒公式卻抽象深奧，會讓大多數(shù)學生不知所云、莫名其妙，雖經(jīng)充分預習、認真聽課，仍感覺一頭霧水、疑問重重，看不到學習目的，學習信心大受打擊，造成這一現(xiàn)象的根本原因在于大部分學生的思維方式還停留在中學階段，無法理解泰勒公式這種“人為”將簡單問題“抽象”、“復雜”化的表述方式；最后，泰勒公式在函數(shù)性態(tài)的研究、中值問題、不等式的證明、極限的計算、函數(shù)的近似計算等內(nèi)容的教學中具有基礎作用，只有理解好才能用好用活。

作者在長期教學實踐中，一直重視對泰勒公式的教學法進行探索，旨在使學生能較主動、輕松地學好、用好泰勒公式。以下分別從課前準備、問題引入、證明方法及例題選講等環(huán)節(jié)介紹我們的教學設計方法及教學過程，希望起到拋磚引玉之作用。

1 泰勒公式及其教學難點

我們把泰勒中值定理敘述為如下形式：若函數(shù)在含有的某一個區(qū)間內(nèi)具有直至階導數(shù)，則它可以表示為的次多項式與一個余項之和，即

，（1）

其中在與之間，稱為拉格朗日型余項。

學生的困惑之處在于：具有如此“好”條件的“非常光滑”的函數(shù)，為何要用右邊的不知為何物的式子表達？右邊是多項式嗎？為何要用的多項式？為何還有“特別的”一項，它到底有何作用？公式到底想表達什么？

泰勒公式讓學生疑問重重，它的證明更加費事。比證明公式更加重要的是，如何將證明中抽象、復雜的邏輯思維“變”得具體、簡單，從而幫助他們主動、輕松地接受其數(shù)學思想。

我們認為，一個好的教學設計，至少應該基本解決學生的上述疑惑，精心設計課前準備、問題導入、證法選擇及例題選講等教學環(huán)節(jié)，通過各環(huán)節(jié)的密切配合、有機整合，使教學過程深入淺出、一氣呵成！帶領他們不斷深入、逐步領悟泰勒公式蘊含的數(shù)學思想，達到學以致用。否則，硬性強記泰勒公式，不去領會其本質(zhì)，公式就會淪為“依葫蘆畫瓢”的機器。

2 泰勒公式的教學設計

（1）課前準備。

課前教員要幫助學生“有的放矢”地進行學習準備，即進行預習。

我們將學生分成幾個小組，每組由組長負責。給他們精心設置了兩個任務：①將多項式寫成為的多項式的形式，選擇一個“初等”的方法完成這一任務。再試一試，分別用兩個多項式去計算時的值，難度有差別嗎？如果考慮對一個的20次多項式，做同樣的工作，用“初等”的方法，容易做得到嗎？如果要達到較高的精度，“需要”計算的項數(shù)會有什么不同嗎？計算量的差別大嗎？為什么？②如何計算的值？除了查表，有無其它好的方法？

學生大多能夠理解這兩個任務，可以動手嘗試并得到初步結(jié)論，但還不能完滿回答。目的就是讓他們有回味但不滿足，提前做好打硬仗的準備?！坝幸馑嫉亍绷粝聭夷睿ㄟ^“任務驅(qū)動”，使他們產(chǎn)生學習的動力。實踐證明，這樣有針對性的預習，能收到更好的效果。

（2）問題導入。

有了較充分的課前準備，首先教員直接出示上邊的兩個問題，激發(fā)同學們的討論，并請組長作代表發(fā)言，然后幫助學生進行問題抽象，導出第一個知識點。

（3）多項式的泰勒公式。

第一個問題，本質(zhì)上就是要將的多項式展開為的多項式，這個問題學生大多做過思考，對于及，已經(jīng)有了初步的想法和結(jié)論?？勺尳M長介紹其課前準備的成果，通過互相評價、激發(fā)思考。再給學生講解如何運用求導的方法確定多項式的系數(shù)，揭示只需分別求出及各階導數(shù)，就可得到，于是

（2）

部分學生可能根本不明白為什么要這么做，但事實是通過式（2）計算系數(shù)，確實簡單多了。多項式是最簡單的函數(shù)，通過兩種不同方式計算，可能還感覺不到差別，甚至有后者“更麻煩”的感覺。要化解這一“矛盾”，教員再直接展示下述例子及其結(jié)論：

現(xiàn)在要把次數(shù)較高的多項式展開成的多項式，并用兩個表達式分別計算，用初等的方法就辦不到了。首先，由式（2）可得

。（3）

很明顯，用計算，可得

，

其計算量很大。但用式（3），計算前4項，有

，

就可得到相當精確的值。其計算簡繁差別之大，比較之下就可見一斑了。

這時，學生可能看出了問題所在。原來，當我們研究一個函數(shù)（比如最簡單的多項式）在某點（比如1）附近的性態(tài)時（比如計算函數(shù)值、求切線的斜率、曲率等），將函數(shù)在該點“展開”，可能帶來很大的便利。這也許正是教員不厭其煩對函數(shù)進行“展開”的原因之一！

學生初步明白了“展開”可能帶來更多的“好處”，教員就可以適時導入另一個問題了。

②如何計算的值？除了查表，有沒有其他方法？

不是多項式，是不是也可以通過在“展開”成的多項式來近似計算即呢？這時的“展開式”還是像式（2）一樣也是等式呢？

（3） 證明方法。

學生的疑問在于，盡管一個多項式完全可以像式（2）那樣展開成為另外一種多項式的形式，但對于像這樣的函數(shù)，為什么也要這樣做呢？難道也是為了研究其性態(tài)嗎？盡管它在任意點有任意階導數(shù)，它能與一個多項式按如下的方式畫上等號嗎？

。（4）

這時教員可立刻啟發(fā)學員，很明顯，就在而言，式（4）右端的階導數(shù)已經(jīng)恒為0，但左邊在任意點的各階導數(shù)均大于0，可見（4）不能成立。

但是，教員也應提示學生，根據(jù)式（2）的推導過程，要將展開成一個多項式形式，其系數(shù)也必須是（4）右端的形式！同時，可請學生們觀察右端多項式在處的函數(shù)值、導數(shù)值、二階導數(shù)的值，讓他們明白用右端的多項式來近似其實十分自然！

教員再啟發(fā)學員：其實，與研究多項式的展開一樣，展開的主要目的也是為了研究其性態(tài)！能否將用一個多項式來近似呢？再提示微分是常用的近似計算的基本方法，進而展示學習微分時常用的近似式，即

，（5）

這樣很小時，就有，即。

因此，。雖然提供了在近旁計算指數(shù)函數(shù)值的一個方法，但直觀上學生會感到有些失望，首先其精確度不高，其次沒有估計計算的誤差。但是式（5）也給學生啟發(fā)，就是式（4）的出發(fā)點可能沒錯，只不過，（4）的等號要保留，右邊必須加上刻畫誤差的項，但這個項是什么形式？與什么有關？學生還不得而知。

教員這時可直接從較為簡單的式（5）入手，設想，現(xiàn)在要確定。我們很自然想到將與進行比較（為什么？可留給學生思考并討論）。這時，二者可能不會直接相等，會是什么關系呢？這時，教員可鼓勵學生思考，二者在處的函數(shù)值、導數(shù)值關系如何？二階導數(shù)的值呢？然后直接出示下述結(jié)果：

，

很明顯，能考慮的就是與之比了。因此，教員展示以下推導，每一個“關鍵”等號的推理依據(jù)、的范圍等，則提問學生作答：

，

因此，得到，從而

， （6）

其中，在與之間。這樣，誤差就被準確地刻畫出來！式（6）就是一階泰勒公式，上述推導是本課的重點。此時，教員就可以點撥學生：有沒有所謂的“零階”泰勒公式呢？再展示拉格朗日公式，再問：“零階”到“一階”作了什么改進呢？有了“一階”，能否受此啟發(fā)，也改進到“二階”？再揭示答案：零階到一階，多項式次數(shù)升一階，即將零階的換為，再加上即可！因此，“一階”到“二階”，只需將式（6）的換為，再加上即可！也就是

，（7）

理解了確定的思想，確定的過程也就水到渠成，這時，可先由學習較好的學生猜想其形式，然后適時出示以及二階泰勒公式

。（8）

討論到此處，有了的零階、一階和二階泰勒公式的啟發(fā)，學生大都已經(jīng)漸漸明白，原來也可以像多項式一樣，在形式上展開為的多項式，只不過點以及展開的次數(shù)均應根據(jù)條件和需要進行選擇，而且余項形式非常明確。

最后，教員還應啟發(fā)學生思考和猜測：在上述過程中，要求滿足一些什么樣的條件呢？是的，只要“函數(shù)在含有的某一個區(qū)間內(nèi)具有直至階導數(shù)”，階泰勒公式是什么形式呢？是否也可表為的次多項式與一個余項之和呢，即

。

更進一步，如何證明上式呢？采用什么方法好？其實，上邊從（6）到（8）的過程已經(jīng)給出了歸納遞推的關鍵思路。只要采用數(shù)學歸納法，就可以完滿地證明泰勒公式。這個過程比之教材中不厭其煩地多次運用柯西中值定理，更貼近學生的實際，容易為他們接受。

泰勒公式的導出過程由淺入深、逐層遞進，其邏輯思維連貫性強、一氣呵成。經(jīng)過課前準備、問題導入后，學生大多能輕松參與、自主學習。教學實踐證明，能獲得很好的效果。

在此基礎上，教員再給學生揭示泰勒公式的幾何意義、物理意義，介紹與泰勒公式相關的麥克勞林公式等基本概念，并介紹誤差估計方法，加深學生對泰勒公式意義的理解。

（4）例題選講。

為幫助學生加深對泰勒公式的理解，回應導入課程的第二個問題，我們設計了以下例題：

例1 求函數(shù)的麥克勞林公式，并近似計算，要求誤差小于10-4。

解：由，其中?？紤]區(qū)間

[-0.1，0.1]，當，此時

易見，只需取，即可確保誤差小于，此時可取。

例1的分析和求解過程的每一步都可看作幫助學生進一步認識泰勒公式意義的重要過程，通過這一過程中教員和學生的互動，再次強化了學生對泰勒公式的理解。

泰勒公式是高等數(shù)學教學中不可回避的難點，又是求解應用問題的重要基礎，教員應該大力鉆研其教學法，確保教學效果。多年來，我們通過不斷地探索和研究，在教學實踐中反復改進其教學設計，通過“問題驅(qū)動”、“情境創(chuàng)設”，使學生在積極參與、輕松實踐中“內(nèi)化”泰勒公式的數(shù)學思想，體會數(shù)學推理的無限魅力。

參考文獻

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